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MINISTERE DE L 'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR FACULTE DES SCIENCES. DEPARTEMENT DE MAT

MINISTERE DE L 'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR FACULTE DES SCIENCES. DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES OSMANOV Hamid KHELIFATI Saddek BROCHURE D'EXERCICES D'ANALYSE MATHEMATIQUE 2 PARTIE 2: INTEGRATION. INTEGRALE INDEFINIE et INTEGRALE DEFINIE avec rappels de cours, réponses et certains corrigés. EDITION 2014 1 BROCHURE D’ANALYSE 2 Intégrale indéfinie et intégrale définie avec réponses et corrigés par OSMANOV H. et KHELIFATI S ———————————————————————— Chapitre VIII. Intégrale indéfinie. Calcul intégral. L’intégrale indéfinie est le problème inverse de la recherche de la dérivée d’une fonction donnée. §1. Primitives. Intégrale indéfinie. VIII.1.Notion de primitives d’une fonction. Soit f une fonction définie sur un intervalle I R . On cherche une fonction F définie et dérivable sur I vérifiant: Fxfx, x I. (1) Définition. On appelle primitive de f sur I toute fonction F définie et dérivable sur I, vérifiant l’équation (1). Théorème. Si f admet une primitive, alors elle en admet une infinité et si F,G sont deux primitives de f sur I, alors il existe une constante c R telle que : FxGxc, x I. VIII.2. Intégrale indéfinie. Définition. On appelle intégrale indéfinie de f sur I R l’ensemble des primitives de f sur I, si elles existent, qu’on note fxdx, x I. Si F est une primitive de f, alors on écrit : fxdx Fxc , c R. En pratique, on désigne souvent par l’intégrale indéfinie une certaine fonction primitive au lieu de l’ensemble des primitives de f. VIII.3. Existence de l’intégrale indéfinie. Pour l’existence de l’intégrale indéfinie d’une fonction f, c’est à dire d’une primitive, on a la condition suffisante suivante: Théorème. Toute fonction continue sur un intervalle admet une primitive sur cet intervalle. Conséquence. Les fonctions élémentaires réelles admettent toutes des primitives. Remarque. Il existe des fonctions n’admettant de primitives au sens de la définition donnée. §2.Calcul intégral. 2 BROCHURE D’ANALYSE 2 Intégrale indéfinie et intégrale définie avec réponses et corrigés par OSMANOV H. et KHELIFATI S ———————————————————————— L’opération de recherche de l’intégrale indéfinie est appelée intégration ou primitivisation et pour cela, on dit souvent intégrer une fonction au lieu de calculer son intégrale indéfinie. VIII.4. Propriétés fondamentales de l’intégrale indéfinie. Les propriétés suivantes sont vraies: i) fxgxdx fxdx gxdx ; ii) fxdx fxdx , R; iii) fxdx  fxou d fxdx fxdx; iv) dFxFxc; v) si fxdx Fxc, alors fax bdx 1 a Fax bc. VIII.5. Table des principales intégrales indéfinies. A partir de la table des dérivées des fonctions élémentaires, on établit la table suivante des primitives de fonctions élémentaires: i) 0 dx c ; ii) xdx  x1 1 c, R, 1, iii) axdx  ax loga c a 0, a 1; exdx ex c, x R; iv) dx x log|x| c x 0 ; v) sinx dx cosx c ; cosx dx sinx c, x R; vi)  dx cos2x tgx c, x  2 k;  dx sin2x ctgx c, x k, k Z; vii)  dx 1 x2  arcsinx c , arccosx c , , 1 x 1 ; viii)  dx 1 x2  arctgx c , arcctgx c , , x R ; 3 BROCHURE D’ANALYSE 2 Intégrale indéfinie et intégrale définie avec réponses et corrigés par OSMANOV H. et KHELIFATI S ———————————————————————— ix) shx dx chx c, x R; chx dx shx c, x R; x)  dx ch 2x thx c , x R;  dx sh 2x cthx c, x 0; xi)  dx 1 x2 log x  1 x2 c argshx c, x R; xii)  dx x2 1 log x  x2 1 c |x| 1; xiii)  dx 1 x2 1 2 log 1 x 1 x c   argthx c 1 x 1 , argcthx c |x| 1 . . VIII.6. Méthode directe d’intégration. Cette méthode consiste, grâce aux propriétés des intégrales et aux transformations sur la fonction à intégrer, à utiliser la table des principales primitives . Exemples. sinx 2x2  x  3 1 x2 dx sinxdx 2x2dx  x dx 3 dx 1 x2  cosx 2 3 x3 2 3 x3 3arctgx c. VIII.7. Méthode du changement de variable. Parmi les méthodes d’intégration les plus effectives, il y a la méthode du changement de variable qui consiste à écrire la fonction à intégrer f sous la forme fxgx.x. On a le théorème suivant: Théorème 1. Soient fxgx.x, et x t xdéfinie et dérivable sur un intervalle Ix R. Si la fonction t y gtadmet une primitive Gtsur un intervalle It tel que IxIt, alors la fonction fxgxxadmet une primitive sur Ix et on a fxdx gx.xdx Gxc, c R. (2) En particulier le théorème est vrai si g, et sont continues. Méthode pratique. Soit à calculer fxdx qui peut se mettre sous la forme fxdx gxxdx telle que g admet une primitive G, alors, d’après le théorème, on 4 BROCHURE D’ANALYSE 2 Intégrale indéfinie et intégrale définie avec réponses et corrigés par OSMANOV H. et KHELIFATI S ———————————————————————— pose t x, dt xdx. Dans ce cas, on a fxdx gtdt Gtc Gxc. Exemple. Calculer Fx sinx .cosx dx. Remarquons tout d’abord que  sinx .cosxdx  sinx sinxdx  sinx dsinx. Ainsi, en posant t sinx, on obtient :  sinx .cosxdx  t dt 2 3 t3/2 c 2 3 sin3/2x c. Parfois le changement de variable n’est pas visible et on peut, dans certains cas, poser x t. Plus précisément, on a le théorème suivant: Théorème 2. Soient f une fonction continue sur I et : J I une fonction inversible telle que C1J. Alors, en posant x t, on obtient la formule fxdx fttdt gtdt Gtc, (3) avec t 1xx, dx tdt et G une primitive de g. On revient ensuite à la variable x en remplaçant t 1x, d’où fxdx G1xc. (4) Cette méthode est dite méthode de substitution. Exemple. Calculer  dx x2 a23/2 . Dans cet exemple, le changement de variable n’est pas visible et il est préférable d’utiliser le théorème 2 en faisant le changement suivant: x tatgt. Dans ce cas, on a dx a dt cos2t , x2 a23/2  a3 cos3t , et en remplaçant dans l’intégrale, on obtient, après quelques transformations trigonométriques:  dx x2 a23/2 acos3t a3 cos2t dt  1 a2 costdt  1 a2 sint c. Comme t arctg x a , alors on a la résultat:  dx x2 a23/2  1 a2 sinarctg x 2 c  1 a2 x x2 a2 c. Remarques. 1) Le choix du changement de variable doit être judicieux et seule la pratique du calcul intégral permet de le déterminer. 2) Comme dt dxdx dans le théorème 1, il est préférable d’écrire l’intégrale sous la forme: fxdx gdFc. 3) Nous conseillons au lecteur de vérifier les résultats obtenus en calculant leurs dérivées qui 5 BROCHURE D’ANALYSE 2 Intégrale indéfinie et intégrale définie avec réponses et corrigés par OSMANOV H. et KHELIFATI S ———————————————————————— doivent être égales aux fonctions à intégrer. VIII.8. Méthode d’intégration par parties. Un grand nombre d’intégrales se calculent par la méthode d’intégration par parties qui est donnée par le théorème suivant: Théorème. Soient u, v deux fonctions dérivables sur un intervalle I R telles que la fonction uv admet une primitive sur I. Alors la fonction uvadmet une primitive sur I et on a : uxvxdx uxvxuxvxdx. (5) En particulier le théorème est vrai si u,v C1I. Symboliquement, on écrit: u dv u.v v du . Remarques. 1) Le choix de cette méthode n’a de sens que si l’intégrale figurant dans le membre de droite de la formule (5) est facile à calculer. 2) Le choix des fonctions u et v doit être judicieux et ce n’est que par la pratique des exercices que l’on pourra plus facilement faire ce choix. 3) La pratique montre qu’un bon nombre d’intégrales susceptibles d’être calculées par la méthode d’intégration par parties peuvent être classées en trois groupes: a) fxlogx dx, fxarcsinx dx, fxarccosx dx, fxarctgx dx, fxarccosx2dx, fxarctgx2dx,...dans le cas où f admet une primitive; b. Pxcosx dx, Pxsinx dx, Pxexdx où P est un polynôme R, dans ce cas, on pose uxPx; c. ex cosx dx, ex sinx dx ,R, sinlogxdx, coslogxdx, ,R. Exemples. Comme pour les exemples précédents, la constante arbitraire est désignée par la lettre c R. 1) xarctgx dx. Posons u arctgx et vx. Alors on a 6 BROCHURE D’ANALYSE 2 Intégrale indéfinie et intégrale définie avec réponses et corrigés par OSMANOV H. et KHELIFATI S ———————————————————————— u 1 1 x2 et v x2 2 et, d’après la formule d’intégration par parties: xarctgxdx x2 2 arctgx 1 2  x2 1 x2 x2 2 arctgx 1 2 x2 1 1 1 x2 dx  x2 2 arctgx 1 2 1  1 1 x2 dx x2 2 arctgx 1 2 x arctgc c  x2 1 2 arctgx x 2 c. 2) I2 xn logx dx n 1. Posons uxlogx et vxxn. Alors on a: ux1 x , vx xn1 n 1 et d’après la formule d’intégration par parties: xn logx dx  xn1 n 1 logx  uploads/Management/ 2-brochure-d-x27-exercices-d-x27-analyse-mathematique-2.pdf