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1 Chapitre 1 Introduction aux probabilités & Analyse combinatoire  Introductio

1 Chapitre 1 Introduction aux probabilités & Analyse combinatoire  Introduction  Notions élémentaires  Définitions des probabilités  Règles de calcul des probabilités  Analyse combinatoire Cours Probabilité 2 Introduction : un peu d’histoire 3 Introduction : Définition de la théorie des probabilités La théorie des probabilités est une science qui a pour but l’étude des expériences aléatoires ; elle vise à construire des modèles mathématiques pour analyser des situations impliquant l’incertitude, et à définir des mesures exactes de cette incertitude par l’intermédiaire de ces modèles. 4 Notions élémentaires : Expérience aléatoire Définition : Expérience aléatoire Toute opération (réalisée par un être humain) dont le résultat ne peut pas être prévu à l’avance avec certitude. Exemples 1. Lancer une pièce de monnaie un certain nombre de fois ; 2. Observer le nombre de pièces défectueuses dans un lot de pièces ; 3. Observer le nombre de clients qui entrent dans un supermarché durant une journée ; 4. Tirer au hasard un individu d’une population statistique. 5 Notions élémentaires : Ensemble fondamental Définition : Ensemble fondamental Ω On appelle ensemble fondamental (ou espace échantillonnal) Ω, l’ensemble de tous les résultats possibles qui peuvent se produire dans une expérience aléatoire. Exemple On lance deux dés et on note la somme des points obtenus sur chacun d’eux.   2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12  6 Notions élémentaires : Ensemble fondamental 1. Description explicite : énumérer tous les éléments de l’ensemble Ω ; 2. Description implicite : utiliser un formalisme mathématique pour décrire l’ensemble Ω. Exemple Soit l’expérience aléatoire consistant à lancer une pièce de monnaie trois fois de suite et à observer la suite de piles (P) ou de faces (F) obtenues. Il existe deux façons permettant de décrire l’ensemble fondamental Ω : 7 Notions élémentaires : Ensemble fondamental Description explicite  8 Notions élémentaires : Ensemble fondamental Description implicite Résultats de chaque lancé Ω est un ensemble de triplets Chaque résultat peut être soit Pile ou Face     1 2 3 ( , , ) , , 1,2,3 i tel que P F i      9 Notions élémentaires : Ensemble fondamental Exemples de construction de l’ensemble Ω Pour contrôler la qualité d’un lot de pièces produites par une machine, on prélève au hasard successivement 3 pièces de ce lot et, pour chacune d’elle, on note si elle est bonne (B) ou défectueuse (D). ( , , ),( , , ),( , , ),( , , ) ( , , ),( , , ),( , , ),( , , ) B B B B B D B D B D B B B D D D B D D D B D D D           1 2 3 ( , , ) , , 1,2,3 i tel que B D i      10 Notions élémentaires : Événement Définition : Événement On appelle événement tout sous-ensemble de l’ensemble fondamental (Ω) associé à une expérience aléatoire. Les événements sont notés par des lettres majuscules (A, B, C,…) et peuvent être décrit d’une manière implicite ou explicite. On dit qu’un événement A se réalise si et seulement si l’expérience aléatoire donne un des résultats constituant cet événement. 11 Notions élémentaires : Événement Exemple Pour contrôler la qualité d’un lot de pièces produites par une machine, on prélève au hasard successivement 3 pièces de ce lot et, pour chacune d’elle, on note si elle est bonne (B) ou défectueuse (D). Soit les deux événements suivants : ¨ A : obtenir au moins 2 pièces défectueuses. ¨ B : obtenir une pièce défectueuse au 2ième tirage et une bonne pièce au 3ième tirage. ( , , ),( , , ),( , , ),( , , ) ( , , ),( , , ),( , , ),( , , ) B B B B B D B D B D B B B D D D B D D D B D D D       12 Notions élémentaires : Événement Exemple … L’événement A : obtenir au moins 2 pièces défectueuses L’événement B : obtenir une pièce défectueuse au 2ième tirage et une bonne pièce au 3ième tirage. ( , , ),( , , ),( , , ),( , , ) ( , , ),( , , ),( , , ),( , , ) B B B B B D B D B D B B B D D D B D D D B D D D         ) , , ( ), , , ( ), , , ( ), , , ( D D D B D D D B D D D B A    ) , , ( ), , , ( B D D B D B B  13 Notions élémentaires : Événement Opérations sur les événements Soient A et B deux événements de Ω :  Réunion  (événement disjonction) A ou B, A  B : c’est l ’événement qui se réalise ssi A ou B se réalise ou les deux se réalisent.  Intersection  (événement conjonction) A et B, A  B : c’est l’événement qui se réalise ssi A et B se réalise en même temps.  Négation (événement contraire) ͞A ou non A : c’est l’événement qui se réalise ssi A ne se réalise pas. 14 Notions élémentaires : Événement Les 4 catégories d’événements  Evénement élémentaire (simple) : c’est lorsque l’événement se réduit à un seul résultat ;  Événement composé : tout événement correspondant à plus d’un résultat ;  Événement impossible : que l’on désigne par Ø, c’est l’événement qui ne se réalise jamais ;  Événement certain : que l’on désigne par Ω, c’est l’événement qui se réalise toujours. 15 Notions élémentaires : Événement Famille d’événements  Les événements A et B sont mutuellement exclusifs (m.e) ou incompatibles s’ils ne peuvent se réaliser en même temps. Formellement on écrit Ø.  L’événement A implique B si la réalisation de A entraîne nécessairement la réalisation de B lors de l’expérience aléatoire, c’est-à-dire que tous les résultats de A font partie de B. Formellement on écrit .  B A A B  16 Notions élémentaires : Événement Exemple  Événement A : n’obtenir aucune pièce défectueuse  Événement B : obtenir exactement une pièce défectueuse  Événement C : obtenir au plus une pièce défectueuse A et B sont incompatibles A implique C Remarques A est un événement simple B et C sont deux événements composés   ) , , ( ), , , ( ), , , ( ), , , ( B B D B D B D B B B B B C    ) , , ( B B B A    ) , , ( ), , , ( ), , , ( B B D B D B D B B B          ) , , ( ), , , ( ), , , ( ), , , ( ) , , ( ), , , ( ), , , ( ), , , ( D D D B D D D B D D D B B B D B D B D B B B B B 17 Définition des Probabilités : approche classique Probabilité d’un événement E  Ω Sous l’hypothèse d’équiprobabilité, on appelle probabilité d’un événement E, le nombre réel noté P(E) et défini par : Exemple Soit l’événement B = obtenir un nombre impair de points sur le dé. Le nombre de cas favorables est 3 puisque B = {1, 3, 5}. Or le nombre de résultats possibles de S est 6 puisque S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Donc, P(B) = 3/6 = 0.5 ( ) nombre de résultats favorables à E P E nombre de résultats de   18 Définition des Probabilités : approche classique Propriétés 1. P(A)  0 2. P(Ω) = 1 3. Si A et B sont mutuellement exclusifs ou incompatibles alors P(A  B) = P(A) + P(B) Soient A et B deux événements relatifs à la même expérience aléatoire 19 Probabilités : Règles de calcul Règles 1. P(Ē) = 1 – P(E) 2. P() = 0 3. Si E  F alors P(E)  P(F) 4. 0  P(E) 1 5. P(E  F) = P(E) - P(E  ͞F) = P(F) - P(F  ͞E) 6. P(E  F) = P(E) + P(F) - P(E  F) Soient E et F deux événements relatifs à la même expérience aléatoire 20 Analyse combinatoire : L’analyse combinatoire est un ensemble de formules qui ont pour but de dénombrer les différentes dispositions que l’on peut former à partir des éléments d’un ensemble fini. Définition Contexte : définition classique de la probabilité L’ensemble fondamental Ω est fini Les résultats de l’ensemble Ω sont équiprobables La probabilité d’un événement E, notée uploads/Management/ chapitre-1-introduction-a-la-probabilite.pdf