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Division euclidienne Soit à diviser 12 par 3 . Nous pouvons écrire : 12 : 3 = 4

Division euclidienne Soit à diviser 12 par 3 . Nous pouvons écrire : 12 : 3 = 4 ou 12 ÷ 3 = 4 ou 4 3 12 = Si par contre, il est demandé de calculer le quotient de 12 par 7, la division “ne tombe pas juste”. Le seul résultat mathématique acceptable que nous pouvons donner est la fraction . Mais selon le problème ( lorsque le résultat attendu est nécessairement un nombre entier ) , nous pouvons donner un résultat différent. “Vous disposez de 23 €. Combien de stylos à 7 € l’unité pouvez-vous acheter?” Il est inutile, pour résoudre ce problème, de “continuer” la division ( Le résultat est nécessairement un nombre entier ). Mais comment écrire ce résultat? Il est incorrect d’écrire : La division posée ci-dessus nous apprend que nous pouvons acheter 3 stylos ( pour un total de 3 x 7 , soit 21 € ) et qu’il nous restera alors 2 €. Une façon d’écrire tous ces résultats est le suivant: Ecrire le résultat de la division de 23 par 7 sous cette forme s’appelle faire la division euclidienne de 23 par 7. THEME : CLES DE CONTROLE 7 12 Définition : Soient a et b deux entiers naturels. Faire une division euclidienne consiste à rechercher deux entiers naturels q et r respectivement appelés quotient euclidien et reste tels que : a = b x q + r avec r < b Remarque : Vocabulaire Dans l’écriture a = b x q + r , a s’appelle le dividende, b le diviseur, q le quotient euclidien ( ou simplement quotient ) et r le reste. Remarque : Nous pouvons écrire : 17 = 5 x 3 + 2 ou 17 = 5 x 2 + 7 ou 17 = 5 x 1 + 12 L’écriture correcte de la division euclidienne de 17 par 5 est la première. Le reste doit être inférieur au diviseur! Numéro INSEE ou Numéro de Sécurité Sociale ou Numéro NIR Le code INSEE, en France, est un code identifiant chaque individu, utilisé par l'Institut national de la statistique et des études économiques ( INSEE ), pour différentes analyses statistiques. Ce code s’appelle également NIR ( numéro d'inscription au répertoire ) et se retrouve sur les cartes de sécurité sociale ( carte Vitale par exemple ) Dès la naissance, en France, chaque personne est identifiée par un numéro composé de quinze chiffres. C’est le numéro INSEE ou Numéro de Sécurité Sociale. INSEE : Institut national de la statistique et des études économiques Rang 1 : Les codes « sexe » 7 et 8 peuvent être attribués pour des immatriculations temporaires, par exemple pour une personne qui trouve un emploi salarié sans être immatriculée. Rangs 4 et 5 : Dans le cas où le nombre de naissances dépasse 999 un mois donné, un code extension commune est créé. Rangs 6 et 7 : Les deux chiffres du département de naissance (2A ou 2B ) pour la Corse et 99 pour les personnes nées à l’étranger). Afin d’éviter des erreurs lors des enregistrements ( par exemple, lors des remboursements de la Sécurité Sociale ), le dernier nombre ( rangs 14 et 15 ) est une clé de contrôle . Calcul de cette clé : On considère le nombre formé des treize premiers chiffres. Ce nombre est alors divisé par 97 ( division euclidienne ) . Puis le reste obtenu est soustrait à 97 ( 97 – reste ). Le résultat est la clé de contrôle. Vérifions si le numéro INSEE donné précédemment est correct : Le nombre formé des treize premiers chiffres est : 1540250025005 ( Vous pouvez utiliser la calculatrice scientifique fournie par Windows. Pour obtenir le reste de la division de 1540250025005, il suffit d’appuyer sur la touche Mod , puis sur 97) Un peu d’histoire : L'inventeur du NIR est René Carmille (mort en déportation en 1944 à Dachau) qui réalisa entre avril et août 1941, sous le régime de Vichy, le premier répertoire général, pour préparer secrètement la mobilisation d'une armée française. Ultérieurement, cette codification fut reprise par le général Marie, en Algérie, afin de recenser les Juifs, les musulmans et autres catégories. Le but était de ficher toute la population française et de les discriminer selon des critères ethniques ou statutaires, dans le cadre de la politique du régime de Vichy. En effet le premier chiffre du code NIR qui aujourd'hui sert juste à identifier le sexe de la personne était plus « complet » à l'époque : 1 ou 2 pour les citoyens français ; 3 ou 4 pour les indigènes d'Algérie (ceux qu'on appelait les « Musulmans ») et de toutes les colonies, non juifs ; 5 ou 6 pour les juifs indigènes ; 7 ou 8 pour les étrangers ; 9 ou 0 pour les statuts mal définis. Cette catégorisation discriminante utilisée en Algérie fut abolie en 1944. Elle n'a jamais été utilisée sur le territoire de la France « métropolitaine », où, durant toute la guerre, il n'a été fait usage que du « 1 » et du « 2 ». D’après Wikipédi, l'encyclopédie libre Pour la Corse, les lettres A et B sont remplacées par des zéros, et on soustrait du nombre à 13 chiffres ainsi obtenu 1 000 000 pour A et 2 000 000 pour B. ( ou à la main !!!!! ) Soustrayons ce reste 16 à 97 . 97 – 16 = 81 Nous obtenons 81. La clé de ce numéro de Sécurité Sociale est 81 et non 22. Il y a donc une erreur dans l’enregistrement des nombres ! Exercice 1 : Calculez la clé de contrôle de cette carte vitale ci- contre. Exercice 2 : Avec votre carte vitale ou celles de vos parents, vérifiez l’exactitude de la clé. Exercice 3 : Baccalauréat L Antilles-Guyane juin 2003 - 7 points Le numéro I.N.S.E.E est constitué de 15 chiffres. En lisant de gauche à droite : - le premier chiffre est 1 s’il s’agit d’un homme et 2 s’il s’agit d’une femme; - les deux chiffres suivants désignent les deux derniers chiffres de l’année de naissance ; - les deux chiffres suivants désignent le mois de naissance ; - les deux chiffres suivants désignent le département de naissance ; - les trois chiffres suivants désignent la commune de naissance ; - les trois chiffres suivants désignent le numéro d’inscription sur le registre d’état civil ; - les deux chiffres suivants désignent la clé K, calculée de la manière suivante : - soit A le nombre entier constitué par les 13 chiffres de gauche ; - soit r le reste de la division euclidienne de A par 97 ; - alors K = 97− r . Les 13 premiers chiffres ( sans la clé ) du numéro I.N.S.E.E de Sophie sont 2 85 07 86 183 048. On note A ce nombre et r le reste de la division euclidienne de A par 97. 1. Donner le mois de l’année de naissance de Sophie. 2. ( Question plus difficile mais solution possible en classe de Troisième ) a. Déterminer les deux entiers a et b tels que 6 6 10 b 0 b 10 a ≤ ≤ + × b. En utilisant le reste de 100 dans sa division euclidienne par 97, montrer que le reste de la division de 6 10 par 97 est 27 . c. En déduire le reste r de la division euclidienne de A par 97. 3. Déterminer la clé K du numéro I.N.S.E.E de Sophie. 4. Sophie, à qui l’on demande les treize premiers chiffres de son numéro I.N.S.E.E, inverse les deux derniers chiffres et répond 2 85 07 86 183 084 à la place de 2 85 07 86 183 048. On note B la réponse de Sophie. a. Calculer la différence B − A et en déduire que le reste de la division euclidienne de B par 97 est égal à 21. b. L’erreur faite par Sophie peut-elle être détectée ? Les billets en euros Pour des problèmes de saisie ( certainement pas pour éviter les faux- billets – les faussaires sont certainement plus subtils ), les billets en euros sont numérotés. Le numéro figurant sur un billet est constitué d’une lettre suivi de 11 chiffres. Solution : Comment vérifier si le numéro d’un billet est correct ? Il faut tout d’abord remplacer la lettre par un nombre représentant son rang dans l’alphabet. ( Cf. tableau ci-dessous ) A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 Puis on additionne ce nombre avec les 11 nombres figurant sur le billet. La division de ce résultat par 9 doit être égal à 8 ! Remarque : Propriété : uploads/Management/ cles-de-controle-division-euclidienne.pdf