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Analyse des erreurs. IPhO 2005-2006 Erreurs de mesure. Analyse et pr´ esentatio

Analyse des erreurs. IPhO 2005-2006 Erreurs de mesure. Analyse et pr´ esentation des r´ esultats1. Table des mati` eres I Position du probl` eme 2 1 Mesure et incertitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 Intervalle de conﬁance et incertitude. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 Quelques sources d’erreurs exp´ erimentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 a Erreurs syst´ ematiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 b Erreurs al´ eatoires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 4 Caract´ eristiques d’un appareil de mesure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 5 Incertitudes types . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6 Meilleure estimation de la valeur mesur´ ee et incertitude de type A. . . . . . . . . . 4 a Valeur Moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 b Ecart type et Estimation de l’´ ecart type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 7 Estimation de l’incertitude de type B : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 II Pr´ esentation d’un r´ esultat num´ erique. 6 1 Chiﬀres signiﬁcatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 a D´ eﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 b Arrondis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Pr´ esentation d’un r´ esultat de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 a Xm ± ∆X “Unit´ e” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 b Chiﬀres signiﬁcatifs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 IIIPropagation des erreurs. 6 1 Position du probl` eme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Estimation ´ el´ ementaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 a Cas o` u un terme domine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 b Calcul simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3 Estimation statistique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 IV Analyse graphique. 8 1 g´ en´ eralit´ es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Trac´ es ´ echelles lin´ eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3 Trac´ es ´ echelles semi-log . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 V En r´ esum´ e. 10 1 Estimation de l’incertitude sur une mesure. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2 Estimation de l’incertitude sur une analyse graphique. . . . . . . . . . . . . . . . . 10 VI Bibliographie 10 1Ce texte, est tir´ e d’un cours que je donne ` a mes ´ el` eves en PCSI. J’ai supprim´ e quelques parties sur le calcul des “petites variations”. Les notions et m´ ethodes introduites ici sont ensuite utilis´ ees en TP, les exercices se font sur le tas. Sans doute faudra-t-il rajouter davantage d’exemples concr` ets... lyc´ ee H.Poincar´ e Nancy 1 JLG. Analyse des erreurs. IPhO 2005-2006 I Position du probl` eme 1 Mesure et incertitude D´ efinition : Mesurer une grandeur physique c’est la chiﬀrer par rapport ` a un syst` eme d’unit´ es. La mesure consiste donc ` a comparer la grandeur ` a mesurer ` a une grandeur de mˆ eme nature choisie comme unit´ e Important : Toute mesure aussi soign´ ee soit-elle est, par essence mˆ eme, entach´ ee d’erreur. 2 Intervalle de conﬁance et incertitude. Soit X une grandeur physique ` a mesurer. 1. Notons X0 la valeur “vraie”. Cette valeur X0 est rigoureusement une abstraction puisque inaccessible ` a l’exp´ erience. 2. Notons X1 la valeur mesur´ ee. 3. L’erreur de mesure δX1 = X1 −X0 est, tout comme X0, inconnue. La tˆ ache de l’exp´ erimentateur est de d´ eterminer un intervalle de conﬁance dans lequel on est sˆ ur de trouver X0 avec une probabilit´ e choisie. Pour cela il faut d´ eﬁnir : 1. La meilleure estimation de X0, que nous noterons Xm. 2. L’incertitude ∆X telle que l’on ait avec un niveau de conﬁance donn´ e (disons 90 %) X0 ∈ [Xm −∆X, Xm + ∆X] 3. L’incertitude relative sur la mesure ∆X Xm , qui s’exprime en % du nombre mesur´ e. Evidemment, une mesure sera d’autant meilleure qu’elle sera pr´ ecise c’est ` a dire que l’incer- titude relative sera petite. Toutefois, une mauvaise estimation de l’incertitude conduisant ` a un intervalle de conﬁance erron´ e serait catastrophique ! Par cons´ equent il est particuli` erement important de savoir identiﬁer et quantiﬁer les sources d’erreur. 3 Quelques sources d’erreurs exp´ erimentales a Erreurs syst´ ematiques. Ce sont les plus dangereuses car elles se font toujours dans le mˆ eme sens. Elles ont diverses origines : 1. instrumentale : Appareil d´ efectueux ou sa mauvaise utilisation (z´ ero mal r´ egl´ e, mauvais ´ etalonnage, d´ efaut de lin´ earit´ e, bande passante etc ...). 2. environementale : Montage ´ electronique erron´ e, ou faux-contacts syst´ ematiques, fuite ther- mique, variation de temp´ erature. 3. Observationnelle : Parallaxe. 4. Th´ eorique : existence d’un ph´ enom` ene n´ eglig´ e (pr´ esence de frottements solides) ou inconnu. Important : Avant toute op´ eration de mesure il est imp´ eratif de s’eﬀorcer d’eliminer toutes les erreurs syst´ ematiques. Par exemple en testant la mesure sur des cas connus (cf ´ etalonnage). Ce n’est toutefois pas uploads/Management/ fiche-ipho-exp.pdf