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IUT MTIN 12 MATHEMATIQUES ET EPS EC : MTIN 121 ANALYSE MATHÉMATIQUES CLASSE : D

IUT MTIN 12 MATHEMATIQUES ET EPS EC : MTIN 121 ANALYSE MATHÉMATIQUES CLASSE : DIPLOME UNIVERSITAIRE DE TECHNOLOGIE NIVEAU 1 SEMESTRE 1 VOLUME HORAIRE : 36 heures EQUIPE PEDAGOGIQUE : Pr. TAMBA (CM=20 ; TD=00 ;TP=00; TPE=00) M. GUEFANO (CM=00 ;TD=16 ;TP=00; TPE=00) UE : MTIN 122 MATHEMATIQUES ET EPS DUREE : 36 heures OBJECTIFS GENERAUX :  Permettre à tous les scientifiques de trouver des résultats rigoureux et bien expliqués, mais sans avoir à rentrer dans des explications compliquées.  Les futurs étudiants des sciences physiques (mécanique, électronique …) trouveront là la plupart des outils de calcul en analyse dont ils pourront avoir besoin. Pour les étudiants qui feront des mathématiques, cet ouvrage leur permettra d'avancer rapidement et avec précision dans la découverte de ces outils, sur lesquels ils reviendront éventuellement plus tard lorsqu'ils éprouveront le besoin de «tout démontrer ».  Permettre à un étudiant isolé d'acquérir, de comprendre et de dominer par lui-même toutes les notions abordées. OBJECTIFS SPÉCIFIQUES:  Faire le lien rapidement avec la pratique dans un domaine bien précis.  Se mettre à la place de l’élève pour comprendre ses erreurs.  Analyser des problèmes de mathématiques : – En fonction des connaissances préalables des élèves, – En lien avec les savoirs en jeu, – Pour prévoir les erreurs des élèves. FICHE DE PROGRESSION DU COURS I- PROCESSUS GÉNÉRAL DU DÉROULEMENT DE CHAQUE COURS SEQUENCES THEMES DEVELOPPES DUREE SEQUENCE 1 : LES NOMBRES COMPLEXES 1- Définition 2- Résolutions des équations dans C a. Racine carrée d’un nombre complexe b. Equation du second degré c. Théorème fondamental de l’algèbre 3- Conjugué et module d’un nombre complexe a. Conjugué b. module d’un nombre complexe 4- Argument, forme trigonométrique, forme exponentielle d’un nombre complexe a) Argument b) Forme trigonométrique c) Forme exponentielle 5- Racines n-ièmes d’un nombre complexe 6- Formue de Moivre, formule d’Euler et binôme de Newton CM : 4h TD : 2h SÉQUENCE 2 : SUITES ET SERIES NUMERIQUES 1. SUITES NUMERIQUES a. Définition b. Suites minorée, suites majorées et suites bornées c. Suites adjacentes d. Suites extraites. e. Suites de Cauchy f. Exercices pratiques 2. SERIES NUMERIQUES a. Définition b. Convergence d’une série c. Séries géométriques c. Séries de Riemann d. Série à termes positifs e. Série absolument convergentes f. Série alternées g. Exercices d’application CM : 4h TD : 2h SÉQUENCE 3 : FONCTIONS RELLES A UNE VARIABLE 1. INTRODUCTION 2. LES FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES ET INVERSES a. Fonctions trigonométriques b. Etude d’une fonction trigonométrique c. Fonction trigonométrique inverses d. Dérivés des fonctions trigonométriques inverses de base 3. FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN CM : 4h TD : 2h SÉQUENCE 4 : FONCTIONS RELLES A UNE VARIABLE (SUITE) 1. Rappels du dernier cours 2. Quelques exercices mnémotechniques 4. FONCTIONS EXPONENTIELLES-PUISSANCES a. Fonction exponentielle b. Fonction puissances CM : 4h TD : 1h 4. FONCTIONS HYPERBOLIVQUE a. Cosinus hyperpboliqaue b. Sinus hyperbolique c. Tangente hyperbolique 5. CALCULS DES LIMITES a. Règle de l’Hospital : b. Formule de Taylor 6. SERIES DE TRAVAUX DIRIGES No 1 et 2 SÉQUENCE 5 : INTEGRATION 1. Intégration directe a. Exercice d’application b. Exercice pratique et TPE 2. Propriétés des intégrales. 3. Changement de variable dans une intégrale 4. Intégration par parties a. Exercice d’application b. Exercice pratique et TPE 5. Intégration des fractions rationnelles CM : 4h TD : 1h SÉQUENCE 6 : INTEGRATION (SUITE ET FIN) 1. Rappels du dernier cours 2. Quelques exercices mnémotechniques 3. Intégration des fractions rationnelles par décomposition en éléments simples a. Exercice d’application b. Exercice pratique et TPE 4. Intégration des fractions irrationnelles élémentaires 5. Intégration des fonctions trigonométriques a. Exercice d’application b. Exercice pratique et TPE CM : 4h TD : 1h SÉQUENCE 7 : EQUATIONS DIFFERENTIELLES I. GENERALITE ET RÔLE II. EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES DU PREMIER ORDRE SANS SECOND MEMBRE III. EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE 1. Méthodes de résolution des équations différentielles du premier ordre 2. Exercices d’applications IV. EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU SECOND ORDRE CM : 2h TD : 1h SOURCES DOCUMENTAIRES [1] André Giroux, Initiation à l’analyse mathématique - Cours et exercices corrigés, Ellipses, 2014 [2] Ernst Hairer et Gerhard Wanner, L'Analyse au fil de l'histoire, Springer, 2000 [3] Jacques Harthong, Cours d'analyse mathématique, Strasbourg, 2005 [4] CIAM terminale SM [5] Dmitri Latsis Université de Caen. Mathématiques pour l’étudiant de première année [6] P.GUINIM ; F.AUSONNET ; E. JOPPEN. ANALYSE 1 Précis de MATHEMATIQUES. Cours et exercice résolus [7] François LIRET. Maths en pratique. A l’usage des étudiants cours et exercices. [8] www.bibmaths.net [9] J.F. Lièvre & E. Mazoyer. L’épreuve de mathématiques au concours de ENSEA [10] www.bibmaths.net SOMMAIRE FICHE DE PROGRESSION DU COURS................................................................................iii SOURCES DOCUMENTAIRES...............................................................................................v INTRODUCTION GENERALE................................................................................................1 CHAPITRE I NOMBRES COMPLEXES.........................................................................2 I. DEFINITION...............................................................................................................2 II. RESOLUTION DES EQUATIONDANS C................................................................2 1. Racine carrée d’un nombre complexe......................................................................2 2. Equation du second degré.........................................................................................3 3. Equation de la forme p(z)= anzn+an-1zn-1+an-2zn-2+…+a1z+a0......................................4 Théorème fondamentale d’algèbre.....................................................................................4 III. Conjugué et module d’un nombre complexe...............................................................4 1. Conjugué...................................................................................................................4 2. Module d’un nombre complexe................................................................................5 IV. Argument, forme trigonométrique, forme exponentielle d’un nombre complexe.......5 1. Argument d’un nombre complexe............................................................................5 2. Forme trigonométrique d’un nombre complexe.......................................................5 3. Forme exponentielle d’un nombre complexe...........................................................6 V. Racines n-ièmes d’un nombre complexe.....................................................................6 Propriétés............................................................................................................................6 VI. Formue de Moivre, formule d’Euler et binôme de Newton.........................................6 1. Formule de Moivre...................................................................................................6 2. Formule d’Euler........................................................................................................7 3. Binôme de Newton...................................................................................................7 CHAPITRE II SUITES ET SERIES NUMERIQUES...................................................8 I. SUITES NUMERIQUES.............................................................................................8 1. Définition..................................................................................................................8 2. Suites minorée, suites majorées et suites bornées....................................................8 3. Suites adjacentes.......................................................................................................9 4. Suites extraites........................................................................................................10 5. Suites de cauchy............................................................................................................10 II. SERIES NUMERIQUES...........................................................................................11 1. Définition................................................................................................................11 2. Convergence d’une série........................................................................................11 3. Séries géométriques................................................................................................12 4. Séries de Riemann..................................................................................................13 5. Séries à termes positifs...........................................................................................13 6. Série absolument convergentes..............................................................................13 7. Série alternées.........................................................................................................14 CHAPITRE III FONCTIONS REELLES A UNE VARIABLES.........................................15 I. INTRODUCTION......................................................................................................15 II. LES FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES ET INVERSES.................................15 1. Fonctions trigonométriques....................................................................................15 2. Etude d’une fonction trigonométrique....................................................................15 3. Fonction trigonométrique inverses.........................................................................16 4. Dérivés des fonctions trigonométriques inverses de base...................................16 III. FONCTION LOGARITHME NÉPÉRIEN................................................................16 IV. FONCTIONS EXPONENTIELLES - FONCTION PUISSANCES.........................17 1. Fonction exponentielle...........................................................................................17 2. Fonction puissances.....................................................................................................17 V. FONCTIONS HYPERBOLIVQUE...........................................................................17 1. Cosinus hyperpbolique...........................................................................................17 2. Sinus hyperbolique.................................................................................................17 3. Tangente hyperbolique...........................................................................................18 VI. CALCULS DES LIMITES........................................................................................18 1. Règle de l’Hospital :...............................................................................................18 2. Formule de Taylor..................................................................................................18 CHAPITRE IV INTEGRATION.............................................................................20 I. INTEDGRATION DIRECTE, CHANGEMENT DE VARIABLE PAR PARTIES 20 1. Intégration directe...................................................................................................20 2. Propriétés des intégrales.........................................................................................20 3. Changement de variable dans une intégrale...........................................................21 4. Intégration par parties.............................................................................................21 5. Intégration des fractions rationnelles......................................................................22 6. Intégration des fractions rationnelles par décomposition en éléments simples......23 7. Intégration des fractions irrationnelles élémentaires..............................................24 8. Intégration des fonctions trigonométriques............................................................25 9. INTEGRALE DU TYPEsinmx.cosnxdx...............................................................26 10. Intégrales du type sinmx.cosnxdx ;cosxmx .cosnxdx ; sinmx. sinnxdx...................26 2. Intégrales impropres............................................................................................27 CHAPITRE V EQUATIONS DIFFERENTIELLES.................................................28 I. GENERALITE ET RÔLE..........................................................................................28 II. EQUATIONS DIFFERENTIELLES LINEAIRES DU PREMIER ORDRE SANS SECOND MEMBRE............................................................................................................28 III. EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU PREMIER ORDRE................................28 1. Méthodes de résolution des équations différentielles du premier ordre.................28 IV. EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU SECOND ORDRE A COEFFICIENTS..30 1. Equation de la forme a2y’’+¿a1y’+¿a0y¿0..............................................................30 TRAVAUX DIRIGES SUR LES NOMBRES COMPLEXES................................................31 TRAVAUX DIRIGES SUR LES SUITES ET SERIES NUMERIQUES...............................33 PREMIERE PARTIE : SUITES.......................................................................................33 DEUXIEME PARTIE : SERIES......................................................................................34 TRAVAUX DIRIGES SUR LES FONCTIONS A UNE VARIABLE....................................34 TRAVAUX DIRIGES SUR LES INTEGRALES................................................................35 TRAVEAUX DIRIGES SUR LES EQUATIONS DIFFERENTIELLES...............................36 INTRODUCTION GENERALE Dans l'Antiquité et au Moyen Âge respectivement, les mathématiciens grecs et indiens se sont intéressés à l'infinitésimal et ont obtenu des résultats prometteurs mais fragmentaires. L'analyse moderne a émergé au xviie siècle avec le calcul infinitésimal d'Isaac Newton et Gottfried Wilhelm Leibniz. Au xixe siècle, Cauchy introduisit le concept de suite de Cauchy et commença la théorie formelle de l'analyse complexe. Poisson, Liouville, Fourier et d'autres étudièrent les équations aux dérivées partielles et l'analyse harmonique. Riemann introduisit sa théorie de l'intégration, puis Karl Weierstrass sa définition des limites. Richard Dedekind construisit les nombres réels avec ses coupures. En même temps, on commença à étudier la « taille » des ensembles de réels. En outre, des « monstres mathématiques » commencèrent à être créés. Dans ce contexte, Camille Jordan développa sa théorie sur la mesure et Georg Cantor, ce qu'on appelle aujourd'hui la théorie naïve des ensembles. Au début du xxe siècle, le calcul infinitésimal fut formalisé grâce à la théorie des ensembles. Henri Lebesgue travailla sur la notion de mesure d'un ensemble, afin de créer de nouveaux outils mathématiques, et David Hilbert introduisit les espaces de Hilbert. L'analyse fonctionnelle prit son essor dans les années 1920 avec Stefan Banach. Ce cours est destiné à tous les étudiants qui peuvent avoir besoin d'analyse pour leurs études supérieures. Il permettra à tous les scientifiques, en particulier ceux des écoles de technologies de trouver des résultats rigoureux et bien expliqués, mais sans avoir à rentrer dans des explications compliquées. Les futurs étudiants de physique, chimie, électronique, mécanique, ou même économie ou sciences naturelles trouveront là la plupart des outils de calcul en analyse dont ils pourront avoir besoin. Pour les étudiants qui feront des mathématiques, cet ouvrage leur permettra d'avancer rapidement et avec précision dans la découverte de ces outils, sur lesquels ils reviendront éventuellement plus tard lorsqu'ils éprouveront le besoin de « tout démontrer ». La particularité de ce cours est qu'il a été conçu pour permettre à un étudiant isolé d'acquérir, de comprendre et de dominer par uploads/Management/ analyse-mathematique-1-1.pdf