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1 Initiation aux statistiques inférentielles • Chapitre 1 : les échantillons •

1 Initiation aux statistiques inférentielles • Chapitre 1 : les échantillons • Chapitre 2 : la loi normale : première loi d’échantillonnage • Chapitre 3 : l’estimation ponctuelle et par intervalle de confiance • Chapitre 4 : l’initiation aux tests d’hypothèse 2 INTRODUCTION A. Les indicateurs des échantillons 1°) Exemple 1. 2°) Exemple 2. 3°) Exemple 3. B. Les fluctuations d’échantillonage. 1°) Objectif . 2°) Exemple. C. Les sondages classiques 1°) Les sondages aléatoires. 2°) les sondages empiriques. Mises en garde. CHAPITRE 1 : LES ECHANTILLONS 3  Si dans un échantillon de 1 000 personnes, 200 votent pour A alors est-on vraiment certain que A réalisera un score de 20 % lors de l’ élection ?  Par exemple, si le poids moyen des paquets de la production est de 250 grammes, il est possible de trouver un échantillon de poids moyen 249 grammes • Le comportement des échantillons est incertain : • Troisième objectif : comparer deux (ou plus) traitements différents : en ressources humaines, peut-on affirmer que depuis la création de la crèche d’ entreprise, le taux d’ absentéisme a baissé ; en marketing, les ventes réalisées sont-elles différentes avec ce nouvel emballage ? • Deuxième objectif : Vérifier si la production est conforme aux attentes ou spécifications. • Premier objectif : Connaître les propriétés de la population dont est extrait l’ échantillon. Les objectifs CHAPITRE 1 : LES ECHANTILLONS 4 Incertain et Aléatoire • Par exemple, si le poids moyen des paquets de la production est de 250 grammes, il est possible de trouver un échantillon de poids moyen 249 grammes mais avec quelle probabilité ? • Autre exemple : si dans un échantillon de 1 000 personnes, 200 votent pour A alors est-on vraiment certain que A réalisera un score de 20 % lors de l’ élection ? Avec quelle certitude ?  entre 19 % et 21 % ? • On peut penser que, si le sondage est bien fait, A réalisera un score «autour» de 20 % mais la question devient alors :  entre 17 % et 23 % ?  entre 10 % et 30 % ?  «il va peut-être pleuvoir» et «il y a une probabilité de 30 % qu’il pleuve»  Si je connais cette probabilité, j’adapte mon comportement et je prends ou pas mon parapluie CHAPITRE 1 : LES ECHANTILLONS 5 • Parmi ces trois échantillons qui suivent, y en a-t-il qui sont manifestement gaussiens ? • L’utilisation de la loi normale dont la caractéristique principale est sa forme de «courbe en cloche» est fondamentale Echantillon Gaussien CHAPITRE 1 : LES ECHANTILLONS 6 Gaussien ? Oui ! CHAPITRE 1 : LES ECHANTILLONS 7 Gaussien ? Non ! CHAPITRE 1 : LES ECHANTILLONS 8 Gaussien ? ?? ? CHAPITRE 1 : LES ECHANTILLONS 9 A. Les indicateurs des échantillons 1°) Exemple 1 : Dans une PME, durant les 25 derniers jours ouvrés, on a relevé chaque jour le nombre de salariés en arrêt de travail : x  ni.xi  ni  30 4 1.........19 34 ......9 3,24 V(x)  ni.xi 2  ni  x 2 302 4 12 .......9 12 25 3,242 397 25 3,242 5,3824 (x)5,38242,32 la variable est numérique est il est bien difficile de savoir si la représentation est proche d’une courbe en cloche Nombre de personnes en arrêt 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Nombre de jours 3 4 3 5 3 2 3 1 0 1 CHAPITRE 1 : LES ECHANTILLONS 1 0 A. Les indicateurs des échantillons 2°) Exemple 2 : Une entreprise a étudié son chiffre d’ affaires sur les derniers jours: x  ni.xi  ni  2 0,5 12 1,5 .........37,5 2 12 ....3 3,868 V(x)  ni.xi 2  ni  x 2 2 0,52 12 1,52 .......37,52 2 12 ....3 3,8682 4110,5 250 3,8682 1,486 (x)1,486 1,219 la variable est numérique et la représentation est proche d’une courbe en cloche Chiffre d’affaires [0,1[ [1,2[ [2,3[ [3,4[ [4,5[ [5,6[ [6,7[ [7,8[ Nombre de journées 2 12 40 88 65 35 5 3 On rappelle que dans le cas d’une série continue, les xi représentent alors les centres de classe CHAPITRE 1 : LES ECHANTILLONS 1 1 CHAPITRE 1 : LES ECHANTILLONS 1 2 A. Les indicateurs des échantillons 3°) Exemple 3 : Dans ce groupe de 135 étudiants, il y a 80 filles : 51 de moins de 21 ans et 29 de plus de 21 ans et 55 garçons : 25 de moins de 21 ans et 30 de plus de 21 ans. 80 135 5125 135 51 5125 Quelle est la proportion de filles ? Elle est de Quelle est la proportion d’ étudiants de moins de 21 ans ? Elle est de Quelle est la proportion de filles parmi les étudiants de moins de 21 ans ? Elle est de Les variables étudiées sont :  le sexe, variable qualitative  l’âge, variable quantitative mais comme l’échantillon est séparé en deux groupes , jeunes et moins jeunes, la variable est devenue qualitative. CHAPITRE 1 : LES ECHANTILLONS 1 3 Urne : 180 blanches et 20 noires On en tire 10 . Quelle est la probabilité d’avoir 1 noire ? Ceci est le point de vue probabiliste . Quelle est la probabilité d’avoir au moins 3 noires ? B. Les fluctuations d’échantillonage. CHAPITRE 1 : LES ECHANTILLONS 1 4 Urne : 1000 boules On en tire 15 Peut-on en déduire le nombre de noires dans l’urne ? par exemple on en obtient 3 noires soit 20 % C’est le point de vue du sondeur B. Les fluctuations d’échantillonage. CHAPITRE 1 : LES ECHANTILLONS 1 5 Urne : beaucoup de boules On en tire 15 Peut-on en déduire le nombre de noires dans l’urne ? par exemple on en obtient 3 noires soit 20 % C’est le point de vue du sondeur Peut-on en déduire la proportion de noires dans l’urne ? B. Les fluctuations d’échantillonage. CHAPITRE 1 : LES ECHANTILLONS 1 6 Plage avec beaucoup de grains de sable On m’affirme 10 % de grains noirs et je prends un échantillon de 80 grains. Je trouve non pas 8 grains noirs comme attendu mais 9. Que décider ? C’est le point de vue du contrôleur B. Les fluctuations d’échantillonage. CHAPITRE 1 : LES ECHANTILLONS 1 7 B. Les fluctuations d’échantillonage 2°) Exemple : On considère les 5 notes obtenues par un étudiant : 7 ; 8 ; 10 ; 11 ; 14 a) la moyenne : m 7 8 10 1114 5 10 la variance : 2 72 82 102 112 142 5 102 6 l’écart-type :  6 et parmi ces 5 notes la proportion p de notes supérieure à 12 est p 1 5 Attention Si on considère que ces 5 notes constituent la population, les indicateurs de la population sont notés : m, , p On va prélever dans cette population de 5 notes des échantillons de taille 2 CHAPITRE 1 : LES ECHANTILLONS 1 8 Echantillon n° note 1 note 2 Moyenne Variance Ecart- type proportion de notes supérieures à 12 1 7 7 7 0 0 0 2 7 8 7,5 0,25 0,5 0 3 7 10 8,5 2,25 1,5 0 4 7 11 9 4 2 0 5 7 14 10,512,2 5 3,5 0,5 6 8 7 7,5 0,25 0,5 0 7 8 8 8 0 0 0 8 8 10 9 1 1 0 9 8 11 9,5 2,25 1,5 0 10 8 14 11 9 3 0,5 11 10 7 8,5 2,25 1,5 0 12 10 8 9 1 1 0 13 10 10 10 0 0 0 14 10 11 10,5 0,25 0,5 0 15 10 14 12 4 2 0,5 16 11 7 9 4 2 0 17 11 8 9,5 2,25 1,5 0 18 11 10 10,5 0,25 0,5 0 19 11 11 11 0 0 0 20 11 14 12,5 2,25 1,5 0,5 21 14 7 10,5 12,25 3,5 0,5 22 14 8 11 9 3 0,5 23 14 10 12 4 2 0,5 24 14 11 12,5 2,25 1,5 0,5 25 14 14 14 0 0 1 Les 25 échantillons possibles pour le premier échantillon : moyenne variance proportion pour le cinquième échantillon : moyenne variance proportion x1 7 7 2 7 s1 2 72 72 2 72 0 f1 0 2 x5 7 14 2 10,5 s5 2 72 142 2 10,52 12,25 f5 1 2 Attention Si on considère que ces 2 notes constituent un des échantillons, les indicateurs de cet échantillon sont notés : x, s, f Remarque : si la population était de N=7 notes et que l'on s'intéressait aux échantillons de taille 3, on aurait obtenu 7 3 échantillons ! CHAPITRE 1 : LES ECHANTILLONS 1 9 On ne retrouve pas dans ces échantillons les indicateurs de la population. Des outils de probabilité apparaissent rapidement : La moyenne observée, la variance observée et la proportion observée sont aléatoires (elles dépendent de l’ uploads/Management/ m931-initiation-statistiques-inferentielles.pdf