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See discussions, stats, and author profiles for this publication at: https://www.researchgate.net/publication/32050008 Analyse du développement de la notion de preuve dans une collection du secondaire Article Source: OAI CITATION 1 READS 353 1 author: Denis Tanguay Université du Québec à Montréal 20 PUBLICATIONS 198 CITATIONS SEE PROFILE All content following this page was uploaded by Denis Tanguay on 31 July 2014. The user has requested enhancement of the downloaded file. UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À MONTRÉAL ANALYSE DU DÉVELOPPEMENT DE LA NOTION DE PREUVE DANS UNE COLLECTION DU SECONDAIRE MÉMOIRE soumis comme exigence partielle de la MAÎTRISE EN DIDACTIQUE DES MATHÉMATIQUES par Denis TANGUAY AVRIL 2000 ii REMERCIEMENTS Je tiens à remercier MM. André Boileau et Benoît Côté pour m'avoir aidé — chacun à sa façon — à mieux cerner le domaine et le sujet du présent mémoire. Merci à Martin Pinsonneault, à Gisèle Legault et à Stéphanie Lanthier, pour m'avoir guidé dans les dédales des plus récentes versions de Word. Merci aussi à Linda Lemieux, qui m'a si aimablement fourni maints renseignements bibliographiques importants. Mille mercis à ma directrice, Nadine Bednarz, qui a su diriger ce mémoire avec diligence et disponibilité, sous des rapports cordialement amicaux ; mais surtout, avec un indéfectible et communicatif enthousiasme, qui ne s'est laissé fléchir ni par les retards, ni par les maladresses ! TABLE DES MATIÈRES REMERCIEMENTS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii LISTE DES FIGURES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi RÉSUMÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii 1 PROBLÉMATIQUE 1 1.1 Quelques observations à l'origine de cette recherche . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Deux expérimentations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 Trois entrevues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.2 Une situation didactique en classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 La preuve dans les programmes du Ministère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1 Le programme du primaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2 Le programme du secondaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.3 Les programmes précédents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3.4 Conclusion sur les programmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.4 Pourquoi s'intéresser à la preuve en géométrie ? . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.5 But de la recherche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 iv 2 CADRE THÉORIQUE 38 2.1 Quelques points de vue sur la preuve permettant d'éclairer l'analyse de son enseignement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.1.1 Point de vue historique : analyse épistémologique de la notion de preuve . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.2 Regards sur la preuve dans l'activité mathématique . . . . . . . . . . 42 2.1.3 Analyse didactique : preuve et situations d'enseignement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.1.4 Analyse didactique : rôle du social dans la situation et contrats didactiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.1.5 Évolution de la notion de preuve : éléments entrant en jeu dans la justification . . . . . . . . . . . . . . . 59 2.1.6 Le dessin et la figure en géométrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.2 Synthèses sur la preuve : vers l'élaboration d'un cadre d'analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.2.1 Les typologies de Balacheff et Rouche . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.2.2 Points de vue sur la preuve et schémas de bipolarisation . . . . . . 71 2.2.3 Recherche d'un dénominateur commun . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.2.4 Intuition versus logico-déductif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.2.5 L'évolution du rapport de l'élève à la preuve au cours de son apprentissage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 3 MÉTHODOLOGIE 82 3.1 Une typologie des preuves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 3.2 Vers l'élaboration d'une grille d'analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.2.1 Quelques considérations et précisions préliminaires . . . . . . . . . . 92 3.2.2 La grille d'analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 3.3 Le choix de la collection à l'étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 v 4 CLASSIFICATION DES PROBLÈMES 112 Secondaire 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Secondaire 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Secondaire 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 Secondaire 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 Secondaire 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Management/ analyse-du-developpement-de-la-notion-de-preuve-da.pdf