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288 MODELISATION STOCHASTIQUE DES PROVISIONS TECHNIQUES EN ASSURANCE NON-VIE KE

288 MODELISATION STOCHASTIQUE DES PROVISIONS TECHNIQUES EN ASSURANCE NON-VIE KERDALI Abida1 LATRECHE Abdelouahab2 Résumé : Nous présentons dans ce travail quelques méthodes et modèles de réservation récursives pour le calcul stochastique des provisions techniques d’une compagnie d’assurance. Pour cela, nous avons considéré plusieurs types de modèles pour l’estimation des valeurs du triangle de développement ; nous nous sommes inspirés d’une modélisation autorégressive d’ordre 1, 2, 3 selon le modèle choisi. Dans une première étape, nous avons proposé une méthode directe, c’est-à-dire que le calcul n’est pas récursif, pour déterminer un estimateur des paramètres du modèle. Ensuite, dans une seconde étape, nous l’avons amélioré pour lui permettre de calculer récursivement les paramètres du modèle proposé évitant ainsi l’inversion d’une matrice de grande taille, seulement il faut prendre quelques précautions pour que ce nouvel estimateur ne s’éloigne pas trop de la vraie valeur des paramètres à estimer puisque les méthodes récurrentes sont très sensibles aux valeurs initiales. Pour terminer, nous avons comparé les résultats obtenus avec celles des modèles classiques de provisionnement. Mots clés : modélisation stochastiques, provisions techniques, modèle de réservation, assurance non-vie, estimation récursive. 1. Introduction Une assurance est généralement décrite comme un service fournissant une prestation à la survenance d’un sinistre. La prestation, généralement de nature financière est destinée à des assurés de différentes catégories juridiques : il peut s’agir d’une entreprise, d’une association ou d’un particulier. Toutefois en échange de cette « protection » chaque assuré s’engage à verser auprès de l’assureur une cotisation ou une prime qui lui permettra son approvisionnement. En assurance, le cycle de production est dit inversé, cette inversion du cycle rend impossible ; la détermination exacte de la richesse d’une société d’assurance à un instant donné puisqu’elle ne connait pas avec exactitude ses engagements. Les assureurs ayant pris l’engagement d’indemniser tous les sinistres survenus pendant la période de couverture, il convient de constituer des provisions pour indemniser les victimes d’un sinistre même si celui-ci n’est déclaré, puis clôturé que des années plus tard. Pour calculer la charge ultime, la méthode la plus utilisée est la méthode de Chaine-Ladder, ce modèle permet de calculer une cadence de développement moyenne à partir des données historiques. Un très grand nombre de modélisations sont proposées dans la littérature pour déterminer le montant de provisions ; ces 289 méthodes se divisent en deux catégories. (a) les méthodes déterministes et les méthodes stochastiques : La première classe ne fait aucune hypothèse probabiliste permettant de mesurer l’incertitude associée à la prédiction du montant de la réserve, elles reposent sur l’hypothèse de stabilité du délai s’écoulant entre la survenance d’un sinistre et le règlement en absence de l’inflation, de changement de structure portefeuille des garanties de contrat et plus généralement la gestion des sinistres. Parmi ces méthodes on trouve : Méthode chaine-Ladder, Méthode de London-Chain, Méthode de De Vylder, Méthode de Bornuhetter-Ferguson, etc. (b) la seconde classe a été introduite justement afin d’obtenir une estimation de cette erreur de prévision. Le recours aux modèles stochastiques est justifié par le besoin de mesurer l’incertitude présentée dans les triangles et les résultats issus des méthodes déterministes. Ces méthodes ont toutes été développées dans le but de palier à un problème spécifique (manque de données, historique insuffisant, développement long, environnement incertain, etc. ; parmi ces méthodes on trouve : Modèles de Mack, Méthode de Boostrap, Modèle linéaire de Christophide, etc. Toutes ces méthodes classiques ont chacune leurs avantages et inconvénients. Nous considérons dans ce travail un certain nombre de méthodes et modèles de réservation récursives pour le calcul stochastique des provisions techniques. Les algorithmes récurrents ont occupé une place considérable due au développement du traitement numérique et à l'augmentation constante de la puissance des calculateurs permettant ainsi l'implémentation en temps réel d'algorithmes de plus en plus sophistiqués. L'intérêt de la forme récursive des algorithmes récursifs est dû à la possibilité du traitement en ligne des donnés en temps réel grâce à une mémorisation finie dans un vecteur de taille fixé. En effet l'estimation courante est remise à jour de manière à ce que le nombre d'opérations et l'espace mémoire ne croient pas avec le nombre d'observations et ne dépendent que du modèle choisi Pour bien comprendre quels sont les effets du modèle de réservation récursive, il est très intéressant de comparer les résultats obtenus avec les modèles classiques de provisionnement et pour cela nous avons considéré plusieurs types de modèles possibles pour l’estimation des valeurs du triangle de développement ; nous nous sommes inspirés d’une modélisation autorégressive d’ordre 1, 2, 3 selon le modèle choisi, nous proposons au début une méthode permettant de déterminer un estimateur des paramètres du modèle proposé d’une manière directe, c’est-à-dire que le calcul n’est pas récursif, hors l’inconvénient de cette méthode est qu’elle nécessite l’inversion d’une matrice de grande taille ce qui est très couteux en temps de traitement du programme si le nombre de paramètre à estimer est grand, pour résoudre ce problème, nous avons proposé une seconde méthode qui améliore beaucoup la première permettant de calculer récursivement les paramètres du modèle proposé évitant l’inversion d’une matrice de grande taille, seulement il faut prendre quelques précautions pour que cet estimateur ne s’éloigne pas trop de la vraie valeur des paramètres à estimer puisque les méthodes récurrentes sont très sensibles aux valeurs initiales. 290 Ce papier qui débute par une introduction des modèles considérés, nous présentons dans la section 2, les différentes méthodes d’estimation récursive des paramètres des modèles proposés. Les sections 3,4 sont consacrées respectivement aux choix des valeurs initiales et aux facteurs d’oubli. La section 5 est réservée aux expérimentations numériques et des comparaisons des résultats de chaque modèle avec les modèles classiques déterministes et stochastiques. Une conclusion termine ce travail. 2. Modèles proposés Nous supposons dans cette modélisation que la valeur du triangle de développement j i D , (prestation, des sinistres de l’année i, réalisée après j années) s’écrit comme une combinaison (linéaire, quadratique, etc.) des valeurs l k D , , i k  et j l  et ( i k  ou j l  ), voir la Figure 1, plus une certaine erreur considérée comme une variable aléatoire.      2 , 2   j i D 1 , 2   j i D j i D , 2   2 , 1   j i D 1 , 1   j i D j i D , 1   2 ,  j i D 1 ,  j i D j i D , Figure 1 : Les différentes valeurs possibles qui précèdent j i D , . Nous considérons plusieurs types de modèles possibles pour l’estimation des valeurs du triangle de développement, à savoir : - M100s : j i s j i s j i u D D , 1 , 1 0 ,       pour 1 ..., , 0   n i , i n j   ..., , 1 et ... , 3 , 2 , 1  s - M001s : j i s j i s j i u D D , , 1 1 0 ,       pour n i ..., , 1  , i n j   ..., , 0 et ... , 3 , 2 , 1  s - M010s : j i s j i s j i u D D , 1 , 1 1 0 ,        - M110s : j i s j i s j i s j i u D D D , 1 , 1 2 1 , 1 0 ,           - M011s : j i s j i s j i s j i u D D D , , 1 2 1 , 1 1 0 ,           - M101s : j i s j i s j i s j i u D D D , , 1 2 1 , 1 0 ,          291 - M111s : j i s j i s j i s j i s j i u D D D D , , 1 3 1 , 1 2 1 , 1 0 ,              pour 1 ..., , 1   n i , i n j   ..., , 1 et ... , 3 , 2 , 1  s - M200s : j i s j i s j i s j i u D D D , 2 , 2 1 , 1 0 ,          pour 1 ..., , 0   n i , i n j   ..., , 2 et ... , 3 , 2 , uploads/Management/ modelisation-stochastique-des-provisions-techniques-en-assurance-non-vie-kerdali-abida-latreche-abdelouahab.pdf