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Mathématiques appliquées à l'Économie et à la Gestion Mr Makrem Ben Jeddou Mme

Mathématiques appliquées à l'Économie et à la Gestion Mr Makrem Ben Jeddou Mme Hababou Hella Université Virtuelle de Tunis 2008 Continuité et dérivation1 1- La continuité Théorème : On considère un intervalle I de IR. Si f et g sont continues sur I ( en tout point de I) alors f+g , f.g , lg et sont continues sur I (g(x) 0). Conséquence : Les fonctions constantes, affines, polynômes, rationnelles sont continues sur leur domaine de définition. 2- La dérivation Dérivées de fonctions usuelles : Opérations sur les fonction dérivables : Théorème : Si f et g sont dérivables sur I ( I IR) alors f + g, f , f.g(g 0), et fn sont dérivables et on a : Sens de variation d’une fonction : Résolution d'une équation du second degré Une équation du second degré a la forme suivante : Le discriminant noté est défini par Si < 0 alors l‘équation n‘admet pas de solutions réelles Si = 0 l‘équation admet une solution double < 0 alors l‘équation n‘admet pas de solutions réelles Si > 0 alors l‘équation admet deux solutions. La somme des deux racines (ou solutions) : c Le produit des deux racines (ou solutions) : Fonction logarithme et exponentielle 1- Introduction Pour étudier une fonction numérique et tracer son graphe on doit :  Rechercher son domaine de définition : La fonction doit dans son sens mathématique, être définie et continue. En outre, des conditions économiques (variables positives…) sont souvent à prendre en considération  Calculer ses limites aux bords du domaine  Rechercher ses branches infinies et ses asymptotes  Calcul sa dérivée f‘ et étudier son signe  En déduire le tableau de variation  Pour plus de précisions on peut déterminer quelques points particuliers de son graphe Cf par exemple l‘intersection de Cf avec l‘axe des abscisses et l‘axe des ordonnées. L‘étude peut être simplifiée si la fonction f est paire ou impaire. 2- Fonction logarithme népérien a- Définition La fonction est continue pour , elle admet donc sur cet intervalle des primitives, qui se déduisent de l‘une d‘elles par addition d‘une constante. On va considérer celle qui est nulle au point x =1. On appelle logarithme népérien la fonction définie sur par : Cela est équivalent à : Le logarithme népérien est souvent noté In(x) b- Propriétés  Il existe un unique réel positive e tel que log e = 1 ( e = 2,718282)  La dérivée de la fonction étant toujours positive, la fonction logarithme est donc strictement croissante sur .  Log x = log y <=> x = y  Log x > log y <=> x > y  Log x > 0 => x>1  Log x < 0 => 0 < x < 1 x et y étant deux réels strictement positifs on a alors : c- Limites et dérivées d- Etude de la fonction logarithme D‘où la fonction admet au voisinage de une branche parabolique de direction l‘axe des abscisses. 3- Fonction exponentielle de base e La fonction exponentielle de base e définit sur IR : e étant positif (e= 2,718282), la fonction f sera ainsi définie positive e étant l‘unique réel positif tel que a- Propriétés b- Limites de ex c- Etude de la fonction f(x) = ex La fonction admet au voisinage de une branche parabolique de direction l‘axe des ordonnées. Remarques : On retient que dans le calcul des limites et en présence d‘une forme indéterminée, on s‘intéresse à la limite de l‘exponentielle qui l‘emporte sur la puissance, l‘emportant à son tour sur le logarithme. Exercices : Voir le site Matrices et déterminants 1.1. Définitions 1.1.1. Définitions Une matrice A d‘ordre (n,p) est un tableau de n x p nombre aij rangés sur n lignes et p colonnes. Les nombres aij sont les termes de la matrice A. Le premier indice i indique le numéro de la ligne et le second indice j indique le numéro de la colonne. Le terme aij est donc l‘intersection de la ième ligne et de la jème colonne. On note la matrice A : A = (aij) n.p Exemple : A est une matrice à 4 lignes et 3 colonnes (4,3). 1.1.2. Matrices particulières B = (1 2 0 -1) est une matrice à une ligne et 4 colonnes (1,4), on dit que B est une matrice ligne d‘ordre 4. Plus généralement les matrices d‘ordre (1,p) sont dites matrices ligne d‘ordre p.  est une matrice à 3 lignes et une colonne (3,1), on dit que C est une matrice colonne d‘ordre 3. Plus généralement les matrices d‘ordre (n,1) sont dites matrices colonnes d‘ordre n.  est une matrice à 3 lignes et 3 colonnes, on dit que D est une matrice carrée d‘ordre 3. Plus généralement les matrices d‘ordre (n,n) sont dites matrices carrées d‘ordre n.  est une matrice identité d‘ordre 3 notée I3 .  est une matrice nulle tous ses termes sont égaux à zéro. Remarque : Deux matrices sont égales si et seulement si les termes correspondants sont identiques, c‘est à dire qu‘elles sont formées des mêmes éléments placés aux même endroits. 1.1.3. Transposée d’une matrice Soit la matrice A=(aij)n,p. On appelle matrice transposée de A notée tA la matrice obtenue en échangeant lignes et colonnes dans la matrice A : tA = (aji)p,n Exemple : Application : Calculez les transposées des matrices suivantes : Solution : Voir le site Remarque : Matrice symétrique : tA = A Matrice antisymétrique : tA = -A 1.2. Addition matricielle 1.2.1. Définition Soit A = (aij) et B = (bij) deux matrice de même ordre (n,p). La matrice A + B est la matrice d‘ordre (n,p) obtenue en additionnant terme à terme les éléments de A et B. d‘où : Exemple : 1.2.2. Propriétés Soient A, B et C trois matrices ayant le même nombre de lignes et de colonnes : Commutativité : A+B=B+A  Associativité : A+(B+C)=(A+B)+C  Existence d‘un élément neutre : A + (0) = A  Existence d‘une symétrie : A + (-A)=0 D‘une manière générale si A = (aij) est une matrice à n lignes et p colonnes, sa symétrique par rapport à l'addition est la matrice (-A) de terme général A = (-aij) A+ (-A)= (aij - aij ) = (0) (-A ) est la matrice symétrique de A. Application : Soient les matrices : Calculez les matrices (A+B), (B+A), (B+C), (C+A) Solution Voir le site 1.3. Multiplication par un nombre Exemple : k =2 Propriétés : Soient deux matrices A et B et deux réels k et l : (k+l) A = kA + lA k (A+B) = kA + kB k (l.A) = (kl) A Application : Soient les matrices suivantes : Calculez : 2A-4B ; 3A+2C ; 2A-2B+3C Solution : Voir le site 1.4. Multiplication des matrices 1.4.1. Définition Soit A = (aij) une matrice d‘ordre (n,p) et B = (bij) une matrice d‘ordre (p,q). La matrice AB est une matrice d‘ordre (n,q) dont le terme général Cij est obtenu en multipliant les éléments de la ième ligne de A par les éléments de la jème colonne de B et en additionnant les produits obtenus : Ainsi pour effectuer le produit AB il faut que le nombre de colonnes de la matrice A soit égal au nombre de lignes de la matrice B : Exemple : Calculez les produits : A.B et B.A On remarque que la multiplication des matrices n‘est pas commutative, car en général on a : Application : Calculez A.B dans chacun des cas suivants : Solution : Voir le site 1.4.2. Puissances successives d’une matrice Par analogie avec les nombre réels, on pose : L‘égalité (A+B)2 = A2 + 2AB + B2 ne se produira que dans le cas où AB=BA. De même : Les formules usuelles ne s‘appliquent pas aux matrices sauf dans le cas particulier où A et B commutent Applications : Solution 1.5. Les matrices carrées 1.5.1. Matrices carrées particulières Soit A=(aij) une matrice carrée d‘ordre n, la suite (a11,a22,......,ann) forme la diagonale principale de A.  A1 est une matrice triangulaire supérieure. Tous les termes en-dessous de la diagonale principale sont nuls.  A2 est une matrice triangulaire inférieure. Tous les termes au-dessus de la diagonale principale sont nuls.  A3 est une matrice diagonale. Tous les termes sont nuls, à l‘exception de ceux de la diagonale principale. 1.5.2. Propriétés de la multiplication des matrices carrées Soient 3 matrices carrées A, B et C d‘ordre n :  Associativité : A (BC) = (AB) C  Distributivité : A(B+C) = AB + AC  Elément neutre : Il existe une matrice I telle que : AI=IA=A La matrice I est la matrice diagonale dont les termes de la diagonale principale sont tous égaux à 1 c‘est la matrice identité.  Non commutativité : Le produit AB est généralement différent du produit B.A 1.5.3. Inverse d’une matrice carrée On appelle inverse d‘une matrice A carré d‘ordre n, une matrice B telle que : AB = BA uploads/Management/ mathematique-appliquee-pdf.pdf