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Devoir 2021 2 Ecole Nationale des Sciences Applique ?es de Fe s G Inf G S E I I S Devoir Nous supposons que f a b ?? ? R est une fonction n fois continu ment di ? ?erentiable La formule de Newton qui consiste a ?ecrire le polyno me Pn aux points x xn sous

Ecole Nationale des Sciences Applique ?es de Fe s G Inf G S E I I S Devoir Nous supposons que f a b ?? ? R est une fonction n fois continu ment di ? ?erentiable La formule de Newton qui consiste a ?ecrire le polyno me Pn aux points x xn sous la forme Pn x a a x ?? x an x ?? x x ?? xn ?? permet de construire le polyno me Pn a l ? aide d ? une r ?ecurrence En e ?et n ?? Pn x Pn ?? x an x ?? xk k Autrement dit connaissant Pn ?? il su ?t de calculer an pour conna tre Pn Montrer par r ?ecurrence sur le nombre de points que le polyno me d ? interpolation de Newton de la fonction f aux points distincts xi ? i ? n est donn ?e par n i ?? Pn x f x xi x ?? xk i k ou f d ?esigne les di ? ?erences divis ?ees de f d ?e ?nies pour tout i n par f xi f xi f x xi xi ?? x f x xi ?? f x xi ?? Indication Consid ?erez le polyno me suivant et remarquez qu ? il passe aussi pas les points xi ? i ? n Q x x ?? x xn ?? x n i i ?? f x xi x ?? xk k xn xn ??x ?? x Pn ?? x Montrer ensuite que f x xn est invariant par permutations Montrer qu ? il existe ?? a b tel que f n f x xn an n Montrer que Pn x ?? f x ? f n ? n n ?? x ?? xk k Indication d ?eduire le r ?esultat en consid ?erant le polyno me d ? interpolation passant par les points x xn et x avec x ?? a b Application Trouver l ? interpolation de Lagrange de la fonction f x sin ?x aux points x x et x Puis a l ? aide des questions pr ?ec ?edentes ?etablir une estimation d ? erreur S ELHAJ-BEN-ALI - C