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LMD Master Analyse Mathématique et Applications (M1/S1) Th´ eorie spectrale des

LMD Master Analyse Mathématique et Applications (M1/S1) Th´ eorie spectrale des op´ erateurs Notes de Cours avec Exercices Boualem ALLECHE Professeur Faculté des Sciences Département MI Université de Médéa ii Prof. Boualem Alleche - Théorie spectrale des opérateurs - LMD Master Analyse Mathématique et Applications (M1/S1) Prof. Boualem Alleche - Théorie spectrale des opérateurs - LMD Master Analyse Mathématique et Applications (M1/S1) Prof. Boualem Alleche - Théorie spectrale des opérateurs - LMD Master Analyse Mathématique et Applications (M1/S1) Table des matières Introduction générale 1 1 Spectre d’un opérateur dans les espaces de Banach 3 1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Inversibilité d’un opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 Spectre, résolvante et valeurs propres d’un opérateur . . . . . . . . . . . . . 5 1.4 Rayon spectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 L’image spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Adjoint d’un opérateur dans les espaces de Hilbert 11 2.1 Généralités sur les formes sesquilinéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Adjoint d’un opérateur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 Spectre de l’opérateur adjoint . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4 Opérateur coercif et théorème de Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Bibliographie 15 Prof. Boualem Alleche - Théorie spectrale des opérateurs - LMD Master Analyse Mathématique et Applications (M1/S1) Prof. Boualem Alleche - Théorie spectrale des opérateurs - LMD Master Analyse Mathématique et Applications (M1/S1) Prof. Boualem Alleche - Théorie spectrale des opérateurs - LMD Master Analyse Mathématique et Applications (M1/S1) iv Table des matières Prof. Boualem Alleche - Théorie spectrale des opérateurs - LMD Master Analyse Mathématique et Applications (M1/S1) Prof. Boualem Alleche - Théorie spectrale des opérateurs - LMD Master Analyse Mathématique et Applications (M1/S1) Prof. Boualem Alleche - Théorie spectrale des opérateurs - LMD Master Analyse Mathématique et Applications (M1/S1) Introduction générale Ce document est destiné aux étudiants du semestre S1 de M1 Master « Analyse Ma- thématique et Applications ». Il contient les notes importantes du cours pour la matière Théorie spectrale des opérateurs et des exercices qui correspondent aux séries de TD. On trouve dans ce document la structure générale du cours avec quelques remarques et in- dications; les démonstrations et les solutions des exercices ayant été, en grande partie, omises dans le but d’inciter les étudiants à faire plus d’eﬀorts. Et pour plus de détails, d’amples informations correspondant aux résultats dans ce manuel peuvent se trouver dans les références [1, 2, 3]. D’autre part, le Net regorge de documents libres dont cer- tains laissent à désirer et d’autres sont à d’illustres mathématiciens et sont très utiles. Par conséquent, ces documents sont donc à manipuler avec beaucoup d’attention et de précaution! Prof. Boualem Alleche - Théorie spectrale des opérateurs - LMD Master Analyse Mathématique et Applications (M1/S1) Prof. Boualem Alleche - Théorie spectrale des opérateurs - LMD Master Analyse Mathématique et Applications (M1/S1) Prof. Boualem Alleche - Théorie spectrale des opérateurs - LMD Master Analyse Mathématique et Applications (M1/S1) 2 Table des matières Prof. Boualem Alleche - Théorie spectrale des opérateurs - LMD Master Analyse Mathématique et Applications (M1/S1) Prof. Boualem Alleche - Théorie spectrale des opérateurs - LMD Master Analyse Mathématique et Applications (M1/S1) Prof. Boualem Alleche - Théorie spectrale des opérateurs - LMD Master Analyse Mathématique et Applications (M1/S1) Chapitre 1 Spectre d’un opérateur dans les espaces de Banach Le cadre de ce chapitre est celui des espaces de Banach, bien que certains des résultats qui suivent restent vrai sans la complétude de l’espace. Dans tout ce cours, et sauf mention contraire, les notions, les notations et les hypothèses suivantes sont considérées. — Tous les espaces vectoriels considérés seront sur le corps K := R ou C. — Les notations X, Y et Z seront réservées aux espaces métriques et aux espaces vec- toriels normés. — Les notations E, F et G seront réservées aux espaces de Banach. — Les notations H, H1,H2,...,Hn seront réservées aux espaces de Hilbert. 1.1 Généralités Rappelons que l’on note par — L(X,Y) : l’espace des applications linéaires de X dans Y. — L (X,Y) : l’espace des applications linéaires continues de X dans Y. Si X = Y, on note simplement L(X) = L(X,X) et L (X) = L (X,X). On notera la norme de X par ∥.∥X, et tout simplement par ∥.∥s’il n’y a pas de risque de confusion. On rappelle qu’une application linéaire T de X dans Y est appelée un opérateur (sous- entendu lorsque X est de dimension inﬁnie). De plus, on dit que T est un opérateur borné lorsque T est continu, i.e. T ∈L (X,Y). Le terme bornétude d’un opérateur continu tire ses racines dans la déﬁnition de la norme d’une application linéaire continue. On rappelle que la norme de T ∈L (E,F) est donnée par ∥T ∥= sup ∥x∥E≤1 ∥Tx∥F. Prof. Boualem Alleche - Théorie spectrale des opérateurs - LMD Master Analyse Mathématique et Applications (M1/S1) Prof. Boualem Alleche - Théorie spectrale des opérateurs - LMD Master Analyse Mathématique et Applications (M1/S1) Prof. Boualem Alleche - Théorie spectrale des opérateurs - LMD Master Analyse Mathématique et Applications (M1/S1) 4 Spectre d’un opérateur dans les espaces de Banach Pour x ∈X et R > 0, on note par B(x,r) = {y ∈X | ∥x −y∥< r} et B(x,r) = {y ∈X | ∥x −y∥≤r}, la boule ouverte (resp. fermée) de centre x et de rayon r. Lorsque x = 0 et r = 1, on pose B(0,1) = BX et B(x,r) = BX et on les appelle, respectivement, boule unité ouverte et boule unité fermée. 1.2 Inversibilité d’un opérateur Cette section regroupe certains résultats sur les opérateurs inversibles. On donne quelques caractérisations de l’inversibilité d’un opérateur, et notamment le Corollaire 1.2.5 qui s’avère très utile pour la suite. Un opérateur T ∈L (E) est dit inversible s’il admet un inverse dans L (E), c’est-à-dire il existe S ∈L (E) tel que ST = TS = IE, où IE désigne l’opérateur identité de E. On note par T −1 l’inverse de T et par G L (E) l’ensemble des opérateurs inversibles de L (E). Remarque 1.1 Dans la déﬁnition d’un opérateur inversible T ∈L (E), on exige que l’inverse S = T −1 doit être continu. Ainsi, on peut dire qu’un opérateur T ∈L (E) est inversible si et seulement s’il est bijectif et son inverse « classique » T −1 est continu. Avant d’étudier l’inversibilité, on rappelle le théorème suivant appelé Théorème de l’application ouverte ou Théorème de l’application ouverte de Banach-Schauder. Pour la dé- monstration, on peut consulter [1]. Théorème 1.2.1 (Théorème de l’application ouverte) Soient E et F deux espaces de Banach et T : E →F un opérateur linéaire, continu et surjectif. Alors il existe une constante c > 0 telle que T (BE) ⊃BF (0,c). De ce théorème, il découle le corollaire important suivant. Corollaire 1.2.2 Soient E et F deux espaces de Banach et T : E →F un opérateur linéaire, continu et bijectif. Alors T −1 est un opérateur linéaire continu. Voici maintenant une caractérisation de la continuité de l’inverse d’un opérateur bi- jectif. Prof. Boualem Alleche - Théorie spectrale des opérateurs - LMD Master Analyse Mathématique et Applications (M1/S1) Prof. Boualem Alleche - Théorie spectrale des opérateurs - LMD Master Analyse Mathématique et Applications (M1/S1) Prof. Boualem Alleche - Théorie spectrale des opérateurs - LMD Master Analyse Mathématique et Applications (M1/S1) 1.3 Spectre, uploads/Management/ quelquesnotes-courstd-tsdo.pdf