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Classes préparatoires MPSI et MP2I Programme de mathématiques Table des matière

Classes préparatoires MPSI et MP2I Programme de mathématiques Table des matières © Ministère de l’Enseignement supérieur, de la Recherche et de l’Innovation, 2021 http://www.enseignementsup-recherche.gouv.fr Mathématiques MPSI, MP2I 1/?? Préambule Les programmes de mathématiques des classes préparatoires scientiﬁques MPSI, PCSI, PTSI, MP2I, MP , PC, PSI, PT, MPI sont conçus comme un socle cohérent et ambitieux de connaissances et de capacités, avec l’objectif de préparer les étudiantes et étudiants à poursuivre avec succès dans les écoles et les universités un cursus de formation aux métiers de l’ingénierie, de l’enseignement, de la recherche. Objectifs de formation En classe préparatoire scientiﬁque, les mathématiques constituent conjointement une discipline scientiﬁque à part en- tière, développant des concepts, des résultats, des méthodes et une démarche spéciﬁques, et une discipline fournissant des connaissances et des méthodes nécessaires aux autres disciplines scientiﬁques. La formation est conçue en fonction de quatre objectifs essentiels : – fournir un solide bagage de connaissances, de concepts et de méthodes; – exploiter toute la richesse de la démarche mathématique : analyser un problème, expérimenter sur des exemples, formuler une conjecture, élaborer et mettre en œuvre des concepts et des résultats théoriques, rédiger une solution rigoureuse, contrôler les résultats obtenus et évaluer la pertinence des concepts et des résultats au regard du problème posé; – développer l’intuition, l’imagination, le raisonnement et la rigueur; – promouvoir la réﬂexion personnelle des étudiantes et étudiants sur les problèmes et les phénomènes mathéma- tiques, sur la portée des concepts, des hypothèses, des résultats et des méthodes, au moyen d’exemples et de contre-exemples; développer ainsi une attitude de questionnement et de recherche. En continuité avec les programmes de mathématiques du lycée, les programmes des classes préparatoires scientiﬁques déﬁnissent un corpus de connaissances et de capacités et explicitent six grandes compétences mathématiques : – chercher, mettre en œuvre des stratégies : découvrir une problématique, l’analyser, la transformer ou la simpliﬁer, expérimenter sur des exemples, formuler des hypothèses, identiﬁer des particularités ou des analogies; – modéliser : extraire un problème de son contexte pour le traduire en langage mathématique, comparer un modèle à la réalité, le valider, le critiquer; – représenter : choisir le cadre (numérique, algébrique, géométrique ...) le mieux adapté pour traiter un problème ou représenter un objet mathématique, passer d’un mode de représentation à un autre, changer de registre; – raisonner, argumenter : effectuer des inférences inductives et déductives, conduire une démonstration, conﬁrmer ou inﬁrmer une conjecture; – calculer, utiliser le langage symbolique : manipuler des expressions contenant des symboles, organiser les différentes étapes d’un calcul complexe, effectuer un calcul automatisable à la main où à l’aide d’un instrument (calculatrice, logiciel...), contrôler les résultats; – communiquer à l’écrit et à l’oral : comprendre les énoncés mathématiques écrits par d’autres, rédiger une solution rigoureuse, présenter et défendre un travail mathématique. Description et prise en compte des compétences Chercher Cette compétence vise à développer les attitudes de questionnement et de recherche, au travers de réelles activités mathématiques, prenant place au sein ou en dehors de la classe. Les différents temps d’enseignement (cours, travaux dirigés, heures d’interrogation, TIPE) doivent privilégier la découverte et l’exploitation de problématiques, la réﬂexion sur les démarches suivies, les hypothèses formulées et les méthodes de résolution. Le professeur ne saurait limiter son enseignement à un cours dogmatique : aﬁn de développer les capacités d’autonomie des étudiants, il doit les amener à se poser eux-mêmes des questions, à prendre en compte une problématique mathématique, à utiliser des outils logiciels, et à s’appuyer sur la recherche et l’exploitation, individuelle ou en équipe, de documents. Les travaux proposés aux étudiants en dehors des temps d’enseignement doivent combiner la résolution d’exercices d’entraînement relevant de techniques bien répertoriées et l’étude de questions plus complexes. Posées sous forme de problèmes ouverts, elles alimentent un travail de recherche individuel ou collectif, nécessitant la mobilisation d’un large éventail de connaissances et de capacités. Modéliser Le programme présente des notions, méthodes et outils mathématiques permettant de modéliser l’état et l’évolution de systèmes déterministes ou aléatoires issus de la rencontre du réel et du contexte, et éventuellement du traitement qui en a été fait par la mécanique, la physique, la chimie, les sciences de l’ingénieur. Ces interprétations viennent en retour éclairer les concepts fondamentaux de l’analyse, de l’algèbre linéaire, de la géométrie ou des probabilités. La modélisation contribue ainsi de façon essentielle à l’unité de la formation scientiﬁque et valide les approches interdisciplinaires. À cet effet, il importe de promouvoir l’étude de questions mettant en œuvre des interactions © Ministère de l’Enseignement supérieur, de la Recherche et de l’Innovation, 2021 http://www.enseignementsup-recherche.gouv.fr Mathématiques MPSI, MP2I 2/?? entre les différents champs de connaissance scientiﬁque (mathématiques et physique, mathématiques et chimie, mathématiques et sciences industrielles, mathématiques et informatique). Représenter Un objet mathématique se prête en général à des représentations issues de différents cadres ou registres : algébrique, géométrique, graphique, numérique. Élaborer une représentation, changer de cadre, traduire des informations dans plusieurs registres sont des composantes de cette compétence. Ainsi, en analyse, le concept de fonction s’appréhende à travers diverses représentations (graphique, numérique, formelle); en algèbre, un problème linéaire se prête à des représentations de nature géométrique, matricielle ou algébrique; un problème de probabilités peut recourir à un arbre, un tableau, des ensembles. Le recours régulier à des ﬁgures ou à des croquis permet de développer une vision géométrique des objets abstraits et favorise de fructueux transferts d’intuition. Raisonner, argumenter La pratique du raisonnement est au cœur de l’activité mathématique. Basé sur l’élaboration de liens déductifs ou inductifs entre différents éléments, le raisonnement mathématique permet de produire une démonstration, qui en est la forme aboutie et communicable. La présentation d’une démonstration par le professeur (ou dans un document) permet aux étudiants de suivre et d’évaluer l’enchaînement des arguments qui la composent; la pratique de la démonstration leur apprend à créer et à exprimer eux-mêmes de tels arguments. L’intérêt de la construction d’un objet mathématique ou de la démonstration d’un théorème repose sur ce qu’elles apportent à la compréhension-même de l’objet ou du théorème : préciser une perception intuitive, analyser la portée des hypothèses, éclairer une situation, exploiter et réinvestir des concepts et des résultats théoriques. Calculer, manipuler des symboles, maîtriser le formalisme mathématique Le calcul et la manipulation des symboles sont omniprésents dans les pratiques mathématiques. Ils en sont des composantes essentielles, inséparables des raisonnements qui les guident ou qu’en sens inverse ils outillent. Mener efﬁcacement un calcul simple fait partie des compétences attendues des étudiants. En revanche, les situations dont la gestion manuelle ne relèverait que de la technicité seront traitées à l’aide d’outils de calcul formel ou numérique. La maîtrise des méthodes de calcul ﬁgurant au programme nécessite aussi la connaissance de leur cadre d’application, l’anticipation et le contrôle des résultats qu’elles permettent d’obtenir. Communiquer à l’écrit et à l’oral La phase de mise au point d’un raisonnement et de rédaction d’une solution permet de développer les capacités d’expression. La qualité de la rédaction et de la présentation, la clarté et la précision des raisonnements, constituent des objectifs très importants. La qualité de structuration des échanges entre le professeur et sa classe, entre le professeur et chacun de ses étudiants, entre les étudiants eux-mêmes, doit également contribuer à développer des capacités de communication (écoute et expression orale) à travers la formulation d’une question, d’une réponse, d’une idée, d’hypothèses, l’argumentation de solutions ou l’exposé de démonstrations. Les travaux individuels ou en petits groupes proposés aux étudiants en dehors du temps d’enseignement, au lycée ou à la maison, (interrogations orales, devoirs libres, comptes rendus de travaux dirigés ou d’interrogations orales) contribuent fortement à développer cette compétence. La communication utilise des moyens diversiﬁés : les étudiants doivent être capables de présenter un travail clair et soigné, à l’écrit ou à l’oral, au tableau ou à l’aide d’un dispositif de projection. L’intégration des compétences à la formation des étudiants permet à chacun d’eux de gérer ses propres apprentissages de manière responsable en repérant ses points forts et ses points faibles, et en suivant leur évolution. Les compétences se recouvrent largement et il importe de les considérer globalement : leur acquisition doit se faire dans le cadre de situations sufﬁsamment riches pour nécessiter la mobilisation de plusieurs d’entre elles. Unité de la formation scientiﬁque Il est important de mettre en valeur l’interaction entre les différentes parties du programme, tant au niveau du cours que des thèmes des travaux proposés aux étudiants. À titre d’exemples, la géométrie apparaît à la fois comme un terrain propice à l’introduction de l’algèbre linéaire, mais aussi comme un champ d’utilisation des concepts développés dans ce domaine du programme; les probabilités utilisent le vocabulaire ensembliste et illustrent certains résultats d’analyse. La coopération des enseignants d’une même classe ou d’une même discipline et, plus largement, celle de l’ensemble des enseignants d’un cursus donné, doit contribuer de façon efﬁcace et cohérente à la qualité de ces interactions. Il importe aussi que le contenu culturel et historique des mathématiques ne soit pas sacriﬁé au proﬁt de la seule technicité. En particulier, il peut s’avérer pertinent d’analyser l’interaction entre un contexte historique et social uploads/Management/ programme-mpsi.pdf