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Diplôme d'informaticien de gestion Mathématiques Mathématiques Chapitre II Théo

Diplôme d'informaticien de gestion Mathématiques Mathématiques Chapitre II Théorie des ensembles Diplôme d'informaticien de gestion Table des matières  Ensembles  Relations  Applications Mathématique Mathématique Chapitre II : Théorie des ensembles Théorie des ensembles Diplôme d'informaticien de gestion Ensemble Définition Un ensemble est une collection d'objets qui ont tous une propriété commune. Mathématique Mathématique Chapitre II : Ensembles Ensembles Diplôme d'informaticien de gestion e  E Mathématique Mathématique Chapitre II : Ensembles Ensembles élément ensemble Diplôme d'informaticien de gestion Définition d'un ensemble  en EXTENSION E = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11} E = {1,2,3,...,11} Mathématique Mathématique Chapitre II : Ensembles Ensembles Diplôme d'informaticien de gestion Définition d'un ensemble  en COMPREHENSION E = {a|a, a  N et a < 12} Mathématique Mathématique Chapitre II : Ensembles Ensembles Diplôme d'informaticien de gestion Diagramme de Venn Mathématique Mathématique Chapitre II : Ensembles Ensembles Diplôme d'informaticien de gestion Sous - ensemble Définition B est un sous-ensemble de l'ensemble A si les deux conditions suivantes sont remplies : a) tout élément de B est élément de A ; x, x  B  x  A b) il existe au moins un élément de A qui ne soit pas élément de B y, y  A et y  B Mathématique Mathématique Chapitre II : Ensembles Ensembles Diplôme d'informaticien de gestion B  A Mathématique Mathématique Chapitre II : Ensembles Ensembles A B E Diplôme d'informaticien de gestion Si tout élément de B est élément de A sans que l'on puisse assurer qu'il n'existe pas un élément de A qui n'est pas élément de B alors B est inclus dans A au sens large B  A Mathématique Mathématique Chapitre II : Ensembles Ensembles Diplôme d'informaticien de gestion Mathématique Mathématique Chapitre II : Ensembles Ensembles si B est inclus au sens large dans A et A est inclus au sens large dans B alors A = B B  A, A  B  A = B Diplôme d'informaticien de gestion Mathématique Mathématique Chapitre II : Ensembles Ensembles On appelle intersection de deux ou plusieurs ensembles l'ensemble des éléments communs à ces deux ou plusieurs ensembles. E B A Diplôme d'informaticien de gestion Mathématique Mathématique Chapitre II : Ensembles Ensembles C = A  B  C = {x| x, x  A et x  B} Diplôme d'informaticien de gestion Mathématique Mathématique Chapitre II : Ensembles Ensembles Axiome Proposition si évidente par elle-même qu'il est inutile, voire impossible, de la démontrer. Diplôme d'informaticien de gestion Mathématique Mathématique Chapitre II : Ensembles Ensembles Axiomes de l'intersection 1.1 A  A = A (Idempotence) 1.2 A  B = B  A (Commutativité) 1.3 (A  B)  C = A  (B  C) (Associativité) Diplôme d'informaticien de gestion Mathématique Mathématique Chapitre II : Ensembles Ensembles Réunion ou Union On appelle réunion de deux ou plusieurs ensembles l'ensemble des éléments qui appartiennent au moins à l'un de ces deux ou plusieurs ensembles. E B A Diplôme d'informaticien de gestion Mathématique Mathématique Chapitre II : Ensembles Ensembles Axiomes de l'union 2.1 A  A = A (Idempotence) 2.2 A  B = B  A (Commutativité) 2.3 (A  B)  C = A  (B  C) (Associativité) Diplôme d'informaticien de gestion Mathématique Mathématique Chapitre II : Ensembles Ensembles Ensemble complémentaire On appelle ensemble complémentaire de A par rapport à E l'ensemble de tous les éléments de E qui n'appartiennent pas à A. E A Diplôme d'informaticien de gestion Mathématique Mathématique Chapitre II : Ensembles Ensembles Ensemble complémentaire A E C = { x |  x , x  E e t x  A , A  E } = A o u A c Diplôme d'informaticien de gestion Mathématique Mathématique Chapitre II : Ensembles Ensembles Différence On appelle différence, l'ensemble de tous les éléments de A qui n'appartiennent pas à B. E B A Diplôme d'informaticien de gestion Mathématique Mathématique Chapitre II : Ensembles Ensembles Différence C = A \ B= {x|x, x  A et x  B} Diplôme d'informaticien de gestion Mathématique Mathématique Chapitre II : Ensembles Ensembles Différence symétrique On appelle différence symétrique, l'ensemble de tous les éléments de l'ensemble A et de l'ensemble B qui n'appartiennent pas aux deux ensembles en même temps. E B A Diplôme d'informaticien de gestion Mathématique Mathématique Chapitre II : Ensembles Ensembles Différence symétrique C = A  B C = {x|x, x  A ou x  B, x  (AB)} Diplôme d'informaticien de gestion Mathématique Mathématique Chapitre II : Ensembles Ensembles Partie élémentaire Une partie élémentaire s'exprime comme l'intersection de tous les sous-ensembles ou de leurs complémentaires. E B A 2 3 4 1 B A 4 B A 3 B A 2 B A 1         Diplôme d'informaticien de gestion Mathématique Mathématique Chapitre II : Ensembles Ensembles Forme canonique La forme canonique d'une expression est une réunion de parties élémentaires. B C A                                     C B A C B A C B A Diplôme d'informaticien de gestion Mathématique Mathématique Chapitre II : Ensembles Ensembles Forme canonique Écrire la forme canonique d'expressions complexes permet de démontrer que ces expressions sont équivalentes ou, au contraire, différentes. C B A C B C A                               ? Diplôme d'informaticien de gestion Mathématique Mathématique Chapitre II : Ensembles Ensembles Forme canonique C B A C B A C B A C B A C B A C B A C B A C B A                 Ensemble des parties élémentaires : Diplôme d'informaticien de gestion Mathématique Mathématique Chapitre II : Ensembles Ensembles Forme canonique                                                    C B A C B A C B C B A C B A C A Membre de gauche : Diplôme d'informaticien de gestion Mathématique Mathématique Chapitre II : Ensembles Ensembles Forme canonique Membre de droite :                                                                                      C B A C B A C B A C B A C B A C B A B A                                                   C B A C B A C B A C B A C Diplôme d'informaticien de gestion Mathématique Mathématique Chapitre II : Ensembles Ensembles Forme canonique Membre de droite :                                                                                      C B A C B A C B A C B A C B A C B A B A                                                   C B A C B A C B A C B A C Diplôme d'informaticien de gestion Mathématique Mathématique Chapitre II : Ensembles Ensembles Partition On opère une partition de E si l'on détermine des sous- ensembles non vides de E : A1, A2, ..., An disjoints deux à deux. E A1 A2 A3 A4 A5 A6 Diplôme d'informaticien de gestion Mathématique Mathématique Chapitre II : Ensembles uploads/Management/ 1-theorie-des-ensembles.pdf