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École Centrale Paris Mathématiques 2 D. Verwaerde et P. Laurent-Gengoux Analyse

École Centrale Paris Mathématiques 2 D. Verwaerde et P. Laurent-Gengoux Analyse des équations aux dérivées partielles P. Laurent-Gengoux Année 2006-2007 2 Analyse des équations aux dérivées partielles ECP 2006-2007 2 Table des matières 1 Rappels et prérequis 11 1.1 Quelques formules utiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.2 Formule d’intégration par parties en dimension N . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.3 Formule de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Systèmes d’équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.1 Systèmes linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2.2 Systèmes d’équations non linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.2.3 Résolution d’un système non linéaire par déformation . . . . . . . . . . . . 17 1.3 Systèmes différentiels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.1 Le problème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.2 Systèmes différentiels linéaires homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.4 Principes de construction d’équations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . 22 1.4.1 Les lois de conservation ou d’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.4.2 Les principes d’extrémalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 Exemples d’équations aux dérivées partielles 25 2.1 Les problèmes linéaires canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.1 Un problème aux limites elliptique linéaire : l’équation de Poisson . . . . . 25 2.1.2 Un problème d’évolution, parabolique linéaire : l’équation de la diffusion . . 29 2.1.3 Une équation linéaire du premier ordre : l’équation d’advection . . . . . . . 31 2.1.4 Un problème d’évolution, hyperbolique linéaire : l’équation des ondes . . . . 33 2.2 Les problèmes classiques de la physique mathématique . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.1 Les équations de transport ou de convection avec réaction et diffusion . . . . 38 2.2.2 La diffusion avec rayonnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.3 L’élasticité linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.4 L’écoulement des ﬂuides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.2.5 Les phénomènes vibratoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2.6 Les équations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.2.7 Exemples de problèmes plus complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3 4 Analyse des équations aux dérivées partielles 3 Quelques outils d’analyse des E.D.P. 49 3.1 Propriétés des opérateurs linéaires aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.1.1 Opérateurs linéaires aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.1.2 Opérateurs du premier et second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.1.3 Symétrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.1.4 Fonctions propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.1.5 Noyau des opérateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.1.6 Transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 3.1.7 Transformation de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2 Application de la linéarité de l’opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2.1 Découplage des données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 3.2.2 Décomposition à l’aide de fonctions spéciales . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.3 Formulation faible des équations aux dérivées partielles . . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.3.1 Équivalence des formulations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3.3.2 Formulation au sens des distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.3.3 Utilisation des formulations faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.3.4 Interprétation des formulations faibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 3.4 Calcul des variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.4.1 Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 3.4.2 Le théorème d’Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 3.4.3 Généralisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 3.5 Système du premier ordre équivalent à un système donné . . . . . . . . . . . . . . . 75 3.5.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . uploads/Management/ cours-edp.pdf