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Biblioth` eque d’exercices version 3, janvier 2002 recueil r´ ealis´ e par Arna

Biblioth` eque d’exercices version 3, janvier 2002 recueil r´ ealis´ e par Arnaud Bodin Introduction Aﬁn de faciliter le travail de tous, voici la troisi` eme mouture de ce recueil d’exercices. L’esprit n’a pas chang´ e : simpliﬁer le concoctage des feuilles d’exercices par un simple «copier-coller». Je n’ai pas saisi tous les exercices, je remercie vivement les «gros» contributeurs : - Franz Ridde ; - Fran¸ cois Gourio ; - Pierre-Yves Legall ; - Pascal Ortiz. Sans oublier tous ceux qui m’ont fourni leurs feuilles d’exercices : Jean-Fran¸ cois Barraud, C´ ecile Drouet, Olivier Gineste, Vincent Guirardel, Jean-Marc H´ ecart, Jean-Marie Lescure, Sylvain Maillot, Nicolas Marco, Bertrand Monthubert, Nadja Rebinguet, Sandrine Roussel, Marie- Hel` ene Vignal. Qu’ils et elles en soient tous remerci´ es. La «biblioth` eque» s’agrandie encore : environ 1500 exercices. Les ﬁchiers sources sont dispo- nibles en L AT EX2ε, et r´ ecup´ erables ` a l’adresse suivante : http ://fermat.ups-tlse.fr/∼bodin/ Certains exercices sont corrig´ es (environ 10%), ils sont signal´ es par le symbole c ⃝, cependant les corrections ne sont disponibles que pour la version ´ electronique. Vous pouvez contribuer ` a ce recueil en m’envoyant vos ﬁchiers : bodin@picard.ups-tlse.fr ou abodin@crm.es Donc n’h´ esitez pas ` a taper vos feuilles, ce sera fait une fois pour toutes et pour tous ! Arnaud Bodin Sommaire I ALG` EBRE 1 1 1 Nombres complexes 1 2 Logique, ensembles, raisonnements 6 3 Injection, surjection, bijection 11 4 Relation d’´ equivalence, relation d’ordre 14 5 D´ enombrement 15 6 Arithm´ etique dans Z 18 7 Polynˆ omes 23 8 Fractions rationnelles 28 II ANALYSE 1 29 9 Propri´ et´ es de R 29 10 Suites 33 11 Limites de fonctions 40 12 Continuit´ e et ´ etude de fonctions 44 13 D´ erivabilit´ e 50 14 Fonctions circulaires et hyperboliques inverses 55 15 Calculs d’int´ egrales 58 16 ´ Equations diﬀ´ erentielles 65 III ALG` EBRE 2 70 17 Espaces vectoriels 70 18 Applications lin´ eaires 73 19 Espaces vectoriels de dimension ﬁnie 78 20 Matrices 83 21 D´ eterminants 90 IV ANALYSE 2 94 22 Suites : compl´ ements 94 23 Continuit´ e et comparaison de fonctions 95 24 D´ erivabilit´ e 97 25 D´ eveloppements limit´ es 99 26 Int´ egrales : compl´ ements 103 V ALG` EBRE 3 108 27 Groupes : g´ en´ eralit´ es 108 28 Anneaux et corps 112 29 Groupes ﬁnis 116 30 Groupes quotients 120 31 Espaces euclidiens 122 32 Endomorphismes particuliers 129 33 Polynˆ omes d’endomorphismes 134 34 R´ eduction d’endomorphismes : diagonalisation 137 35 R´ eduction d’endomorphismes : autres r´ eductions 144 VI ANALYSE 3 152 36 Fonctions convexes 152 37 Notions de topologie 153 38 Fonctions de deux variables 159 39 Espaces m´ etriques et espaces vectoriels norm´ es 166 40 Suites dans Rn 171 41 Int´ egrales multiples 172 42 S´ eries num´ eriques 173 VII G´ EOM´ ETRIE 178 43 G´ eom´ etrie aﬃne 178 44 Isom´ etries vectorielles 180 45 G´ eom´ etrie aﬃne euclidienne 181 46 Courbes param´ etr´ ees 182 47 Propri´ et´ es m´ etriques des courbes planes 183 48 Coniques 184 49 Analyse vectorielle 185 VIII CORRECTIONS 187 50 ALG` EBRE 1 187 51 ANALYSE 1 202 52 ALG` EBRE 2 219 53 ANALYSE 2 224 54 ALG` EBRE 3 228 55 ANALYSE 3 236 56 G´ EOM´ ETRIE 236 IX QCM et FORMULAIRES 237 1 Nombres complexes 1 Premi` ere partie ALG` EBRE 1 1 Nombres complexes 1.1 Forme cart´ esienne, forme polaire Exercice 1 c ⃝Mettre sous la forme a + ib (a, b ∈R) les nombres : 3 + 6i 3 −4i ; µ1 + i 2 −i ¶2 + 3 + 6i 3 −4i ; 2 + 5i 1 −i + 2 −5i 1 + i . Exercice 2 ´ Ecrire les nombres complexes suivants sous la forme a + ib (a, b ∈R) : 5 + 2i 1 −2i ; Ã −1 2 + i √ 3 2 !3 ; (1 + i)9 (1 −i)7. Exercice 3 Repr´ esenter sous forme trigonom´ etrique les nombres : 1 + i ; 1 + i √ 3 ; √ 3 + i ; 1 + i √ 3 √ 3 −i . Exercice 4 c ⃝´ Etablir les ´ egalit´ es suivantes : 1. (cos(π/7) + i sin(π/7))(1−i √ 3 2 )(1 + i) = √ 2(cos(5π/84) + i sin(5π/84)), 2. (1 −i)(cos(π/5) + i sin(π/5))( √ 3 −i) = 2 √ 2(cos(13π/60) + i sin(13π/60)), 3. √ 2(cos(π/12)+i sin(π/12)) 1+i = √ 3−i 2 . Exercice 5 c ⃝Calculer le module et l’argument de u = √ 6−i √ 2 2 et v = 1−i. En d´ eduire le module et l’argument de w = u v. Exercice 6 ´ Ecrire sous la forme partie r´ eelle-partie imaginaire, puis sous la forme module- argument le nombre complexe : Ã 1 + i − √ 3(1 −i) 1 + i !2 . Exercice 7 c ⃝D´ eterminer le module et l’argument des nombres complexes : eeiα et eiθ + e2iθ. Exercice 8 c ⃝D´ eterminer le module et l’argument de 1+i 1−i. Calculer ( 1+i 1−i)32. Exercice 9 Calculer (1 + i √ 3)5 + (1 −i √ 3)5 et (1 + i √ 3)5 −(1 −i √ 3)5. Exercice 10 Calculer le module et l’argument de z = 1 1+i tan α. 1 Nombres complexes 2 Exercice 11 Calculer les puissances n-i` emes des nombres complexes : z1 = 1 + i √ 3 1 + i ; z2 = 1 + j ; z3 = 1 + i tan θ 1 −i tan θ. Exercice 12 Comment choisir l’entier naturel n pour que ( √ 3+i)n soit un r´ eel ? un imaginaire ? Exercice 13 c ⃝Soit z un nombre complexe de module ρ, d’argument θ, et soit z son conjugu´ e. Calculer (z + z)(z2 + z2) . . . (zn + zn) en fonction de ρ et θ. Exercice 14 (partiel novembre 88) c ⃝ Soient α et β deux nombres r´ eels. Mettre le nombre complexe z = eiα + eiβ sous forme trigo- nom´ etrique z = ρeiγ (indication : poser u = α+β 2 , v = α−β 2 ). En d´ eduire la valeur de n X p=0 Cp n cos[pα + (n −p)β]. Exercice 15 Mettre sous forme trigonom´ etrique 1+eiθ o` u θ ∈]−π, π[. Donner une interpr´ etation g´ eom´ etrique. Exercice 16 Montrer que si |z| ⩽k < 1 alors 1 −k ⩽|1 + z| ⩽1 + k. Faire un dessin et montrer qu’il peut y avoir ´ egalit´ e. Exercice 17 Montrer alg´ ebriquement et g´ eom´ etriquement que si |z| = 1 alors |1 + z| ⩾1 ou |1 + z2| ⩾1. Exercice 18 R´ esoudre l’´ equation exp(z) = √ 3 + 3i. 1.2 Racines carr´ ees, ´ equation du second degr´ e Exercice 19 c ⃝Calculer les racines carr´ ees de 1, i, 3 + 4i, 8 −6i, et 7 + 24i. Exercice 20 c ⃝ 1. Calculer les racines carr´ ees de 1+i √ 2 . En d´ eduire les valeurs de cos(π/8) et sin(π/8). 2. Calculer les valeurs de cos(π/12) et sin(π/12). Exercice 21 c ⃝Montrer que les solutions de az2 + bz + c = 0 avec a, b, c r´ eels, sont conjugu´ ees. Exercice 22 c ⃝R´ esoudre dans C les ´ equations suivantes : z2 + z + 1 = 0 ; z2 −(1 + 2i)z + i −1 = 0 ; z2 − √ 3z −i = 0 ; z2 −(5 −14i)z −2(5i + 12) = 0 ; z2 −(3 + 4i)z −1 + 5i = 0 ; 4z2 −2z + 1 = 0 ; z4 + 10z2 + 169 = 0 ; z4 + 2z2 + 4 = 0. Exercice 23 Trouver les racines complexes de l’´ equation suivante : x4 −30x2 + 289 = 0. Exercice 24 Pour z ∈C \ {2i}, on pose f(z) = 2z −i z −2i. 1. R´ esoudre l’´ equation z2 = i, z ∈C. 2. R´ esoudre l’´ equation f(z) = z, z ∈C \ {2i}. 1 Nombres complexes 3 1.3 Racine n-i` eme Exercice 25 c ⃝Calculer la somme Sn = 1 + z + z2 + · · · + zn. Exercice 26 c ⃝ 1. R´ esoudre z3 = 1 et montrer que les racines s’´ ecrivent 1, j, j2. Calculer 1 + j + j2 et en d´ eduire les racines de 1 + z + z2 = 0. 2. R´ esoudre zn = 1 et montrer que les racines s’´ ecrivent 1, ε, . . . , εn−1. En d´ eduire les racines de 1 + z + z2 + · · · + zn−1 = 0. Calculer, pour p ∈N, 1 + εp + ε2p + · · · + ε(n−1)p. Exercice 27 1. Calculer les racines n-i` emes de −i et de 1 + i. 2. R´ uploads/Management/ livre-mathematique-bibliotheque-exercice-mathematique.pdf