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RAPPEL DE THÉORIE MATHÉMATIQUES SUPPORT DE FORMATION Cours EXP-PR-RT010 Révisio

RAPPEL DE THÉORIE MATHÉMATIQUES SUPPORT DE FORMATION Cours EXP-PR-RT010 Révision 0.1 Exploration & Production Rappel de Théorie Mathématiques Support de Formation EXP-PR-RT010-FR Dernière Révision: 11/04/2007 Page 2 de 134 RAPPEL DE THÉORIE MATHÉMATIQUES SOMMAIRE 1. OBJECTIFS.....................................................................................................................6 2. LES NOMBRES...............................................................................................................7 2.1. LES NOMBRES ENTIERS........................................................................................7 2.2. LES NOMBRES DÉCIMAUX ....................................................................................7 2.3. LES NOMBRES RÉELS............................................................................................8 2.4. REPRÉSENTATION SCIENTIFIQUE D’UN NOMBRE RÉEL..................................8 2.5. FACTORISATION D’UN NOMBRE ENTIER.............................................................9 2.6. VALEUR APPROCHÉE D’UN NOMBRE, D’UNE GRANDEUR PHYSIQUE ............9 2.7. VALEUR ABSOLUE D’UN NOMBRE........................................................................9 2.8. NOMBRES INVERSES...........................................................................................10 3. LES OPERATIONS........................................................................................................11 3.1. LES 4 OPÉRATIONS DE BASE : + , - , / , *............................................................11 3.1.1. L’addition symbole « + »..................................................................................11 3.1.2. La soustraction symbole « - ».........................................................................11 3.1.3. La multiplication : symboles « x » ou « * ».......................................................11 3.1.4. La division : symboles « : » ou « / » ................................................................12 3.2. COMPARAISON DES NOMBRES, SYMBOLES D’INÉGALITÉ ET D’ÉQUIVALENCE ..........................................................................................................13 3.3. LES PARENTHÈSES..............................................................................................13 3.3.1. Parenthèse simple...........................................................................................13 3.3.2. Parenthèses “imbriquées” ...............................................................................14 3.3.3. Calculs avec les parenthèses..........................................................................14 3.3.4. Distributivité.....................................................................................................14 3.3.5. Règles de suppression des parenthèses.........................................................15 3.4. Fractions et proportions...........................................................................................16 3.4.1. Généralités......................................................................................................16 3.4.2. Opérations sur les fractions.............................................................................17 3.4.2.1. Simplification..............................................................................................17 3.4.2.2. Somme et soustraction ..............................................................................18 3.4.2.3. Multiplication ..............................................................................................18 3.4.2.4. Division.......................................................................................................19 3.4.2.5. Egalité ........................................................................................................19 3.4.2.6. Proportion:..................................................................................................19 3.4.3. Exercices.........................................................................................................21 3.5. POURCENTAGE (SYMBOLE %)............................................................................25 3.5.1. Pourcentage instantané...................................................................................25 3.5.2. Pourcentage de variation.................................................................................26 3.5.3. Exercices.........................................................................................................27 4. MOYENNES ET STATISTIQUE ....................................................................................34 4.1. GÉNÉRALITÉS .......................................................................................................34 Exploration & Production Rappel de Théorie Mathématiques Support de Formation EXP-PR-RT010-FR Dernière Révision: 11/04/2007 Page 3 de 134 4.1.1. La moyenne arithmétique................................................................................34 4.1.2. La moyenne géométrique................................................................................34 4.1.3. La moyenne harmonique.................................................................................35 4.1.4. La moyenne pondérée.....................................................................................36 4.1.5. La moyenne quadratique.................................................................................36 4.2. INTRODUCTION AUX STATISTIQUES..................................................................37 4.2.1. Terminologie....................................................................................................37 4.2.2. Représentation graphique ...............................................................................39 4.2.3. Les indicateurs de l'analyse statistique ...........................................................40 4.2.4. Exemples sur les statistiques: .........................................................................42 5. LES AUTRES OPÉRATIONS........................................................................................46 5.1. LES PUISSANCES .................................................................................................46 5.1.1. Généralités......................................................................................................46 5.1.2. Puissance à exposant positif...........................................................................46 5.1.3. Puissance à exposant négatif..........................................................................47 5.1.4. Opérations algébriques sur les puissances.....................................................48 5.1.5. Puissances de dix ...........................................................................................49 5.1.5.1. Exercices....................................................................................................51 5.1.6. La racine carré : symbole «√ » ........................................................................52 5.1.7. Exercices.........................................................................................................53 5.2. EXPONENTIELLE...................................................................................................56 5.3. LOGARITHME ........................................................................................................58 5.3.1. Introduction......................................................................................................58 5.3.2. Propriétés des fonctions logarithmes..............................................................60 5.3.3. Logarithme népérien .......................................................................................61 5.3.4. Les logarithmes décimaux (log).......................................................................63 5.3.4.1. Mantisse et caractéristique.........................................................................64 5.3.5. Utilisation des log dans les représentations graphiques..................................67 5.3.6. Exercices.........................................................................................................73 6. LES SYSTEMES D’EQUATIONS SIMPLES..................................................................74 6.1. NOTION D’EQUATION ...........................................................................................74 6.2. PROPRIETES DE L'EGALITE PERMETTANT DE RESOUDRE DES EQUATIONS .......................................................................................................................................74 6.3. EQUATION DU 1ER DEGRE A UNE INCONNUE ...................................................75 6.3.1. Exercices.........................................................................................................77 6.4. RESOUDRE UN PROBLEME A L'AIDE D'UN SYSTEME D’EQUATIONS.............78 6.4.1. Méthode par addition.......................................................................................82 6.4.2. Méthode par substitution .................................................................................83 6.5. EXPRESSION ET CALCUL LITTERAL...................................................................86 7. FONCTIONS..................................................................................................................88 7.1. INTRODUCTION A LA NOTION DE FONCTION....................................................88 7.2. REPRESENTATION GRAPHIQUE D’UNE FONCTION .........................................89 7.2.1. Système de coordonnées................................................................................89 7.2.2. Positionnement d’un point dans son système de coordonnées.......................90 7.2.3. Définition des coordonnées d’un point dans son système de coordonnées ....90 7.2.4. Échelles des graduations ................................................................................90 7.2.5. Exemple de représentation graphique d’une loi physique ...............................91 7.2.6. Représentation graphique de y = ax................................................................93 Exploration & Production Rappel de Théorie Mathématiques Support de Formation EXP-PR-RT010-FR Dernière Révision: 11/04/2007 Page 4 de 134 7.2.7. Exercices sur la représentation graphique ......................................................95 8. LA TRIGONOMETRIE ...................................................................................................96 8.1. LE TRIANGLE RECTANGLE ..................................................................................96 8.2. LE THEOREME DE PYTHAGORE .........................................................................96 8.2.1. Démonstration amusante du théorème de Pythagore .....................................97 8.2.2. Généralisation du théorème de Pythagore: la formule d'Al-Kashi ...................97 8.3. LES FORMULES TRIGONOMETRIQUES..............................................................98 8.4. DIFFERENCE FONDAMENTALE AVEC LE THEOREME DE PYTHAGORE ........99 8.5. APPLICATION DES FORMULES TRIGONOMETRIQUES ..................................100 8.5.1. Trouver la mesure d’un angle........................................................................100 8.5.2. Trouver la mesure d’un coté..........................................................................100 8.6. TABLE DES VALEURS TRIGONOMETRIQUES DES ANGLES AIGUS..............101 8.7. Les principales formules en trigonométrie.............................................................102 8.7.1. Formules d'addition et de différence..............................................................102 8.7.2. Formules de duplication ................................................................................102 8.7.3. Formules de linéarisation ..............................................................................103 8.7.4. Formules de développement.........................................................................103 8.7.5. Formules de factorisation ..............................................................................103 9. LES SURFACES ET LES VOLUMES..........................................................................104 9.1. LES SURFACES...................................................................................................104 9.1.1. Les triangles..................................................................................................104 9.1.1.1. Surface d'un triangle connaissant les valeurs de la base et de la hauteur ..............................................................................................................................104 9.1.1.2. Surface d'un triangle équilatéral connaissant la longueur du coté. ..........105 9.1.1.3. Surface d'un triangle isocèle connaissant la longueur des cotés égaux et de la base ..................................................................................................................105 9.1.1.4. Surface d'un triangle scalène connaissant la longueur des cotés. ...........106 9.1.1.5. Surface d’un triangle rectangle.................................................................106 9.1.2. Les quadrilatères...........................................................................................107 9.1.2.1. Le carré....................................................................................................108 9.1.2.2. Le rectangle .............................................................................................109 9.1.2.3. Surface d'un losange connaissant la longueur des diagonales................109 9.1.2.4. Surface d'un trapèze connaissant les 2 bases et la hauteur ....................110 9.1.3. Les autres figures planes ..............................................................................110 9.1.3.1. Surface d'un pentagone régulier connaissant la longueur des côtés .......111 9.1.3.2. Surface d'un hexagone régulier connaissant la longueur des côtés.........111 9.1.3.3. Le cercle...................................................................................................111 9.1.3.4. Arc de cercle ............................................................................................112 9.1.3.5. La couronne .............................................................................................113 9.1.4. Figures diverses ............................................................................................113 9.1.4.1. Parabole, ellipse et hélice ........................................................................113 9.1.4.2. Sphère, calotte sphérique et paraboloïde ................................................115 9.2. LES VOLUMES.....................................................................................................117 9.2.1. Le cube..........................................................................................................117 9.2.1.1. Volume d'un cube connaissant la longueur de l'arête ..............................117 9.2.1.2. Diagonale d'un cube.................................................................................118 9.2.2. Volume d'un parallélépipède .........................................................................118 9.2.3. Le cylindre.....................................................................................................118 Exploration & Production Rappel de Théorie Mathématiques Support de Formation EXP-PR-RT010-FR Dernière Révision: 11/04/2007 Page 5 de 134 9.2.3.1. Volume d'un cylindre................................................................................118 9.3. EXERCICE............................................................................................................119 10. GLOSSAIRE..............................................................................................................120 11. SOMMAIRE DES FIGURES......................................................................................121 12. CORRIGE DES EXERCICES ....................................................................................122 Exploration & Production Rappel de Théorie Mathématiques Support de Formation EXP-PR-RT010-FR Dernière Révision: 11/04/2007 Page 6 de 134 1. OBJECTIFS Ce cours n’a pas vocation à apprendre les mathématiques, mais à faire un rappel des éléments de base nécessaires pour faire des calculs simples. Il s’agira donc de faire une revue rapide des sujets et de se concentrer sur la réalisation d’un maximum d’exercices. Un opérateur, néanmoins, se doit d’avoir un niveau mathématique suffisant lui permettant d’évoluer dans ses tâches journalières sans avoir de problème de « calcul ». Il doit donc en conséquence être capable de : Différencier les différentes catégories de « Nombres » Interpréter les représentations graphiques de ces mêmes nombres Effectuer les opérations de base ‘+’, ‘-‘, ‘/’, ‘*’ Placer à bon escient les différentes « parenthèses » Manipuler les pourcentages et les fractions Déterminer, calculer une moyenne Établir une statistique, un bilan d’après une compilation de résultats Utiliser dans les calculs les logarithmes décimal et népérien Interpréter les différentes courbes « classiques », exponentielles, logarithmiques, paraboliques, etc… Résoudre une équation du premier degré Dessiner une fonction dans un système à coordonnées cartésiennes Nommer les principales formules relatives à la trigonométrie Appliquer ces mêmes formules pour calculer les valeurs des angles et cotés d’un triangle Déterminer les surfaces des différentes figures planes polygonales Calculer les volumes et surfaces des principaux parallélépipèdes tels que cube, sphère, cylindre, etc… Déterminer et calculer des portions de surfaces et volumes Exploration & Production Rappel de Théorie Mathématiques Support de Formation EXP-PR-RT010-FR Dernière Révision: 11/04/2007 Page 7 de 134 2. LES NOMBRES 2.1. LES NOMBRES ENTIERS On écrit les nombres à l'aide des dix chiffres : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Exemples : Le nombre 4 s'écrit avec le chiffre 4. Le nombre 421 s'écrit avec les chiffres 1, 2, et 4 Afin de faciliter la lecture des grands nombres entiers, on peut grouper les chiffres par 3 en partant de la fin. Exemple : 31 415 926 2.2. LES NOMBRES DÉCIMAUX L'écriture décimale d'un nombre décimal se compose d'une partie entière et d'une partie décimale séparées par une virgule (",") qui est le séparateur décimal. Un nombre décimal reste inchangé si on ajoute ou si on retire des 0 avant la partie entière, des 0 après la partie décimale. Exemples : 7 = 007 1,2000 = 1,20 = 1,2 0841,065 = 841,0650 Un nombre entier est un nombre décimal dont la partie décimale est nulle (par exemple 12 peut aussi s'écrire 12,00000). Exploration & Production Rappel de Théorie Mathématiques Support de Formation EXP-PR-RT010-FR Dernière Révision: 11/04/2007 Page 8 de 134 2.3. LES NOMBRES RÉELS L’ensemble des nombres réels est l’ensemble de tous les nombres que nous utilisons. Par exemple (-25,3478, -1,0, 3,748, 1584679), ces nombres peuvent avoir une représentation symbolique particulière (3 , 5 7π ……) Les nombres entiers naturels sont constitués d’une partie des nombres réel (0,1,2,3….) Les nombres entiers relatifs sont constitués d’une autres partie des nombres réels (…-2,- 1,0,1,2,.) Les nombres décimaux sont ceux dont l’écriture comporte une virgule suivie d’un nombre fini de chiffres (-4,457 - 127,4897). Note : pour faciliter les calculs, très souvent les nombres sont représentés par des lettre a, b, c, … ou des symboles Ω, µ,σ, π Exemples : 1,24578898 + 12548,24586 peut s’écrire a + b si on défini : a = 1,24578898 et b = 12548,24586 On écrit souvent π au lieu d’écrire 3,141592653589… Remarque sur le système décimal : Chaque chiffre constituant un nombre appartient à un groupe différent, chacun étant un multiple de 10. Unité (100) – dizaine (101) – centaine (102) – million (106) – centième (10-2) ….. 1258,44= 1*103 + 2*102 + 5*101 + 8*100 + 4*10-1 + 4*10-2 2.4. REPRÉSENTATION SCIENTIFIQUE D’UN NOMBRE RÉEL C’est une représentation sous la forme a*10p ou a est un nombre décimal et p un nombre entier relatif -4,457 = - 4,457*100 = - 44,57*10-1 = - 445,7*10-2 = - 4457*10-3 1274897 = 1274897*100 = 127489,7*101 = 12748,97*102 ……=1,274897*106. Exploration & Production Rappel de Théorie Mathématiques Support de Formation EXP-PR-RT010-FR Dernière Révision: 11/04/2007 Page uploads/Management/ mathematique 1 .pdf