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École Polytechnique Élèves voie 2 Semestre d'accueil Introduction au calcul des

École Polytechnique Élèves voie 2 Semestre d'accueil Introduction au calcul des probabilités Résumé de cours Alexandre POPIER, Olivier WINTENBERGER Année : 2006-2007 3 La théorie des probabilités concerne la modélisation du hasard et le calcul des proba- bilités, son évaluation. Ces techniques doivent faire partie des connaissances de base de tous les ingénieurs, très souvent confrontés à des systèmes ou des situations de plus en plus complexes et parfois gouvernées en partie par le hasard. Elles jouent par exemple un rôle essentiel dans l'évaluation de la sûreté de fonctionnement des systèmes d'information et de communication, ou en nance quantitative (pricing d'options, couvertures, etc.). Le texte qui suit constitue un résumé du cours d'initiation en probabilités du semestre d'accueil pour les élèves de la voie 2 en première année de l'École Polytechnique. Il ne saurait se substituer à un exposé complet et commenté et encore moins à la pratique d'exercices d'application. Il peut néanmoins servir de référence ou d'aide-mémoire en ce qui concerne les notions et outils de base de ces disciplines, exposés selon le cheminement naturel d'un cours. Pour les étudiants, nous ajoutons qu'ils trouveront des informations sur les cours (contenu, modi cations, lieux, horaires, etc.) sur la page Internet suivante : - http://owintenb.free.fr/accueil.html Pour avoir des complèments, nous renvoyons le lecteur aux diérentes références à la n du cours et à leurs bibliographies respectives. Nous remercions Alexis Bienvenüe et Paul Doukhan pour nous avoir permis de nous inspirer largement de leurs cours de probabilité et statistique. Ces notes de cours sont évidemment une version préliminaire et nous serions reconnaissant à tout lecteur de nous faire part des fautes qu'il y aura détectées à l'adresse suivante : - owintenb@univ-paris1.fr. TABLE DES MATIÈRES 5 Table des matières 1 Première approche dans le cas ni, dénombrement 1 1.1 Motivation et introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Espace des observables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.2 Probabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.3 Le cas équiprobable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Notions de dénombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Premières dé nitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.2 Principes de la somme et du produit . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.3 Dénombrement des p-listes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.4 Dénombrement des Arrangements et des Permutations . . . . . . . 6 1.2.5 Dénombrement des Combinaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.6 Propriétés des coe cients binômiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Autre exemple important : le schéma Succès-Échec ni. . . . . . . . . . . . 9 1.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Axiomes du calcul des probabilités 13 2.1 L'espace de probabilité (Ω, F, P) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.1 L'espace des observables Ω. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.2 La tribu des événements F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.3 La probabilité P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Indépendance et probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.1 Probabilités conditionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 L'espace des observables est au plus dénombrable. . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3.1 Un exemple : le schéma Succès-Échec in ni. . . . . . . . . . . . . . 22 2.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3 Élément aléatoire 27 3.1 Élément aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.1.1 Dé nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.1.2 Loi de probabilité d'un élément aléatoire . . . . . . . . . . . . . . . 28 3.1.3 Variables indépendantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.1.4 Fonction de répartition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2 Variables aléatoires discrètes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2.1 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 3.2.2 Fonction génératrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 6 TABLE DES MATIÈRES 3.2.3 Lois discrètes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.3 Variables aléatoires à densité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3.1 Probabilité absolument continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.3.2 Variables aléatoires réelles absolument continues . . . . . . . . . . . 39 3.3.3 Moments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.3.4 Fonction caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.3.5 Lois absolument continues classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 4 Deux théorèmes limites et leurs applications 51 4.1 Loi des grands nombres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 4.2 Théorème central limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 4.3 Applications . . . uploads/Management/ calcul-des-probabilit-amp-00233-s.pdf