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Ensembles Opérations sur les ensembles Chapitre I : Généralités sur les ensembl

Ensembles Opérations sur les ensembles Chapitre I : Généralités sur les ensembles Prof. A. El-Kacimi Université Cadi Ayyad Faculté Polydisciplinaire de Saﬁ Filière: Economie & Gestion 2015-2016 Prof. A. El-Kacimi, email: ab1kacimi@gmail.com S1-Analyse Mathématique I (2015-2016) 1/10 Ensembles Opérations sur les ensembles Aperçu sur le cours S1-Analyse Mathématique I Généralités sur les ensembles; Fonctions d’une variable réelle: • Applications, Fonctions : déﬁnitions et propriétés, limites et Dérivées, branches inﬁnies, fonctions usuelles, optimisation et extremums locaux d’une fonction, primitives et intégrales, formule de Taylor-Développements limités; Fonctions de plusieurs variables réelles: • Introduction, fonctions de deux variables, intégrales doubles, optimisation d’une fonction de deux variables. Prof. A. El-Kacimi, email: ab1kacimi@gmail.com S1-Analyse Mathématique I (2015-2016) 2/10 Ensembles Opérations sur les ensembles Aperçu sur le cours S1-Analyse Mathématique I Généralités sur les ensembles; Fonctions d’une variable réelle: • Applications, Fonctions : déﬁnitions et propriétés, limites et Dérivées, branches inﬁnies, fonctions usuelles, optimisation et extremums locaux d’une fonction, primitives et intégrales, formule de Taylor-Développements limités; Fonctions de plusieurs variables réelles: • Introduction, fonctions de deux variables, intégrales doubles, optimisation d’une fonction de deux variables. Prof. A. El-Kacimi, email: ab1kacimi@gmail.com S1-Analyse Mathématique I (2015-2016) 2/10 Ensembles Opérations sur les ensembles Aperçu sur le cours S1-Analyse Mathématique I Généralités sur les ensembles; Fonctions d’une variable réelle: • Applications, Fonctions : déﬁnitions et propriétés, limites et Dérivées, branches inﬁnies, fonctions usuelles, optimisation et extremums locaux d’une fonction, primitives et intégrales, formule de Taylor-Développements limités; Fonctions de plusieurs variables réelles: • Introduction, fonctions de deux variables, intégrales doubles, optimisation d’une fonction de deux variables. Prof. A. El-Kacimi, email: ab1kacimi@gmail.com S1-Analyse Mathématique I (2015-2016) 2/10 Ensembles Opérations sur les ensembles Aperçu sur le cours S1-Analyse Mathématique I Généralités sur les ensembles; Fonctions d’une variable réelle: • Applications, Fonctions : déﬁnitions et propriétés, limites et Dérivées, branches inﬁnies, fonctions usuelles, optimisation et extremums locaux d’une fonction, primitives et intégrales, formule de Taylor-Développements limités; Fonctions de plusieurs variables réelles: • Introduction, fonctions de deux variables, intégrales doubles, optimisation d’une fonction de deux variables. Prof. A. El-Kacimi, email: ab1kacimi@gmail.com S1-Analyse Mathématique I (2015-2016) 2/10 Ensembles Opérations sur les ensembles Généralités sur les ensembles Ensembles; Opérations sur les ensembles; Prof. A. El-Kacimi, email: ab1kacimi@gmail.com S1-Analyse Mathématique I (2015-2016) 3/10 Ensembles Opérations sur les ensembles Généralités sur les ensembles Ensembles; Opérations sur les ensembles; Prof. A. El-Kacimi, email: ab1kacimi@gmail.com S1-Analyse Mathématique I (2015-2016) 3/10 Ensembles Opérations sur les ensembles Généralités sur les ensembles Ensembles; Opérations sur les ensembles; Prof. A. El-Kacimi, email: ab1kacimi@gmail.com S1-Analyse Mathématique I (2015-2016) 3/10 Ensembles Opérations sur les ensembles Déﬁnition Un ensemble est une collection d’objets. Les objets d’un ensemble sont appelés éléments de cet ensemble. Exemples N = {0, 1, 2, 3, ...} l’ensemble des entiers naturels; Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} l’ensemble des entiers relatifs; Q l’ensemble des nombres rationels; R l’ensemble des nombres réels. Remarque On convient qu’il existe un ensemble ne contenant aucun elément que l’on appellera l’ensemble vide. On le notera par ∅(ou encore par {}). Prof. A. El-Kacimi, email: ab1kacimi@gmail.com S1-Analyse Mathématique I (2015-2016) 4/10 Ensembles Opérations sur les ensembles Déﬁnition Un ensemble est une collection d’objets. Les objets d’un ensemble sont appelés éléments de cet ensemble. Exemples N = {0, 1, 2, 3, ...} l’ensemble des entiers naturels; Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} l’ensemble des entiers relatifs; Q l’ensemble des nombres rationels; R l’ensemble des nombres réels. Remarque On convient qu’il existe un ensemble ne contenant aucun elément que l’on appellera l’ensemble vide. On le notera par ∅(ou encore par {}). Prof. A. El-Kacimi, email: ab1kacimi@gmail.com S1-Analyse Mathématique I (2015-2016) 4/10 Ensembles Opérations sur les ensembles Déﬁnition Un ensemble est une collection d’objets. Les objets d’un ensemble sont appelés éléments de cet ensemble. Exemples N = {0, 1, 2, 3, ...} l’ensemble des entiers naturels; Z = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...} l’ensemble des entiers relatifs; Q l’ensemble des nombres rationels; R l’ensemble des nombres réels. Remarque On convient qu’il existe un ensemble ne contenant aucun elément que l’on appellera l’ensemble vide. On le notera par ∅(ou encore par {}). Prof. A. El-Kacimi, email: ab1kacimi@gmail.com S1-Analyse Mathématique I (2015-2016) 4/10 Ensembles Opérations sur les ensembles Déﬁnition Soient A et B deux ensembles non vides. B est dit sous-ensemble de A ( ou contenu dans A ) si tous les éléments de B appartiennent à A. On note B ⊂A. Exemples E = {−1/2, 0, 22/7} est sous-ensemble de Q; R+ = {x ∈R; x ≥0} ⊂R; R−= {x ∈R; x ≤0} ⊂R; R∗= {x ∈R; x ̸= 0} ⊂R. Prof. A. El-Kacimi, email: ab1kacimi@gmail.com S1-Analyse Mathématique I (2015-2016) 5/10 Ensembles Opérations sur les ensembles Déﬁnition Soient A et B deux ensembles non vides. B est dit sous-ensemble de A ( ou contenu dans A ) si tous les éléments de B appartiennent à A. On note B ⊂A. Exemples E = {−1/2, 0, 22/7} est sous-ensemble de Q; R+ = {x ∈R; x ≥0} ⊂R; R−= {x ∈R; x ≤0} ⊂R; R∗= {x ∈R; x ̸= 0} ⊂R. Prof. A. El-Kacimi, email: ab1kacimi@gmail.com S1-Analyse Mathématique I (2015-2016) 5/10 Ensembles Opérations sur les ensembles Déﬁnitions Soit E un ensemble et A et B deux sous-ensembles de E. L ’intersection de A et B est le sous-ensemble de E noté par A ∩B et déﬁni par A ∩B = {x ∈E; x ∈A et x ∈B}; L ’union de A et B est le sous-ensemble de E noté par A ∪B et déﬁni par A ∪B = {x ∈E; x ∈A ou x ∈B}; Le complémentaire de B dans A est le sous-ensemble de E noté CB A (ou A\B), déﬁni par CB A = {x ∈A; x / ∈B}. Prof. A. El-Kacimi, email: ab1kacimi@gmail.com S1-Analyse Mathématique I (2015-2016) 6/10 Ensembles Opérations sur les ensembles Déﬁnitions Soit E un ensemble et A et B deux sous-ensembles de E. L ’intersection de A et B est le sous-ensemble de E noté par A ∩B et déﬁni par A ∩B = {x ∈E; x ∈A et x ∈B}; L ’union de A et B est le sous-ensemble de E noté par A ∪B et déﬁni par A ∪B = {x ∈E; x ∈A ou x ∈B}; Le complémentaire de B dans A est le sous-ensemble de E noté CB A (ou A\B), déﬁni par CB A = {x ∈A; x / ∈B}. Prof. A. El-Kacimi, email: ab1kacimi@gmail.com S1-Analyse Mathématique I (2015-2016) 6/10 Ensembles Opérations sur les ensembles Déﬁnitions Soit E un ensemble et A et B deux sous-ensembles de E. L ’intersection de A et B est le sous-ensemble de E noté par A ∩B et déﬁni par A ∩B = {x ∈E; x ∈A et x ∈B}; L ’union de A et B est le sous-ensemble de E noté par A ∪B et déﬁni par A ∪B = {x ∈E; x ∈A ou x ∈B}; Le complémentaire de B dans A est le sous-ensemble de E noté CB A (ou A\B), déﬁni par CB A = {x ∈A; x / ∈B}. Prof. A. El-Kacimi, email: ab1kacimi@gmail.com S1-Analyse Mathématique I (2015-2016) 6/10 Ensembles Opérations sur les ensembles Déﬁnitions Soit E un ensemble et A et B deux sous-ensembles de E. L ’intersection de A et B est le sous-ensemble de E noté par A ∩B et déﬁni par A ∩B = {x ∈E; x ∈A et x ∈B}; L ’union de A et B est le sous-ensemble de E noté par A ∪B et déﬁni par A ∪B = {x ∈E; x ∈A ou x ∈B}; Le complémentaire de B dans A est le sous-ensemble de E noté CB A (ou A\B), déﬁni par CB A = {x ∈A; x / ∈B}. Prof. A. El-Kacimi, email: ab1kacimi@gmail.com S1-Analyse Mathématique I (2015-2016) 6/10 Ensembles Opérations sur les ensembles Exemples Soient les ensembles suivants E = {−6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {−6, −4, −2, 1, 2, 3}, B = {−4, 1, 2, 5, 7}. Alors A ∩B = {−4, 1, 2}, A ∪B = {−6, −4, −2, 1, 2, 3, 5, 7}, A\B= {−6, −2, 3}. CA E =?? Prof. A. El-Kacimi, email: ab1kacimi@gmail.com S1-Analyse Mathématique I (2015-2016) 7/10 Ensembles Opérations sur les ensembles Exemples Soient les ensembles suivants E = {−6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {−6, −4, −2, 1, 2, 3}, B = {−4, 1, 2, 5, 7}. Alors A ∩B = {−4, 1, 2}, A ∪B = {−6, −4, −2, 1, 2, 3, 5, 7}, A\B= {−6, −2, 3}. CA E =?? Prof. A. El-Kacimi, email: ab1kacimi@gmail.com S1-Analyse Mathématique I (2015-2016) 7/10 Ensembles Opérations sur les ensembles Exemples Soient les ensembles suivants E = {−6, −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {−6, −4, −2, 1, 2, 3}, B = {−4, 1, 2, 5, 7}. Alors A ∩B = {−4, 1, 2}, A ∪B = {−6, −4, −2, 1, 2, 3, 5, uploads/Management/ math 3 .pdf