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École Polytechnique de Montréal Département de mathématiques et de génie indust

École Polytechnique de Montréal Département de mathématiques et de génie industriel MTH1101 – Calcul I Plan de cours – Automne 2010 Page 1 DÉPARTEMENT DE MATHÉMATIQUES ET DE GÉNIE INDUSTRIEL PLAN DE COURS MTH1101 – CALCUL I (2, 2, 2) Automne 2010 COORDINATION : Guy Jomphe, local A-520.36 (guy.jomphe@polymtl.ca) Guy Desaulniers, local A-520.15 (guy.desaulniers@gerad.ca) PROFESSEUR : Nom : Bureau : Disponibilité : Section : Horaire : Site Web : https://moodle.polymtl.ca DESCRIPTION DU COURS À L’ANNUAIRE Suites infinies et séries. Séries entières. Approximations de Taylor. Analyse de l’erreur d’approximation par un polynôme. Nombres complexes. Fonctions de plusieurs variables. Courbes et surfaces de niveau. Limite et continuité. Dérivées de fonctions de plusieurs variables. Différentielle. Recherche des extrema avec ou sans contraintes. Méthode du gradient en optimisation. Multiplicateurs de Lagrange. Note : Ce cours peut être crédité, sous certaines conditions, à des candidats provenant de cégeps ayant une entente avec l'École. BUT DU COURS Ce cours vise à :  Permettre un arrimage harmonieux entre la formation mathématique acquise au collégial et les exigences de l'École ;  faire comprendre l'importance, en regard des applications, de l'approximation de fonctions ;  présenter les concepts fondamentaux relatifs aux fonctions à valeurs réelles mais qui dépendent de plusieurs variables réelles, ainsi qu’à leurs dérivées ;  présenter les notions de base relatives à l’optimisation de fonctions soumises à aucune ou à des contraintes d’égalité ou d’inégalité ;  illustrer comment utiliser concrètement des outils de calculs afin de résoudre des problèmes non triviaux dans un contexte d’ingénierie. Au terme de ce cours, l'étudiant sera en mesure de :  obtenir l'approximation d'une fonction par une série et en évaluer la précision ;  manipuler algébriquement et représenter graphiquement les nombres complexes ;  reconnaître une situation menant à une représentation par une fonction de plusieurs variables et l'interpréter graphiquement ;  calculer et interpréter les dérivées partielles et directionnelles de fonctions de plusieurs variables ;  obtenir et classifier les extrema d'une fonction de plusieurs variables, en présence ou non de contraintes sur ces variables. PLACE DU COURS MTH1101 DANS LE CURRICULUM MTH1101 – Calcul I est un cours de première année sans préalables pour les étudiants détenteurs d’un DEC en Sciences de la nature. Dans certains cas, des étudiants doivent suivre le cours MTH0103; ce cours est alors préalable au cours MTH1101. D’autre part, MTH1101 est préalable à MTH1102. DOCUMENTATION • Stewart J., Analyse – Concepts et Contextes, Volume 2, De Boeck Université, Édition de 2001 ou de 2006 (version augmentée pour le cours qui comprend le chapitre 8: "Les suites et les séries" du volume I, disponible à la COOPOLY). • Notes complémentaires : Taylor multi-variables et Optimisation (disponibles sur le site web du cours). • Exercices des travaux pratiques. • Un exerciseur interactif est disponible sur le site du cours. • Introduction à MAPLE par Guy Jomphe (disponible sur le site web du cours). ÉVALUATION Nature du contrôle Catégorie Pondération Date Examen intra individuel 30 % Vendredi 8 octobre 8h30-10h20 a.m. Devoir 1 8 % À remettre avant lundi le 4 oct. 11h00 a.m. Devoir 2 individuel ou équipe de deux 12 % À remettre avant vendredi le 3 déc. 11h00 a.m. Examen final individuel 50 % À venir Les examens viseront à vérifier la maîtrise et la compréhension des concepts enseignés. Les questions demanderont donc plus de réflexion que de calculs. Aucune documentation et aucune calculatrice ne sont permises aux examens. L'examen intra portera sur les 10 premières heures des cours théoriques (à confirmer). L'examen final sera cumulatif et portera sur toute la matière. En cas d'absence motivée au contrôle périodique, la cote attribuée à ce dernier sera calculée à l’aide de la formule suivante : où toutes les notes sont en pourcentage, et où : moyenne de tous les étudiants à l’intra; : cote de l’étudiant à l’examen final; : moyenne de tous les étudiants à l’examen final; En cas d'absence motivée à l'examen final, il y aura examen différé. La motivation d'absence est accordée ou refusée par l'administration; toute demande à cet égard doit être acheminée au registrariat. Pour les devoirs, chaque équipe d'au plus deux étudiant(e)s remet un rapport et les membres de l'équipe reçoivent la même note. Les devoirs doivent être remis, avant 11h00 le jour de remise, dans les casiers désignés à cet effet près du secrétariat situé au A-520.2. Pour des raisons de sécurité, il est recommandé d'attendre le jour de remise pour déposer son travail. Les travaux remis en retard ne seront pas acceptés. On ne peut pas être dispensé de remettre un devoir. Les critères d'évaluation lors des corrections sont : la pertinence de la méthode employée; l'exactitude, le sens et la justification des arguments et solutions; la présentation claire des résultats. L'évaluation est critérielle : la note de passage D est déterminée par l'atteinte minimale des objectifs d'apprentissage et la note A par l'excellence dans la maîtrise de ces mêmes objectifs. Il peut apparaître une note A* pour reconnaître une maîtrise exceptionnelle. PROGRAMME DU COURS A) Cours théoriques La répartition de la matière couverte lors des 26 heures de cours est donnée, d'une façon approxi- mative, au tableau I ci-dessous. Les références se rapportent aux éléments du paragraphe DOCU- MENTATION. B) Travaux pratiques Le tableau I présente également un ensemble d'exercices suggérés, tirés du manuel. L'étudiant(e) qui aura solutionné chacun de ces exercices devrait bien réussir le cours. Chaque série d’exercices fera l'objet d'une séance de travaux pratiques (sujet à ajustement dépendant de la progression du cours et des horaires). À chacune de ces séances, des exercices, dont certains seront choisis parmi ceux suggérés au tableau I ou parmi ceux énoncés dans le document "Travaux dirigés" sur le site du cours, seront proposés et/ou résolus. CENTRE DE CONSULTATION EN MATHÉMATIQUES Le centre de consultation en mathématiques offre du tutorat en mathématiques pour la majorité des cours de mathématiques. Il est situé au B-504. C’est un excellent endroit pour obtenir de l’aide et travailler en groupe. Pour plus d’informations, consultez www.ccm.polymtl.ca. SERVICE DE TUTORAT Le service de tutorat de Polytechnique offre de l’aide aux étudiants de première année en difficulté. Ce service est fourni par des étudiants de Polytechnique sous la coordination du Service aux Étudiants. Pour plus d’informations, consultez http://step.polymtl.ca/tutorat. TABLEAU I : STRUCTURE DU COURS (Contenu et heures) Heure Matière EDITION 2 Exercices suggérés 1 Introduction  Présentation et motivation des concepts 2-3 4-5 6-7-8 9-10 Séries et approximations  Définition et propriétés des suites et des séries (sections : 8.1, 8.2, 8.3, 8.4)  Séries entières (sections : 8.5, 8.6)  Série de Taylor et erreur d’approximation (section 8.7) et Calcul du développement de Taylor et application (section 8.9)  Nombres complexes (annexe I) 8.1 : 3, 7, 11, 21, 24, 36, 39, 44 8.2 : 5, 9, 10, 17, 27, 32, 33, 35, 48 8.3 : 1, 2, 3, 7, 11, 15, 23, 25, 35 8.4 : 2, 3, 5, 13, 15, 21, 25, 29 8.5 : 3, 5, 11, 13, 17, 25, 26 8.6 : 1, 2, 5, 13, 19, 33 8.7 : 1, 2, 3, 5, 7, 9, 13, 15, 29, 35, 41, 45, 50 8.9 : 5, 11, 19, 23, 25 Annexe I : 3, 5, 7, 17, 21, 27, 31, 33, 37, 45, 47 11 12 13 Fonctions de plusieurs variables réelles  Représentation de fonctions  Courbes et surfaces de niveau  Limite et continuité 11.1 : 1, 5, 7, 9, 10, 12, 23, 25, 31, 37 11.2 : 3, 7, 13, 19, 23, 25, 31, 33, 34 14 15 16 17-18 19 20 Dérivées de fonctions de plusieurs variables  Dérivées partielles  Linéarité locale et différentielle  Dérivation en chaîne  Gradient et dérivée directionnelle  Approximations linéaire et quadratique  Analyse des erreurs d’approximation par le polynôme de Taylor (notes) 11.3 : 1, 3, 7, 8, 17, 34, 35, 46, 47, 53, 55, 61, 62, 65, 71, 75 11.4 : 1, 3, 7, 9, 13, 15, 17, 19, 21, 25, 27, 31 11.5 : 1, 3, 7, 9, 17, 29, 31, 33, 37, 43 11.6 : 1, 3, 4, 9, 14, 23, 27, 29, 31, 32, 37, 39, 41 Exercices dans les notes supplémentaires 21 22 23 24 25 26 Optimisation  Extrema locaux et globaux  Optimisation sans contraintes  Recherche linéaire et méthode du gradient (notes)  Optimisation sous contraintes  Multiplicateur de Lagrange (notes)  Interprétation des multiplicateurs et applications (notes) 11.7 : 1, 3, 5, 11, 17, 25, 31, 33, 36, 41, 43, 48, 49 Notes : 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5 11.8 : 1, 3, 7, 11, 15, 19, 23, 25, 28, 33, 35 Notes : 3.1, 3.2, 3.3, 3.4 CALENDRIER SEMAINE L Ma Me J V REMARQUES * 30 août – 3 sept. * Début des cours 6 sept. – 10 sept. 13 sept. – 17 sept. 20 sept. – 24 sept. 27 sept. – 1 oct. * ** 4 oct. – 8 oct. * Remise du devoir # 1 ** Intra 8h30-10h20 11 oct. uploads/Management/ mth1101-plan-cours-a10 1 .pdf