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Programmes de mathématiques du second cycle – Terminales S2 et S4 - Année 2006

Programmes de mathématiques du second cycle – Terminales S2 et S4 - Année 2006 71 TERMINALE S2 et S4 Programmes de mathématiques du second cycle – Terminales S2 et S4 - Année 2006 72 INTRODUCTION GENERALE Le programme des classes de Terminales S2 et S4 s'inscrit dans la continuité de la réforme des programmes entreprise depuis 1990 à partir de la 6ème. En conséquence, il prend en compte les changements adoptés dans les classes précédentes et se situe dans l'esprit de l'harmonisation des programmes de Mathématiques. Ce programme est prévu pour cinq heures de cours par semaine. Le programme est formulé en termes de contenus. Ces contenus sont assortis de commentaires. Les compétences exigibles, sur lesquelles l'élève doit être évalué, complètent ce programme. Les classes de Terminales S2 et S4 sont des classes à vocation scientifique tournée vers les sciences expérimentales. En conséquence, l'analyse et la gestion des données y prennent une place prépondérante. L'acquisition par les élèves d'un raisonnement rigoureux et d'une bonne maîtrise technique des outils mathématiques doit se faire sans excès de formalisme et d'abstraction : les savoir faire sont privilégiés sur les savoirs théoriques. L'introduction d'une nouvelle notion par des activités préparatoires sera toujours privilégiée sur une approche théorique. On donnera du sens à toute démarche mathématique afin de ne pas la déconnecter de la réalité. Le raisonnement constitue un objectif majeur dans la formation. La formulation des démonstrations et la compréhension des énoncés (particulièrement en dénombrement) feront l'objet d'une étude soignée. Une liaison maths-français est souhaitable. L'approche historique, quand elle est possible, sera encouragée pour donner à l'élève une ouverture sur la culture mathématique. De nombreux concepts mathématiques seront utilisés dans les autres disciplines particulièrement en Sciences Physiques. Ce sera l'occasion au travers d'une collaboration interdisciplinaire de décloisonner l'enseignement. Les exercices seront pris, autant que possible, dans le domaine socioculturel de l'élève. Programmes de mathématiques du second cycle – Terminales S2 et S4 - Année 2006 73 ANALYSE. Le programme d'analyse porte essentiellement sur les fonctions numériques. L'objectif principal est d'exploiter la dérivation et l'intégration pour l'étude globale et locale des fonctions usuelles et des fonctions qui s'en déduisent de manière simple. Quelques problèmes d'importance majeure fournissent un terrain pour cette étude : étude de variations, recherche d'extrema, résolution d'équations et d'inéquations, calcul de grandeurs géométriques. Quelques notions sur les suites complètent le programme d'analyse dans le seul but de permettre l'étude de situations discrètes sur des exemples simples. Les activités sur les suites et les fonctions ne sauraient se borner à des exercices portant sur des exemples donnés à priori, il convient aussi d'étudier des situations issues de l'algèbre, de la géométrie, des sciences physiques, des sciences de la vie et de la terre, des sciences économiques et des sciences humaines. Contenus Commentaires Compétences exigibles I) FONCTIONS NUMÉRIQUES. 1) Rappels et Compléments. - Rappels sur la continuité . - Théorème des valeurs intermédiaires (admis). - Fonction réciproque d'une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle : existence et continuité (admises), monotonie, représentation graphique. -Etude des branches infinies -Théorèmes de comparaison des limites -Limite d'une fonction composée : a et l étant deux réels, si x a f x → lim ( )= b et g est continue en b,alors x a gof x → lim ( )= g(b). -Composée de deux fonctions continues. 2) Dérivées et primitives. - Dérivation d'une fonction composée de deux fonctions dérivables. Applications aux • Prolonge-ment par continuité. • On recherchera sur des exemples une valeur approchée d'un zéro d'une fonction continue. • Sur des exemples, déterminer, quand cela est possible, l'expression de f -1 (x). • La dérivation de la réciproque (lorsque cela est possible) pourra être traitée et utilisée dans la suite du cours. • Déterminer l'image d'un intervalle par une fonction continue. • Utiliser le théorème des valeurs intermédiaires pour rechercher une valeur approchée d'un zéro d'une fonction continue. • Justifier l'existence, la continuité et la monotonie d'une fonction réciproque. • Représenter la fonction réciproque d'une fonction bijective donnée à partir de la représentation de cette dernière. • Calculer la limite d'une fonction composée gof en un point a lorsque f Programmes de mathématiques du second cycle – Terminales S2 et S4 - Année 2006 74 Contenus Commentaires Compétences exigibles fonctions du type fa a ∈ Q - Dérivation de la réciproque d'une fonction dérivable monotone et de dérivée non nulle. • admet une limite b en a et lorsque g est continue en b. • Justifier la continuité de la composée de deux fonctions continues. • Justifier la dérivabilité et calculer la dérivée d'une fonction composée - Dérivées successives. - Points d’inflexion : Définition :On dit que la courbe de f admet un point d’inflexion d’abscisse 0 x si la courbe y traverse sa tangente . Théorème :Si f est deux fois dérivable sur un intervalle ouvert I contenant 0 x et si f ’ s’annule en changeant de signe en 0 x alors le point de la courbe d’abscisse 0 x est un point d’inflexion. -Théorème admis : Si lim '( ) x a f x l → = (l réel fini ou pas) alors lim ( ) ( ) x a f x f a x a l → − − = - Primitives d'une fonction continue sur un intervalle : - Définition, existence (admise),ensemble des primitives d'une fonction continue, propriété des primitives, primitives de fonctions usuelles, primitives des fonctions du type (g'of).f'. - Inégalité des accroissements finis • On utilisera les notations f', f",....et, en liaison avec la physique, on introduira les notations dx df et 2 2 dx f d . • On se limitera à des calculs simples, on donnera les indications nécessaires pour les transformations éventuelles. • Connaître les notations f ', f", ..., f(n). • Calculer les dérivées successives. • Connaître les primitives des fonctions usuelles. • Déterminer les primitives des fonctions usuelles et du type (g'of).f ' , f n .f' , n ∈ Q-{ -1} • Savoir utiliser l’inégalité des accroissements finis Programmes de mathématiques du second cycle – Terminales S2 et S4 - Année 2006 75 Contenus Commentaires Compétences exigibles 3) Fonctions usuelles • Exemples d’étude de fonctions polynômes, rationnelles et trigonométriques. • Fonctions puissances : x xa a , avec a entier ou rationnel. • Fonction logarithme népérien : ensemble de définition, propriétés algébriques, continuité, limites, dérivée, représentation graphique. • Fonction exponentielle : ensemble de définition, propriétés algébriques, continuité, limites, dérivée, primitive, représentation graphique. • La fonction logarithme népérien, noté ln, est la primitive sur ]0, _∞[ de la fonction [x a x 1 ] qui s'annule en 1. • En liaison avec la physique, on introduira le logarithme décimal, noté log. • La fonction exponentielle est définie comme fonction réciproque de la fonction logarithme népérien, et sera notée [ x a exp(x) ]. On démontrera aussi que exp(x) = ex. • On s'intéressera aux limites usuelles ci- dessous : x a x x →+ 0 lim ln( ); x a x x →+∞ lim ln( ) x x a e x →+∞ lim ; x x x → + 0 1 lim ln( ); x x e x → − 0 1 lim a étant un rationnel strictement positif • Connaître et utiliser les limites ( a est un rationnel strictement positif ) x a x x →+ 0 lim ln( ); x a x x →+∞ lim ln( ); x x a e x →+∞ lim ; x x x → + 0 1 lim ln( ); x x e x → − 0 1 lim . lim x n x x e →−∞ n est un entier naturel non nul. • Déterminer les primitives des fonctions du type (exp o f).f ' , f f ' Programmes de mathématiques du second cycle – Terminales S2 et S4 - Année 2006 76 II) SUITES NUMERIQUES Les suites numériques seront étudiées sur des exemples et leur introduction sera faite sans théorie. On pourra y consolider le raisonnement par récurrence. Contenus Commentaires Compétences -Compléments sur les suites arithmétiques, sur les suites géométriques et sur les suites récurrentes. -Théorèmes sur la convergence des suites monotones bornées (admis). -Limite d'une suite du type Un+1 = f(Un) • Des rappels sur les suites seront faits sur des exemples. • Suites récurrentes: un+1= f(un), où f est continue. On représentera ces suites pour faire apparaître la convergence ou la divergence. • On admettra les théorèmes suivants : - Si (Un) converge vers L et si f est une fonction continue en L alors (f(Un)) converge vers f(L). -Soit (Un) une suite définie par la relation Un+1= f(Un). Si Un converge vers L et si f est continue en L alors L est solution de l'équation x = f(x). • Connaître et utiliser les théorèmes sur la convergence des suites monotones bornées. • Déterminer le sens de variation, la convergence, et la limite d'une suite de type Un+1= f (Un), avec f continue. • Représenter graphiquement une suite de type Un+1= f (Un), avec f continue. III) CALCUL INTÉGRAL uploads/Management/ math-tle-s2-et-s4.pdf