Lycée Alphonse Daudet - MPSI Année 2019-2020 Cours et compléments Une constru
Lycée Alphonse Daudet - MPSI Année 2019-2020 Cours et compléments Une construction de l'intégrale de Riemann Objectifs 1. Dé nir une notion d'aire, donc l'intégrale. 2. En déduire les propriétés essentielles de l'intégrale. I Contextualisation I.1 Motivation Définition 1 : Définition TS de l’intégrale. L’int´ egrale de la fonction f entre a et b est l’aire alg´ ebrique orient´ ee sous la courbe. Quelques explications : • "Sous la courbe" signi e : de la surface délimitée par les courbes d'équation y = 0, x = a, x = b et y = f(x). • "Algébrique" signi e que les portions situées au dessus de l'axe des abscisses comptent positivement et celle situées en dessous négativement. • "Orientée" signi e que si on a a > b, les signes doivent être opposés. Quid du mot "aire" ? Deux impératifs : 1. L'aire d'un rectangle doit être largeur × longueur. 2. L'aire d'une réunion disjointe doit être la somme des aires. Quelles "fonctions" veut-on pouvoir intégrer ? ⇝Les fonctions continues. ⇝Mais pas que (penser à une fonction créneau : c'est bien le moins de pouvoir l'intégrer !). I.2 Fonctions continues par morceaux, fonctions en escalier Définition 2 : Subdivision. On appelle subdivision de [a, b] un (n + 1)-uplet (a0, a1, . . . , an) tel que : · a0 = a ; · an = b ; · a0 < a1 < . . . < an. Exemple 1 La subdivision régulière de pas (b−a) n : ai = a + i (b−a) n . 1 Lycée Alphonse Daudet - MPSI Année 2019-2020 Cours et compléments Définition 3 : Relation de finesse sur les subdivisions. Soient (n, m) ∈N2, et (a = α0, α1, . . . , αm = b) et (a = β0, β1, . . . , βn = b) deux subdivisions de [a, b]. On dit que (α0, α1, . . . , αm) est plus ne que (β0, β1, . . . , βn) lorsqu’elle contient plus de points. On notera les diverses formulations équivalentes suivantes : 1. (α0, α1, . . . , αm) est plus ne que (β0, β1, . . . , βn) 2. m ⩾n et tous les βi sont des αj 3. {β0, . . . , βn} ⊂{α0, . . . , αm} 4. il existe une application strictement croissante ϕ : {0, 1, . . . , n} →{0, 1, . . . , m} telle que ϕ(0) = 0, ϕ(n) = m, et ∀i ∈{0, . . . , n}, αϕ(i) = βi. Lemme 1 . Si f ∈Cpm([a, b], R) alors la subdivision canoniquement associ´ ee ` a f est moins fine que toute subdivision adapt´ ee ` a f. Démonstration. Cela résulte immédiatement des dé nitions. Lemme 2 . Si (a = α0, α1, . . . , αm = b) et (a = β0, β1, . . . , βn = b) sont deux subdivisions de [a, b], alors il existe une subdivision (a = γ0, γ1, . . . , γN = b) plus fine que (α0, α1, . . . , αm) et plus fine que (β0, β1, . . . , βn). Démonstration. Il su t de noter γ0 < γ1 < . . . < γN les éléments de {α0, α1, . . . , αm} ∪{β0, β1, . . . , βn}. Définition 4 : Fonction continue par morceau. On appelle fonction d´ efinie par morceaux sur [a, b] une fonction f d´ efinie sur [a, b] telle qu’il existe une subdi- vision (a0, a1, . . . , an) pour laquelle : • toutes les f]ai,ai+1[ sont continues ; • toutes les f]ai,ai+1[ se prolongent par continuit´ e sur [ai, ai+1]. On dit alors que (a0, a1, . . . , an) est une subdivision associ´ ee ` a f. L'ensemble des fonctions continues par morceaux sur [a, b] se note Cpm([a, b], R). Exercice 1. (un peu HP) : Quelles sont les fonctions Cpm ayant des primitives ? Exemple 2 Contre-exemple : une fonction qui a l'air mais n'est pas Cpm : [−1, 1] → R x 7→ 1 x si x ̸= 0 0 si x = 0 On n'a pas unicité de la subdivision associée à f. Définition 5 : Subdivision canoniquement associée. La subdivision canoniquement associ´ ee ` a f ∈Cpm([a, b]) est la moins fine des subdivisions associ´ ees ` a f. Définition 6 : Fonction en escalier. On appelle fonction en escalier sur [a, b] une fonction f d´ efinie sur [a, b] telle qu’il existe une subdivision (a0, a1, . . . , an) pour laquelle : • toutes les f]ai,ai+1[ sont constantes. (Il s’agit donc d’une fonction ”constante par morceaux”.) L'ensemble des fonctions en escalier sur [a, b] se note E([a, b], R) Exemple 3 Toute restriction de la la fonction "partie entière" à un segment est en escalier. 2 Lycée Alphonse Daudet - MPSI Année 2019-2020 Cours et compléments II Construction de l'intégrale de Riemann Dans cette section, on suppose a ⩽b. On complète ensuite la construction à l'aide de la relation Z a b f = − Z b a f. II.1 Intégrale d'une fonction en escalier Comme on veut que l'aire d'une réunion disjointe soit la somme des aires, on n'a pas le choix, il faut dé nir l'intégrale d'une fonction en escalier par la somme des aires algébriques des rectangles déterminés par son graphe. Et comme on veut que l'aire d'un rectangle soit le produit de sa longueur par sa largeur, cela donne : Définition 7 : Intégrale d’une fonction en escalier. Si f est en escalier sur [a, b], on appelle intégrale de f entre a et b et on note Z b a f ou Z b a f(t) dt le r´ eel n−1 X i=0 yi(ai+1 −ai) o` u (a = a0, a1, . . . an = b) est la subdivision canoniquement associ´ ee ` a f et yi la valeur de f sur ]ai, ai+1[ (on peut par exemple ´ ecrire yi = f ai+ai+1 2 ). Proposition 1 : Indépendance à la subdivision. Si f est en escalier sur [a, b], que (a = u0, u1, . . . um = b) est une subdivision adapt´ ee ` a f quelconque et que zi est la valeur de f sur ]ui, ui+1[ (on peut par exemple ´ ecrire zi = f ui+ui+1 2 ) alors Z b a f = m−1 X i=0 zi(ui+1 −ui). En d'autres termes l'intégrale d'une fonction en escalier ne dépend pas de la subdivision choisie pour la calculer. On peut prendre n'importe quelle subdivision adaptée dans la dé nition précédente, il n'est pas nécessaire de choisir la subdivi- sion canoniquement associée à f. Et comme un petit dessin éclaire plus qu'un long discours, complétons notre dessin. Démonstration. Rappelons que, comme (a0, a1, . . . an) est la subdivision canoniquement associée à f, toutes les autres subdivisions de f, et en particulier (u0, u1, . . . un), sont plus nes que (a0, a1, . . . an). Il existe donc une application strictement croissante ϕ telle que u0 = uϕ(0) = a0 < u1 < . . . < uϕ(1) = a1 < uϕ(1)+1 < . . . < uϕ(2) = a2 < . . . < . . . < uϕ(n−1) = an−1 < uϕ(n−1)+1 < . . . < um = u On écrit alors : m−1 X i=0 zi(ui+1 −ui) = ϕ(n)−1 X i=0 zi(ui+1 −ui) = ϕ(1)−1 X i=0 zi(ui+1 −ui) + ϕ(2)−1 X i=ϕ(1) zi(ui+1 −ui) + . . . + ϕ(n)−1 X i=ϕ(n−1) zi(ui+1 −ui) = ϕ(1)−1 X i=0 y0(ui+1 −ui) + ϕ(2)−1 X i=ϕ(1) y1(ui+1 −ui) + . . . + ϕ(n)−1 X i=ϕ(n−1) yn−1(ui+1 −ui) = y0 ϕ(1)−1 X i=0 (ui+1 −ui) + y1 ϕ(2)−1 X i=ϕ(1) (ui+1 −ui) + . . . + yn−1 ϕ(n)−1 X i=ϕ(n−1) (ui+1 −ui) = n−1 X i=0 yi(uϕ(i+1) −uϕ(i)) = n−1 X i=0 yi(ai+1 −ai) = Z b a f Et hop. 3 Lycée Alphonse Daudet - MPSI Année 2019-2020 Cours et compléments Remarque : Ce théorème a rme simplement que si on dé nit l'aire d'un rectangle par le produit de sa longueur par sa largeur, alors l'aire d'un rectangle obtenu en réunissant deux rectangles dont l'intersection est réduite à un segment est la somme des aires de chaque rectangle. Terminons par un lemme évident et utile pour la suite : Lemme 3 . Si ϕ et ψ sont en escalier sur[a, b] et qu’on a ϕ ⩽ψ sur [a, b], alors on a Z b a ϕ ⩽ Z b a ψ . Démonstration. Puisque l'intégrale ne dépend pas de la subdivision adaptée choisie, prenons une subdivision adaptée à la fois à ϕ et à ψ. Le résultat s'ensuit par compatibilité de la somme avec la relation d'ordre. II.2 Intégrale de uploads/Management/ integration 1 .pdf
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- Publié le Nov 04, 2022
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