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JL DESPRETZ CPC TECHNIQUE OPERATOIRE C3 1 La division Les deux sens de la divis

JL DESPRETZ CPC TECHNIQUE OPERATOIRE C3 1 La division Les deux sens de la division : partage et groupement La division peut avoir deux sens : celui de partage et celui de groupement. Il est donc important de présenter cette opération en contexte à l’aide de problèmes. La division peut intervenir dans des situations de partage, de distribution, … situations où on est amené à chercher « la valeur d’une part » On parle alors de division partition. La division peut intervenir dans des situations de regroupement, …, situations où on est amené à chercher « le nombre de parts » On parle alors de division quotition 28 oiseaux sont placés dans 4 cages différentes. Combien y a-t-il d’oiseaux par cage ? 28 oiseaux sont répartis en groupes de 4. Combien faut-il de cages ? 4 x ? = 28 28 : 4 = 7 Il y a 7 oiseaux par cage 4 x ? = 28 28 : 4 = 7 Il faut 7 cages. Je distribue 32 cartes entre 5 joueurs Combien de cartes aura chaque joueur ? Des baguettes identiques mesurent 23 cm chacune. La longueur totale des baguettes juxtaposées est 276 cm. Combien a t’on mis de baguettes ? Chaque joueur aura 6 cartes et il en reste 2 que je ne peux pas distribuer. Je peux écrire 32 = (5 x 6) + 2 Je cherche combien de baguettes de 23 cm je peux aligner dans 276 cm. 276 = 23 x ? 276 : 23 = 12 Je peux aligner 12 baguettes. Diviser, c’est bien chercher le nombre de fois où un nombre est contenu dans un autre nombre. Remarques La compréhension des notions de partage et de regroupement ne nécessite pas dans un premier temps le recours à la division posée mais à un raisonnement pouvant conduire à des procédures personnelles.. Au CM, la division peut prendre des sens complémentaires La recherche du terme inconnu d’un produit Un rectangle dont la surface mesure 30 cm2 a une longueur de 6 cm. Quelle est sa largeur ? La division fraction (proportionnalité, moyennes) Au collège, ma sœur a obtenu 16 en français, 14 en maths, 15 en sciences et 12 en histoire. Quelle est la moyenne de ses notes? JL DESPRETZ CPC TECHNIQUE OPERATOIRE C3 2 Préalables à la division posée ► Maîtriser la numération de position, entière puis décimale - savoir écrire un nombre entier dans un tableau de numération - savoir écrire un nombre décimal dans un tableau de numération - savoir lire un nombre entier et décimal - identifier le rang des chiffres dans un nombre entier et décimal - compléter un nombre décimal par des « 0 » 3,4 = 3,400 1000 100 10 1 1/10 1/100 1/1000 milliers centaines dizaines unités dixièmes centièmes millièmes ► Manipuler les tables d’addition et de multiplication - mémorisation des tables jusqu’à 10 - calculs en ligne - construction du répertoire multiplicatif d’un nombre exemple ► Maîtriser la multiplication par 10, 100, 1000, … des nombres entiers. Cette fonction est importante pour la recherche du nombre de chiffres du quotient et des approches successives du quotient (encadrements) Exemple : clé des maths – CM1 – Belin ► Connaître la relation entre multiple et diviseur et quelques critères de divisibilité Définition : Un nombre a est un multiple d’un nombre b (b ≠ 0) lorsque le reste de la division euclidienne de a par b est égal à 0 (c’est-à-dire lorsque « la division tombe juste »). a est un multiple de b b est un diviseur de a a est divisible par b JL DESPRETZ CPC TECHNIQUE OPERATOIRE C3 3 On dit aussi que : 4 est un diviseur de 8 7 est un diviseur de 217 8 est divisible par 4 217 est divisible par 7 Critères de divisibilité ▪ Un nombre est divisible par 2 (ou est un multiple de 2) si son chiffre des unités est 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8 Exemples : 1 798 ; 11 200 ; 145756 sont divisibles par 2 ▪ Un nombre est divisible par 3 (ou est un multiple de 3) si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 3 Exemples : 12654 est divisible par 3 car 1+2+6+5+4=18 et 18 est divisible par 3 (6 × 3 = 18) 132621 est divisible par 3 car 1+3+2+6+2+1=15 et 15 est divisible par 3 (5 × 3 = 15) ▪ Un nombre est divisible par 4 (ou est un multiple de 4) si le nombre composé des deux derniers chiffres est divisible par 4 Exemples : 1716 est divisible par 4 car le nombre formé des deux derniers chiffres est 16 et 16 est divisible par 4. (4 × 4 = 16) 6924 est divisible par 4 car le nombre formé des deux derniers chiffres est 24 et 24 est divisible par 4. (6 × 4 = 24) ▪ Un nombre est divisible par 5 (ou est un multiple de 5) si son chiffre des unités est 0 ou 5 Exemples : 2 795 ; 23 200 ; 145755 sont divisibles par 5 ▪ Un nombre est divisible par 9 (ou est un multiple de 9) si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 9 Exemples : 12654 est divisible par 9 car 1+2+6+5+4=18 et 18 est divisible par 9 (9 × 2 =18) 189261 est divisible par 9 car 1+8+9+2+6+1=27 et 27 est divisible par 9 (9 × 3 = 27) Difficultés à surmonter pour aller vers la division Jean Luc Bregeon – PIUFM Auvergne 1. Une bonne aisance des opérations (addition, multiplication, soustraction) : la technique usuelle nécessite l’emploi simultané de ces 3 opérations 2. Une bonne aisance du calcul mental 3. Une parfaite connaissance des tables de multiplication 5. Maintien en mémoire de résultats partiels 6. Les écrits successifs pour constituer le quotient sont le résultat d’une approximation JL DESPRETZ CPC TECHNIQUE OPERATOIRE C3 4 Le calcul posé à l’école élémentaire – Programmes 2002 – Roland Charnay Il s’agit d’un calcul « à risque », insécurisant, dans la mesure où un chiffre essayé au quotient n’est jamais absolument certain. C’est également le seul calcul où l’estimation intervient en cours de calcul, alors que, pour les autres opérations, elle intervient soit au début, soit à la fin comme instrument de prévision ou de contrôle. Il faut également souligner le peu d’usage qui est actuellement fait de cette technique… et en tirer la conséquence : plus encore que pour les autres opérations, le travail doit être principalement orienté vers la compréhension de l’articulation des différentes étapes du calcul. La division est la seule opération dans laquelle un chiffre calculé peut ne pas être définitif. Des étapes avant d’apprendre la technique opératoire ► Notions de partages équitables et non équitables Clé des maths – CM1 La notion de partage équitable introduit les contraintes aux différentes situations de partage et de distribution - répartir tous les objets - donner le même nombre à chacun - en laisser le moins possible ► Situations problèmes et recherches personnelles – Ecritures mathématiques 1- Données simples et vérifiables Ex : Il faut partager 51 cubes entre 4 enfants. Chacun doit recevoir la même quantité de cubes, et le plus possible. Permettre la manipulation, les dessins, les regroupements, … Comparer les procédures Favoriser ensuite l’écriture mathématique : 51 = (4 x 12) + 3 2- Nombres plus complexes On dispose de 1836 carreaux pour paver une terrasse rectangulaire. Sur un côté de la terrasse, il faut placer une ligne de 15 carreaux. Combien de lignes de carreaux pourra-t-on placer ? Encourager les calculs approchés (essais multiplicatifs, multiples de 10, l’utilisation de techniques opératoires connues (addition, soustraction, multiplication), les dispositions en colonne … Comparer les procédures Favoriser ensuite l’écriture mathématique : 1836 = (15 x 122) + 6 3- Recherche d’un énoncé à partir de l’écriture mathématique (pour comprendre cette écriture) 71 = ( . × 9) + 8 45 = (7 × 6) + . JL DESPRETZ CPC TECHNIQUE OPERATOIRE C3 5 134 = (12 × .) + . Exemples de textes - Combien de livres à 9 € peut-on acheter avec 71 € ? - On veut mettre 45 oeufs en boîtes de 6. Combien en restera-t-il ? - On range 134 bouteilles dans des casiers de 12 bouteilles. Il faut combien de casiers ? 4- Données faisant intervenir d’autres paramètres (mesures, relations entre unités de mesure, prix) Exemples : Combien de morceaux d’élastique de 48 cm de long peut-on couper dans une bande de 3 mètres ? A partir d’un sac de riz de 100 kg, combien de sachets de 3 kg peut-on remplir ? Un sportif veut courir 5 000 m chaque jour. Il s'entraîne sur une piste de 145 m de long. Combien de tours de piste doit-il faire chaque jour ? Avec 1238 €, combien de livres à 13 € peut-on acheter au maximum ? ► Calcul réfléchi de quotients et de restes En effet, ce type de uploads/Management/ division-pdf.pdf