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Fiabilité et Maintenance Industrielle QUA192 Semaine 2 (Cours 3 & 4) Estimation

Fiabilité et Maintenance Industrielle QUA192 Semaine 2 (Cours 3 & 4) Estimation de la fiabilité Département de Génie Mécanique Roger SERRA Rappel Semaine 1: Comportement du matériel en service (Cours 1 & 2) • Mise en contexte • Définitions (FMDS) • Objectifs de l’étude de la fiabilité • Fonctions de défaillance et de fiabilité • Taux de défaillance (λ) et sa détermination • Courbe en baignoire • Temps moyen de bon fonctionnement (MUT, MTBF) 2 ETE2013 – QUA192 par Prof. R. SERRA Semaine 2: Estimation de la fiabilité des équipements (Cours 3 & 4) • La loi exponentielle • Estimation du taux de défaillance et de la durée de vie des équipements • Observation en exploitation Données complètes Données incomplètes Tronquées en temps Tronquées en défaillances Taux de défaillance maximum Composants réparables Observées par intervalles de temps Modèle de défaillance nulle • Applications de la loi de Weibull 3 ETE2013 – QUA192 par Prof. R. SERRA Objectifs Estimer la fiabilité à partir de différents modèles mathématiques de la distribution de vie. 4 ETE2013 – QUA192 par Prof. R. SERRA Loi exponentielle • Une des lois les plus utilisées en fiabilité (période de maturité) • Elle s’applique à tous les appareils convenablement mis au point (après le rodage et avant l ’usure) • Elle est défini par un seul paramètre: λ le taux de défaillance (constant). • Sa moyenne représentera très souvent le temps de bon fonctionnement (MTBF) ou l ’inverse du taux de défaillances. • Elle correspond à un dispositif possédant un grand nombre de composants et de modes de défaillances. ETE2013 – QUA192 par Prof. R. SERRA 5 Loi exponentielle Loi de fiabilité exponentielle R(t) C’est l’aptitude d’un dispositif à accomplir une fonction requise, dans des conditions données, pendant une durée donnée entre un instant 0 et un instant t : car le taux de défaillance λ est constant. ( ) 0 ( ) t dt R t e e t t λ λ − = = − ∫ ETE2013 – QUA192 par Prof. R. SERRA 6 Exemple 2.1(Exemple 3.1 p.34) Une ampoule électrique a un taux de défaillance de 0.0008 défaillances par heures. 1. Déterminez la probabilité pour qu’elle dure au moins 1000 heures. 2. Quel est le MTTF du composant ? 3. Quelle est la fiabilité à l’instant MTTF ? 4. Si on désire avoir une fiabilité de 90% pour établir la garantie, quelle durée de vie allez vous prendre. Réponses: 1. 45% 2. 1250h 3. 36,7% 4. 131h. ETE2013 – QUA192 par Prof. R. SERRA 7 Loi exponentielle Fonction de défaillance exponentielle f(t) On constate que le taux de défaillance λ s’exprime comme la fonction de défaillance à l’instant initial L’espérance mathématique E(t) de cette fonction de densité f(t) représente le temps moyen de bon fonctionnement MTTF ou MTBF : E(t) = 1 / λ = MTTF ou MTBF ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 t t dt t f t t R t t e e λ λ λ λ λ −∫ − = × = × = × 8 ETE2013 – QUA192 par Prof. R. SERRA Loi exponentielle Fonction de défaillance exponentielle f(t) L’aire sous la courbe à partir d’un instant t représente la proportion des composants qui survivront après l’instant t. C’est la fiabilité R(t) à l’instant t. 9 ETE2013 – QUA192 par Prof. R. SERRA Loi exponentielle Fonction cumulée de défaillance exponentielle F(t) La probabilité pour qu’un système tombe en panne entre deux instants t1 et t2 se calcule comme la surface sous la courbe de la fonction de densité de probabilité entre ces deux instants: F(t2) - F(t1) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 1 t t t dt t F t f t dt R t e e λ λ − − ∫ = = − = − = − ∫ 10 ETE2013 – QUA192 par Prof. R. SERRA ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 ( ) ( ) 1 1 t t t t t t t t t P t t t F t F t f t dt e dt e e e e λ λ λ λ λ λ − − − − − < < = − = = = − − − = − ∫ ∫ Loi.Exponentielle dans EXCEL La fonction Loi.Exponentielle dans EXCEL permet de calculer les fonctions de densités et cumulée de défaillance, elle peut donc prévoir la durée séparant deux événements. (t; λ;cumulative) Où: t représLoi.Exponentielleente le temps d’usage λ représente le taux de défaillance cumulative représente une valeur logique indiquant le mode de calcul de la fonction exponentielle : • Si l’argument cumulative est VRAI, la fonction Loi.Exponentielle renvoie la fonction de distribution cumulée • Si l’argument cumulative est FAUX, la fonction Loi.Exponentielle renvoie la fonction de densité de probabilité. 11 ETE2013 – QUA192 par Prof. R. SERRA Exemple 2.1 (Suite) Une ampoule électrique a un taux de défaillance de 0.0008 défaillances par heures. 1. Retrouver la probabilité pour qu’elle dure au moins 1000 heures (résultat obtenu précédemment) en utilisant Excel. 2. Déterminer la probabilité d’avoir une défaillance entre 1000 et 1100 h, vérifier ce résultat en utilisant EXCEL. Réponses: 1. 45% 2. 3% 12 ETE2013 – QUA192 par Prof. R. SERRA Loi exponentielle Temps moyen de bon fonctionnement MTBF Le temps moyen de bon fonctionnement peut s’exprimer comme la surface sous la courbe de fiabilité. C’est l’inverse du taux de défaillance ( ) 0 0 1 t MTBF R t dt e dt λ λ ∞ ∞ − = = = ∫ ∫ 13 ETE2013 – QUA192 par Prof. R. SERRA Exemple 2.3 Un mécanisme, dans sa période de maturité, a un taux de défaillance de 0.009434 défaillances à l'heure. 1. Quelle est la durée de vie moyenne du mécanisme (MTTF)? 2. Quelle est la fiabilité du mécanisme à l'instant MTTF? Réponses: 1. 106 heures 2. 36.7% 14 ETE2013 – QUA192 par Prof. R. SERRA Loi exponentielle • L'aire sous la courbe de la fonction de défaillance f(t), à partir d'un instant t, représente la proportion des composants qui survivront après cet instant. C'est la fiabilité R(t) à l'instant t. • Le taux de défaillance est constant dans la période de maturité. • La fonction de défaillance est exponentielle durant cette période. • Le taux de défaillance est égal à la fonction de défaillance f(t) divisé par la fiabilité R(t). • La durée de vie moyenne MTTF (ou MTBF) est la réciproque du taux de défaillance dans la période de maturité. • Le taux de défaillance suffit à déterminer tous les autres paramètres. 15 ETE2013 – QUA192 par Prof. R. SERRA Loi exponentielle • La fiabilité estimée à l'instant de la durée de vie moyenne R (MTTF) est de 36.7%. C'est une constante. • Si on veut que la durée de vie prévue lors de la conception procure une bonne fiabilité, cette durée de vie doit être nettement inférieure à MTTF. • En général, on établit la durée de la garantie pour une fiabilité de 90%. • Pour connaître R(t), on doit déterminer le taux de défaillance. • Le fait que le taux de défaillance soit constant signifie que les défaillances sont aléatoires (indépendantes du temps). 16 ETE2013 – QUA192 par Prof. R. SERRA Observations en exploitation • Les données expérimentales disponibles pour estimer les durées de vie consistent dans la connaissance plus ou moins complète des instants de défaillance. • Le suivi en exploitation aura par conséquent deux objectifs: Collecter les données événementielles afin de trier les défaillances (en fonctionnement, à l ’arrêt, par mode, par conséquence) Mesurer le paramètre d’observation correspondant aux défaillances choisies • Quand on examine des données, complètes ou incomplètes, on doit connaître leur type et les traiter différemment selon le cas. 17 ETE2013 – QUA192 par Prof. R. SERRA Observations en exploitation Données complètes: Tous les échantillons sous test ont été observés (contrôle de qualité) et ont subi une défaillance. Données incomplètes: (essais de durée de vie) Au moment de l’analyse, certaines unités sont encore en fonctionnement. Elles ont le même âge. Type 1( données tronquées dans le temps): Les survivants sont retirés du test en même temps. Type 2 (données tronquées à partir d'un nombre de défaillances pré-déterminées): On attribue aux survivants le taux de défaillance du dernier échantillon défectueux. 18 ETE2013 – QUA192 par Prof. R. SERRA Observations en exploitation Estimation du taux de défaillance de la loi exponentielle: 1. Données complètes 2. Données tronquées en durée d’essai 3. Données tronquées en nombre de défaillance 4. Taux de défaillance maximal 5. Composantes réparables 6. Données observées par intervalles de temps 7. Modèle de défaillance nulle 19 ETE2013 – QUA192 par Prof. R. SERRA Observations en exploitation Composants réparables: On continue les essais après avoir réparé. Intervalle de temps: on inspecte les échantillons à des temps spécifiés et on note leur condition. Si les données sont complètes, le taux de défaillance peut être estimé comme le rapport uploads/Management/ qua192-semaine-2-rserra.pdf