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Ecricome 2011 e c Corrigé ECRICOME Eco par Pierre Veuillez EXERCICE On dit qu ? une matrice A carrée d ? ordre n est une matrice nilpotente s ? il existe un entier naturel k non nul tel que Ak n et Ak n o? n représente la matrice carrée nulle d ? ordre n

Corrigé ECRICOME Eco par Pierre Veuillez EXERCICE On dit qu ? une matrice A carrée d ? ordre n est une matrice nilpotente s ? il existe un entier naturel k non nul tel que Ak n et Ak n o? n représente la matrice carrée nulle d ? ordre n Soit A une matrice carrée d ? ordre n on dit que le couple N est une décomposition de Dunford de A lorsque est une matrice diagonalisable N est une matrice nilpotente N N et A N On pose A et N Pour véri ? er que N est une décomposition de Dunford de A on liste les critères ?? est une matrice diagonale donc diagonalisable ?? N et N donc N est nilpotente ?? N et N donc N N et N A Conclusion N est une décomposition de Dunford de A Dans toute la suite de l ? exercice on pose A A N A A D A a Pour répondre aux question a et b on détermine les valeurs et sous espaces propres de A Soit x y z R et R x A I y A z x y z x y z z Si x y y x x y z x z qui a pour racines et Si de plu s alors et y x z donc n ? est pas valeur propre si et Corrigé ECRICOME Page CSi et alors y x x R z qui a pour solutions E Vect Conclusion est valeur propre associé à Vect Si en ? n alors x y z x y z L L x y z z Conclusion est valeur propre associée à Vect y x z Conclusion les valeurs propres de A sont f g b Attention la condition su sante de diagonalisabilité ne s ? applique pas ici Elle ne permet de conclure que dans le cas favorable Pour E est une famille libre un vecteur non nul et génératrice de E Elle forme donc une base de E et dim E de mêmedim E La somme des dimensions des sous espaces propres est donc Conclusion la matrice A n ? est donc pas diagonalisable On considère les matrices colonnes X A X A et X A a A A A donc X X A A A donc X X A A A et X X b Avec e on véri ? e que e e e est une base de vecteurs propres associées à et Soient x y z R x z z Si x e y e z e alors x z y donc x z y et x y z Donc e e e est une famille libre de vecteurs de R donc une base de R Donc est diagonalisable et avec P A on a P inversible et matrice de passage et Conclusion P P D c E n appliquan t la méthode de G auss L A L L L A L L Corrigé ECRICOME Page C