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Ex sur les groupes version 15 1 2016

Exercices sur les groupes Soit G ? un groupe d ? élément neutre e On considère deux éléments x et y de G tels que l ? on ait ?? xy ??p ? e o? p est un entier naturel non nul Démontrer que l ? on a ?? yx ??p ? e Soit G ? un groupe d ? élément neutre e tel que pour tout élément x de G on ait x ? e Démontrer que G est abélien Soit G ? un groupe ?ni Soit H un sous- groupe de G tel que card H ? card G Le but de cet exercice est de démontrer que H ? G Soit g un élément de G On pose Hg ? ??hg h ? H ? Démontrer que h ?? hg induit une bijection de H sur Hg Démontrer que H ?? Hg ? Conclure Utilise le résultat de l ? exercice précédent ?? ? Soit G ? un groupe ?ni et f un homomorphisme de G dans G tel que card x ? G f ?? x ?? ? x ?? ? card G Démontrer que f ? f ? idG Indication On pourra considérer l ? ensemble H ? ??x ? G ?? f ? f ?? ?? x ?? ? x ? puis démontrer que H est un sous-groupe qui ?? ? contient x ? G f ?? x ?? ? x ?? Soit G ? un groupe ?ni Soit A et B deux parties de G telles que card A ? card B ? card G Le but de cet exercice est de démontrer que G ? AB c ? est-à-dire que ? x ? G ? ??a b ?? ? A ? B tel que x ab ?? ? a Soit x un élément de G On pose A ?? x ? a ?? x a ? A Démontrer que a ?? a ?? x induit une bijection de A sur A ?? x b Démontrer que l ? on a A ?? x ?? B ? Conclure Soit G ? un groupe Démontrer que Z ??G ?? ? ??a ? G ? b ? G a ?? b ? b ?? a ? est un sous-groupe commutatif de G Démontrer que pour tout élément ?? dans G et pour tout élément a de Z G on a ?? ?? ?? a ?? ?? ? G On dit que Z G est un sous-groupe distingué ou normal de G Groupe du rectangle Soit D et D' deux droites perpendiculaires du plan P On note O leur point d ? intersection Démontrer que l ? ensemble G ? ??idP SD SD' SO ? muni de la loi de composition des applications est un groupe Établir sa table Soit G ? un groupe On se propose de démontrer que si A est une partie ?nie non vide de G stable par la loi ? alors A est un sousgroupe de G Méthode a Soit a