Outils Mathématiques - Chapitre I : Dérivation complexe et fonctions holomorphe
Outils Mathématiques - Chapitre I : Dérivation complexe et fonctions holomorphes Laurent Poinsot LIPN UMR CNRS 7030 Université Paris XIII & École de l’Air 1 / 39 Table des matières 1 Objectifs et plan du cours 2 Dérivation complexe et holomorphie 3 Premières conséquences 4 Exemples de fonctions holomorphes 5 Dérivée complexe et différentielle 6 Fonctions harmoniques (quelques notions, étudiées en détail en td) 2 / 39 Objectifs Le but de ce cours est de présenter les bases de l’analyse complexe qui seront utiles pour 1 l’aérodynamique et la mécanique des fluides, 2 la résolution d’équations différentielles (par exemple, les équations de diffusion de la chaleur), 3 le traitement et l’analyse du signal (décomposition fréquentielle des signaux, essentiellement pour les radars). 3 / 39 Plan du cours • Chap. I : Dérivation complexe et fonctions holomorphes. • Chap. II : Fonctions analytiques et exemples classiques. • Chap. III : Intégrales curvilignes et primitives. • Chap. IV : Résidus et applications. • Chap. V : Transformée de Laplace. • Chap. VI : Transformée de Fourier. • Chap. VII : Transformée en Z. 4 / 39 Table des matières 1 Objectifs et plan du cours 2 Dérivation complexe et holomorphie 3 Premières conséquences 4 Exemples de fonctions holomorphes 5 Dérivée complexe et différentielle 6 Fonctions harmoniques (quelques notions, étudiées en détail en td) 5 / 39 Topologie du plan complexe Rappelons que le plan complexe C, vu comme un R-espace vectoriel, est isomorphe à R2 : une base (la “base canonique”) est donnée par { 1, i }. Une bijection est donnée par (x, y) 7→x + iy et sa fonction réciproque z 7→(ℜ(z), ℑ(z)). Par ailleurs le module |z| = p ℜ(z)2 + ℑ(z)2 induit une distance d(z1, z2) = |z1 −z2| qui fait de C un espace métrique. On note pour z0 ∈C et R ∈[0, +∞], D(z0; R) = { z : |z −z0| < R } le disque ouvert centré en z0 et de rayon R (avec D(z0; +∞) = C par convention), et D(z0; R) = { z : |z −z0| ≤R } le disque fermé. En tant qu’espaces métriques, C et R2 (avec la distance euclidienne habituelle) sont homéomorphes. Dans la suite, les termes d’ouverts, fermés, voisinages, adhérence, frontière feront réfèrence à la métrique de C. U désigne un ouvert quelconque de C. 6 / 39 Définition : Fonction holomorphe Soit f : U →C une fonction complexe. Pour z0 ∈U, si lim z→z0 f (z) −f (z0) z −z0 existe, alors on note f ′(z0) cette limite, que l’on appelle le nombre dérivé de f en z0. Si f ′(z0) existe pour tout z0 ∈U, alors la fonction f est dite holomorphe dans U. Et f est dite holomorphe en z0 s’il existe un voisinage de z0 dans lequel f est holomorphe. Une fonction holomorphe dans C tout entier est appelée fonction entière. 7 / 39 En détail : Dire que f ′(z0) existe revient à demander que pour tout ϵ > 0, il existe r > 0 tel que f (z) −f (z0) z −z0 −f ′(z0) < ϵ pour tout z ∈D(z0; r) \ { z0 } ⊆U. Dans ce cas, on dit aussi que f est dérivable (au sens complexe) en z0. 8 / 39 Définition : Dérivée Soit f : U →C une fonction holomorphe dans U. On peut alors définir sur U une nouvelle fonction, appelée dérivée complexe, ou plus simplement dérivée, de f , et notée f ′ ou df dz , laquelle, bien sûr, à tout point z0 ∈U associe le nombre dérivé f ′(z0) de f en ce point. Autrement dit, f ′(z0) = lim z→z0 f (z) −f (z0) z −z0 pour chaque z0 ∈U. 9 / 39 (Contre-)Exemple La fonction f : z 7→z2 est holomorphe dans C et f ′(z0) = 2z0. La fonction f : z 7→z n’est nulle part dérivable. La fonction f : z 7→|z|2 est dérivable en 0 mais n’est pas holomorphe en 0. 10 / 39 Table des matières 1 Objectifs et plan du cours 2 Dérivation complexe et holomorphie 3 Premières conséquences 4 Exemples de fonctions holomorphes 5 Dérivée complexe et différentielle 6 Fonctions harmoniques (quelques notions, étudiées en détail en td) 11 / 39 Proposition Si f : U →C est dérivable en z0 ∈U, alors elle est continue en z0. 12 / 39 Preuve Dire que f est dérivable en z0 revient à dire que pour h suffisamment proche de zéro, f (z0 + h) = f (z0) + hf ′(z0) + |h|ϵ(h) avec lim h→0 ϵ(h) = 0. On en déduit immédiatement que f est continue en z0. 13 / 39 Proposition Soient f , g deux fonctions holomorphes dans U, et soit λ ∈C. Alors les fonctions f + g, λf , fg, f g (à la condition que g ne s’annule en aucun point de U) et pour tout n ∈Z, f n (pour n < 0, il faut de surcroît supposer que f ne s’annule pas sur U) sont holomorphes dans U, et leurs dérivées sont (f + g)′ = f ′ + g′. (λf )′ = λf ′. (fg)′ = f ′g + fg′ f g ′ = (f ′g −fg′) g2 . (f n)′ = nf n−1f ′. On retrouve par conséquent les formules usuelles du calcul des dérivées. 14 / 39 Proposition Soient f : U →C et g : V →C des fonctions holomorphes respectivement dans U et dans V , et telles que f (U) ⊆V . Alors g ◦f : U →C est holomorphe dans U, et sa dérivée est (g ◦f )′ = (g′ ◦f )f ′. 15 / 39 Table des matières 1 Objectifs et plan du cours 2 Dérivation complexe et holomorphie 3 Premières conséquences 4 Exemples de fonctions holomorphes 5 Dérivée complexe et différentielle 6 Fonctions harmoniques (quelques notions, étudiées en détail en td) 16 / 39 Fonctions polynomiales • Les fonctions constantes sont entières et de dérivées nulles en tout point. • La fonction identique z 7→z est entière et sa dérivée est la fonction constante égale à 1. • À partir de ces fonctions, on obtient par additions et multiplications l’holomorphie dans C de toutes les fonctions f qui s’écrivent sous la forme suivante f (z) = n X i=0 aizi où n est un entier naturel et où a0, · · · , an sont des nombres complexes. Une telle fonction est dite fonction polynôme ou fonction polynomiale. La dérivée de f est donnée pour tout z ∈C par f ′(z) = 0, si n = 0 et f ′(z) = n X i=1 iaizi−1 = n−1 X j=0 (j + 1)aj+1zj, si n > 0. 17 / 39 Unicité de la représentation d’une fonction polynomiale L’ensemble des fonctions de C dans lui-même est bien sûr un C-espace vectoriel de façon évidente. On constate que la fonction polynomiale f du transparent précédent est une combinaison linéaire de fonctions z 7→zn pour n ∈N. L’écriture de f (comme combinaison linéaire) est alors unique à la condition que les fonctions z 7→zn, n ∈N, soient C-linéairement indépendantes, i.e., si n ∈N et (a0, · · · , an) ∈Cn+1 sont tels que pour tout z ∈C, Pn i=0 aizi = 0, alors tous les ai sont nuls. Or cela est vrai (preuve par récurrence sur n) : Proposition Soit f une fonction polynomiale non identiquement nulle. Alors il existe un unique entier n ∈N (le degré) et un unique (n + 1)-tuple (a0, · · · , an) ∈Cn+1 (les coefficients) tels que pour tout z ∈C, f (z) = Pn i=0 aizi, et an ̸= 0 18 / 39 Fonctions rationnelles On appelle fonction rationnelle toute fonction f de la forme g/h où g et h sont deux fonctions polynomiales, h étant supposée en outre non identiquement nulle (i.e., non représentée par le polynôme nul). La fonction f est alors définie et holomorphe dans le complémentaire de l’ensemble des zéros de h (lequel est un ouvert). Sa dérivée est donc donnée par la formule f ′ = g′h −gh′ h2 . Il en résulte que la dérivée d’une fonction rationnelle est rationnelle. 19 / 39 Remarque On a d’emblée l’ensemble de définition maximum en prenant une représentation irréductible pour la fonction rationnelle f , c’est-à-dire dans laquelle g et h sont premiers entre eux. Rappelons que deux polynômes sont premiers entre eux si leurs seuls diviseurs communs sont les constantes non nulles; en particulier deux polynômes premiers entre eux ne possèdent pas de zéro commun – sinon ils auraient un diviseur commun de degré 1. 20 / 39 Table des matières 1 Objectifs et plan du cours 2 Dérivation complexe et holomorphie 3 Premières conséquences 4 Exemples de fonctions holomorphes 5 Dérivée complexe et différentielle 6 Fonctions harmoniques (quelques notions, étudiées en détail en td) 21 / 39 Il existe sur C deux structures évidentes d’espace vectoriel : - d’une part, en tant que corps, C est un espace uploads/Management/ chapitre1-beamer.pdf
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- Publié le Jul 18, 2021
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