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Exercice corrige 22 Exercices du chapitre II avec corrig ?e succinct Exercice II Ch -Exercice Les applications f x x f x ?? x f x ?? x sont-elles des applications de IR dans IR Solution f oui f non f n ? est d ?e ?nie que sur IR f oui Exercice II Ch -Exer

Exercices du chapitre II avec corrig ?e succinct Exercice II Ch -Exercice Les applications f x x f x ?? x f x ?? x sont-elles des applications de IR dans IR Solution f oui f non f n ? est d ?e ?nie que sur IR f oui Exercice II Ch -Exercice ?? Soit la fonction f IR ? IR f x ? x Donner son domaine de d ?e ?nition D Puis consid ?erant f comme une application de D dans IR donner l ? image de cette application Solution D IR Im f IR le d ?emontrer par double inclusion sachant que si y ?? IR il peut s ? ?ecrire y y Exercice II Ch -Exercice Soit f IR ? IR d ?e ?nie par f x ?? x Cette application est-elle injective surjec- tive bijective Que faudrait-il modi ?er pour qu ? elle devienne bijective ?? ?? Solution Elle est injective car x x ?? x x Elle n ? est pas surjective car Im f IR et non pas IR donc elle n ? est pas bijective Elle serait bijective si on prenait f IR ? IR Exercice II Ch -Exercice Montrer en utilisant les r ?esultats du chapitre que la n ?egation de l ? implication ??x ?? E ??x ?? E f x f x ?? x x est ??x ?? E ??x ?? E x x et f x f x En d ?eduire qu ? une application n ? est pas injective si ??x ?? E ??x ?? E x x et f x f x Solution On sait que non P ?? Q s ? ?ecrit P et non Q d ? ou non ??x ?? E ??x ?? E f x f x ?? x x ?? ??x ?? E ??x ?? E f x f x et x x CExercice II Ch -Exercice En utilisant les r ?esultats du chapitre montrer que f x f x ?? x x ?? x x ?? f x f x En d ?eduire qu ? une application f E ? F est injective si et seulement si ??x ?? E ??x ?? E x x ?? f x f x Solution Il su ?t d ? appliquer P ?? Q ?? non Q ?? non P Exercice II Ch -Exercice Soit E IR ?? et soit f E ? IR x ? x x Trouver F Imf Montrer que f est bijective de E sur F M eme question avec D IR ? Solution Apr es calculs on montre que tout y admet un unique ant ?ec ?edent qui s ? ?ecrit ?? y x y ?? d ? ou y ??Imf ?? y et donc Imf IR Lorsque le domaine de d ?e ?nition de f est limit ?ea IR ? on a ?? y x ?? ?? y ?? y ?? Exercice II Ch -Exercice Soient E et F deux ensembles et soit f une application de E