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EXERCICES CORRIGÉS COLLECTION ENSEIGNEMENT SUP //// Mathématiques Jean-Baptiste

EXERCICES CORRIGÉS COLLECTION ENSEIGNEMENT SUP //// Mathématiques Jean-Baptiste Hiriart-Urruty L3M1 Optimisation et analyse convexe Optimisation et analyse convexe Extrait de la publication OPTIMISATION ET ANALYSE CONVEXE Exercices et problèmes corrigés, avec rappels de cours Jean-Baptiste Hiriart-Urruty Collection dirigée par Daniel Guin 17, avenue du Hoggar Parc d’activités de Courtabœuf, BP 112 91944 Les Ulis Cedex A, France Extrait de la publication Illustration de couverture : un corps convexe d’épaisseur presque constante et son ombre ; reproduit avec la gracieuse permission de Christof Weber (université de Zurich). Imprimé en France ISBN : 978-2-7598-0373-6 Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés réservés pour tous pays. Toute reproduction ou représentation intégrale ou partielle, par quelque procédé que ce soit, des pages publiées dans le présent ouvrage, faite sans l’autorisation de l’éditeur est illicite et constitue une contrefaçon. Seules sont autorisées, d’une part, les reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective, et d’autre part, les courtes citations justiﬁées par le caractère scientiﬁque ou d’information de l’œuvre dans laquelle elles sont incorporées (art. L. 122-4, L. 122-5 et L. 335-2 du Code de la propriété intellectuelle). Des photocopies payantes peuvent être réalisées avec l’accord de l’éditeur. S’adresser au : Centre français d’exploitation du droit de copie, 3, rue Hautefeuille, 75006 Paris. Tél. : 01 43 26 95 35. c ⃝2009, EDP Sciences, 17, avenue du Hoggar, BP 112, Parc d’activités de Courtabœuf, 91944 Les Ulis Cedex A Extrait de la publication TABLE DES MATIÈRES Introduction v Abréviations et notations ix I Révision de bases : calcul diﬀérentiel, algèbre linéaire et bilinéaire 1 I.1 Algèbre linéaire et bilinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 I.2 Calcul diﬀérentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 I.3 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 II Minimisation sans contraintes. Conditions de minimalité 41 II.1 Conditions de minimalité du premier ordre . . . . . . . . . . . 41 II.2 Conditions de minimalité du second ordre . . . . . . . . . . . . 42 III Minimisation avec contraintes. Conditions de minimalité 63 III.1 Conditions de minimalité du premier ordre . . . . . . . . . . . 63 III.2 Cône tangent, cône normal à un ensemble . . . . . . . . . . . . 65 III.3 Prise en compte de la convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 III.4 Conditions de minimalité du second ordre . . . . . . . . . . . . 66 IV Mini-maximisation. Dualisation de problèmes de minimisation convexe 127 IV.1 Points-selles (ou cols) ; problèmes de mini-maximisation . . . . 127 IV.2 Points-selles de lagrangiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 IV.3 Premiers pas dans la théorie de la dualité . . . . . . . . . . . . 129 Extrait de la publication Optimisation et analyse convexe V Polyèdres convexes fermés. Optimisation à données aﬃnes (Programmation linéaire) 165 V.1 Polyèdres convexes fermés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 V.2 Optimisation à données aﬃnes (Programmation linéaire) . . . 168 V.2.1 Déﬁnitions et notations . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 V.2.2 Résultats fondamentaux d’existence . . . . . . . . . . 170 V.3 La dualité en programmation linéaire . . . . . . . . . . . . . . 171 V.3.1 Formulations de problèmes duaux . . . . . . . . . . . . 171 V.3.2 Relations entre les valeurs optimales et les solutions de programmes linéaires en dualité . . . . . . . . . . . 172 V.3.3 Caractérisation simultanée des solutions du problème primal et du problème dual . . . . . . . . . . . . . . . 173 VI Ensembles et fonctions convexes. Projection sur un convexe fermé 217 VI.1 Ensembles convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 VI.1.1 Ensembles convexes associés à un convexe donné . . . 217 VI.1.2 Enveloppe convexe, enveloppe convexe fermée . . . . . 218 VI.1.3 Hyperplan d’appui, fonction d’appui . . . . . . . . . . 219 VI.1.4 Théorèmes de séparation par un hyperplan aﬃne . . . 219 VI.2 Projection sur un convexe fermé . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 VI.3 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220 VII Initiation au calcul sous-diﬀérentiel et de transformées de Legendre-Fenchel 271 VII.1 La transformation de Legendre-Fenchel . . . . . . . . . . . . . 271 VII.1.1 Déﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 VII.1.2 Quelques propriétés et règles de calcul . . . . . . . . . 272 VII.2 Le sous-diﬀérentiel d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . 273 VII.2.1 Déﬁnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 VII.2.2 Quelques propriétés et règles de calcul . . . . . . . . . 274 VII.3 La convexiﬁcation d’une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 Sources 323 Références générales 325 Notice historique 327 Index 331 iv INTRODUCTION « Good modern science implies good variational problems » M.S. Berger (1983) Le recueil d’exercices et problèmes corrigés que nous proposons ici concerne les domaines des Mathématiques répertoriées sous les vocables d’Optimisation et Analyse convexe. L’Optimisation est traitée dans ses aspects suivants : la clé de voûte que constituent les conditions d’optimalité (chapitres II et III) ; le rôle (incontournable) de la dualisation de problèmes (chapitre IV) ; le monde particu- lier (et toujours en haut de l’aﬃche depuis ses débuts) de l’Optimisation linéaire (chapitre V). L’Analyse convexe (moderne) n’est pas traitée en tant que telle mais par l’utilisation qu’on peut en avoir en Optimisation ; il s’agit en fait d’une initia- tion à la manipulation de concepts et de résultats concernant essentiellement : la projection sur un convexe fermé (au chapitre VI), le calcul sous-diﬀérentiel et de transformées de Legendre-Fenchel (chapitre VII). L’Analyse linéaire et bilinéaire (ou, plutôt, l’Analyse matricielle) ainsi que le Calcul diﬀérentiel interviennent de manière harmonieuse en Optimisation et Analyse convexe : un chapitre de revi- sion des bases leur est consacré (chapitre I). Près de 160 exercices et problèmes sont corrigés, parfois commentés et situés dans un contexte d’utilisation ou de développement historique, gradués dans leur diﬃculté par un, deux ou trois ∗: ∗Exercices plutôt faciles (applications immédiates d’un résultat du Cours, vériﬁcation d’un savoir-faire de base, etc.) ; ∗∗Exercices que le lecteur-étudiant doit pouvoir aborder après une bonne compréhension et assimilation du Cours. De diﬃculté moyenne, ce sont de loin les plus nombreux ; ∗∗∗Exercices plus diﬃciles, soit à cause de certains calculs à mener à bien, soit simplement en raison d’un degré de maturité plus grand que leur résolution requiert. Comme tous les exercices de mathématiques, ceux présentés ici ne seront pro- ﬁtables au lecteur-étudiant que si celui-ci les travaille, un crayon à la main, sans Optimisation et analyse convexe regarder la correction dans un premier temps. Qu’il garde à l’esprit ce proverbe chinois : « J’entends et j’oublie, (cours oral) je vois et je retiens, (étude du cours) je fais et je comprends » . (exercices) Le cadre de travail choisi est volontairement simple (celui des espaces de di- mension ﬁnie), et nous avons voulu insister sur les idées et mécanismes de base davantage que sur les généralisations possibles ou les techniques particulières à tel ou tel contexte. Les problèmes dits variationnels requièrent dans leur traitement une intervention plus grande de la Topologie et de l’Analyse fonctionnelle, à com- mencer par le cadre – fondamental – des espaces de Hilbert ; ils seront abordés dans un prochain recueil. Les connaissances mathématiques pour tirer proﬁt des exercices et problèmes du uploads/Management/ optimisation-et-analyse-c-pdf.pdf