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PSI - Lycée Bellevue Sciences Physiques Corrigé du Devoir Maison n˚13 Pour le samedi 26 février 2011   Devoir Maison n˚13 Corrigé I Lunette astronomique et télescope E3A PSI 03 I.A. Généralités 1. L’indice absolu d’un milieu transparent est le rapport c0/c de la célérité des ondes électromagnétiques dans le vide à celle dans le milieu. C’est aussi la racine carrée de la permittivité relative du milieu. Pour un verre ordinaire, n = 1, 5. 2. L’optique géométrique est un modèle qui convient lorsque les dispositifs, ou les variations spatiales de l’indice, sont de dimension caractéristique très grande devant la longueur d’onde. 3. Un système optique qui présente la symétrie de révolution par rapport à un axe est un système centré. L’axe de révolution s’appelle l’axe optique. 4. L’approximation de Gauss consiste à ne prendre en compte que les rayons proches de l’axe optique et peu inclinés par rapport à cet axe. Il y a alors stigmatisme et aplanétisme approchés. 5. (a) Si F et F ′ désignent les foyers objet et image, alors SF = SF ′ = SC 2 ⇒f = f ′ = −R 2 (b) La figure 1 montre un rayon lumineux partant d’un point objet A, se réfléchissant sur le miroir en un point I, puis arrivant au point image A′. En assimilant les angles à leur tangente, on peut écrire α = SI AS , α′ = SI A′S , β = SI CS Figure 1 – Par ailleurs les lois de la réflexion de Descartes conduisent à α′ −β = β −α soit α + α′ = 2β On en déduit 1 SA + 1 SA′ = 2 SC Tristan Brunier Page 1/5 Année 2010-2011 PSI - Lycée Bellevue Sciences Physiques Corrigé du Devoir Maison n˚13 Pour le samedi 26 février 2011 Pour un objet AB dont l’image est A′B′, en appelant θ l’angle (SA, SB), on obtient, en utilisant la loi de Descartes pour la réflexion : tan θ = AB SA = −A′B′ SA′ soit A′B′ AB = −SA′ SA Figure 2 – (c) D’après le théorème de Thalès dans le trapèze inversé (ABJS) : FA FS = AB SJ soit FA FS = AB A′B′ De même dans (A′B′IS) : FA′ FS = A′B′ SI soit FA′ FS = A′B′ AB On en déduit FA · F ′A′ = SF · SF ′ = ff ′ et A′B′ AB = FS FA (d) Ces expressions algébriques restent valables pour un miroir sphérique convexe. I.B. Lunette astronomique 6. Une lentille mince est un ensemble de 2 dioptres sphériques de rayons R1 et R2, de sommets S1 et S2 avec, en posant e = S1S2 : |e| ≪|R1| , |e| ≪|R2| , |e| ≪|R1 −R2| 7. (a) Un système est dit afocal lorsque les foyers objet et image sont à l’infini. (b) Dispositif : la lumière traverse d’abord l’objectif (placé du côté de l’objet) puis l’oculaire (placé du côté de l’œil). Le foyer image de l’objectif est confondu avec le foyer objet de l’oculaire. 8. Voir figure 3 Tristan Brunier Page 2/5 Année 2010-2011 PSI - Lycée Bellevue Sciences Physiques Corrigé du Devoir Maison n˚13 Pour le samedi 26 février 2011 Figure 3 – 9. Avec des grandeurs algébriques, on a, dans l’approximation de Gauss α = F2M f ′ obj et α′ = −F2M f ′ oc On en déduit G = α′ α = −f ′ obj f ′ oc L’image est renversée. Elle est réelle à l’infini (en pratique sur la rétine, dans le plan focal image du cristallin). 10. S’il y a de la poussière sur l’objectif, cela peut atténuer la luminosité, mais pas altérer l’image car l’image de l’objectif par l’objectif es l’objectif lui-même et l’image de l’objectif par l’oculaire n’est pas dans le plan d’observation. 11. La position de l’œil a peu d’importance a priori, puisque l’observation se fait à l’infini. Toutefois, il est préférable de placer l’œil dans le plan du "cercle oculaire", qui est l’image de la monture de l’objectif à travers l’instrument. Cela donne un meilleur confort. 12. Les systèmes catadioptriques sont plus utilisés car : ⋆ils ne présentent pas d’aberration chromatique ; ⋆ils sont plus faciles à usiner en grande dimension. I.C. Télescope spatial Hubble (H.S.T.) 13. L’énoncé ne fournit que les valeurs absolues des rayons de courbure des miroirs. Il faut donc prendre garde au caractère convexe ou concave des miroir lorsqu’on écrit les relations de conjugaison. Ainsi S1F1 = S1F ′ 1 = S1C1 2 = −R1 2 = −5, 500 m Le foyer image F ′ du télescope est l’image de F ′ 1 par le miroir secondaire. On peut donc écrire : 1 S2F ′ 1 + 1 S2F ′ = S2C2 2 Or, après réflexion sur le premier miroir, les rayons se propagent dans le sens négatif de sorte que S2C2 est ici négatif. On en déduit 1 S2F ′ 1 + 1 S2F ′ = −2 R2 Tristan Brunier Page 3/5 Année 2010-2011 PSI - Lycée Bellevue Sciences Physiques Corrigé du Devoir Maison n˚13 Pour le samedi 26 février 2011 d’où S2F ′ = R2(R1 −2d) 2(R2 −R1 + 2d) ⇒S2F ′ = 1, 350 × (11, 000 −2 × 4, 900) 2 × (1, 350 −11, 000 + 2 × 4, 900) soit S2F ′ = 5, 400 m 14. Soit A l’intersection du rayon incident avec le miroir primaire, et B l’intersection du premier rayon réfléchi avec le miroir secondaire. On a α1 = −S2B S2F ′ et S2B = D01 2 F ′ 1S2 F ′ 1S1 On en déduit α1 = −D01 2 R1 2 −d R1 2 2(R2 + 2d −R1) R2(R1 −2d) soit α1 = D01(R1 −2d −R2) R1R2 ⇒α1 = −0, 024 rad 15. On a δ S2F ′
≃∂S2F ′ ∂R1 ε = R2 2 ε 2(R2 + 2d −R1)2 ⇒δ S2F ′
= 81 µm 16. On a alors α1 = D01(R1 + ε −2d −R2) (R1 + ε)R2 d’où δα1 = ∂α1 ∂R1 ε = D01(R2 + 2d) R2 1R2 ε ⇒δα1 = 0, 33 µrad 17. Si le télescope est utilisé dans les conditions de Gauss, on peut légitimement supposer que |i| ≪1. Donc | sin(r)| ≪1 puis |r| ≪1. Comme A ≪1 on a nécessairement |r′| ≪1 et donc |i′| ≪1. Finalement, les relations de Descartes deviennent i = nr et i′ = nr′ On en déduit D = (n −1)A On veut D = δα1 d’où A = δα1 n −1 = 0, 66 µrad I.D. Observation d’une étoile double 18. s = s1 + s2 = (a1 e−jϕ1 + a2 e−jϕ2) ejωt et s∗= s∗ 1 + s∗ 2 = (a1 ejϕ1 + a2 ejϕ2) e−jωt. On a alors E(M) = s · s∗= a2 1 + a2 2 + 2 a1 a2 cos(ϕ1 −ϕ2) = E1 + E2 + p E1E2 cos ϕ Le terme d’interférences est √E1E2 cos ϕ. Tristan Brunier Page 4/5 Année 2010-2011 PSI - Lycée Bellevue Sciences Physiques Corrigé du Devoir Maison n˚13 Pour le samedi 26 février 2011 19. Emax = E1 + E2 + p E1E2 et Emin = E1 + E2 − p E1E2 . 20. C = Emax −Emin Emax + Emin = √E1E2 E1 + E2 . Le contraste est maximal quand il vaut 1, donc quand E1 = E2 . 21. ϕ(M) = −2π δ λ . 22. (S1M) = v u u t x + a 2 !2 + y2 + D2 . 23. De même, (S2M) = v u u t x −a 2 !2 + y2 + D2. δ = (S1M) −(S2M) = D    v u u t1 + y D !2 + x + a/2 D !2 − v u u t1 + y D !2 + x −a/2 D !2    ≃ 1 2D   x + a 2 !2 − x −a 2 !2 ≃ax D 24. L’éclairement ne dépend que de x donc est constant quand x = cte. On observe donc sur l’écran des franges rectilignes dans la direction Oy, alternativement sombres et brillantes. 25. L’interfrange est la plus petite distance non nulle entre deux points de même éclairement. On a donc : E(x + i) = E(x) ⇒δ(x + i) = δ(x) + λ ⇒i = λD a 26. Chaque point source va donner une figure d’interférences identique. Comme ces sources sont incohé- rentes entre elles, les éclairements se somment et on obtient la même figure d’interférences qu’avec des trous, mais plus lumineuse. 27. Cette fois, la différence de marche pour deux rayons issus de l’étoile 1 s’écrit : δ1 = (SS1M) −(SS2M) = (SS1) −(SS2) + δ = −aθ + ax f ′ car θ < 0. On a alors l’éclairement : E1 = E0 " 1 + cos 2πa λ −θ + x f ′ !# . De même, E2 = E0 " 1 + cos 2πa λ θ + x f ′ !# puis Etot = 2E0 1 + γ cos 2πax uploads/Management/ corrige-dm13-pdf 1 .pdf

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• Publié le Oct 03, 2022
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