Exercice 1 Soit une variable y expliquée dans un modèle (avec constante et 2 au
Exercice 1 Soit une variable y expliquée dans un modèle (avec constante et 2 autres variables) soumis aux hypothèses classiques du modèle linéaire multiple : t x où x a x a x a y t t t t t t ∀ = + + + = 1 1 3 3 2 2 1 1 ε Les matrices d’observations sont X pour les variables explicatives et Y pour la variable endogène. = = 5 3 8 1 3 6 4 1 4 2 1 6 5 1 4 1 1 5 3 1 Y X 1- Calculer de deux façons différentes : en utilisant les variables brutes et les variables centrées. a) les estimations des paramètres MCO. b) le coefficient de détermination. 2- Tester H0 : a3 = 0 3- Tester : = 0 4- Tester H0 : a2 + a3 = 0 5- Si pou la période h : x2 = 5 et x3 = 5 ; calculer la prévision h y ˆ Réponses : 1- a – • On utilisant les variables brutes : Y X X X A ' ) ' ( ˆ 1 − = On calcule les matrices : (X’X) et son inverse ainsi que X’Y = 129 81 25 81 55 15 25 15 5 ' X X ; − − − − = − 5 . 2 5 . 1 0 . 8 5 . 1 1 5 . 4 0 . 8 5 . 4 7 . 26 ) ' ( 1 X X et = 109 76 20 'Y X D’où − = 5 . 1 5 . 2 4 ˆ A • En utilisant les variables centrées, on inverse une matrice d’ordre (2x2) seulement au lieu de (3x3). On peut calculer l’estimateur des MCO par la formule ) ( ˆ ' 2 1 2 ' 2 2 BY X BX X A − = où 2 2 et , ˆ X B A sont respectivement : le vecteur A ˆ privé de 1 â , la matrice ' 1 ii T I B − = qui permet de centrer les vecteurs en les pré multipliant, et la matrice X privée de sa première colonne On commence par centrer les variables : − − − = − − − − = 1 1 4 3 1 1 1 1 1 1 2 1 2 0 0 2 BY BX BY X BY B X BX X BX B X ' 2 ' 2 2 ' 2 2 ' 2 ' ' = = = = 9 16 4 6 6 10 ' 2 2 ' 2 BY X BX X On obtient une matrice d’ordre (2x2) facile à inverser au lieu d’avoir une matrice (3x3) avec la formule générale. − = − − = = − 5 . 1 5 . 2 9 16 5 . 2 5 . 1 5 . 1 1 9 16 4 6 6 10 ˆ 1 2 A Pour calculer 1 â on utilisera la relation analogue à celle utilisée pour le calcul de b ˆ dans le modèle linéaire simple : x â y b − = ˆ qui est : ) ˆ ˆ ( 3 3 2 2 1 x a x a y â + − = Qui donne : 4 1 = â b- Le coefficient de détermination est : • Par les variables brutes : 28 5 . 26 ' ˆ ' ' ˆ 2 2 2 = − − = = y T Y Y y T A X X A SCT SCE R = 0.9464 • Par les variables centrées 28 5 . 26 ' ˆ ˆ 2 2 ' 2 ' 2 2 = = = BY Y A BX X A SCT SCE R = 0.9464 2. On utilise le test de Student qui consiste à comparer le t ˆ de l’échantillon avec le tα critique. 1 . 1 2 . 1 5 . 2 75 . 0 5 . 1 ˆ ˆ 33 = = − = = = v s â â t â σ < = 4.3 Où 75 . 0 2 / 5 . 1 ) /( ˆ ' ˆ 2 = = − = p T s ε ε et 5 . 2 33 = v . on accepte donc . La variable n’intervient pas significativement dans l’explication de 3. on refait la même démarche pour avoir : 88 . 2 1 75 . 0 5 . 2 ˆ ˆ 22 2 2 = = = = v s â â t â σ < = 4.3 On accepte également, dans ce cas, ∶ = 0 4. Soit : + = 0 On applique la formule pour tester ∶ = , en utilisant la loi de = − ! ! − " ÷ $% & −' Il faut prendre : = 0 1 1 et = 0. Tout calcul fait conduit à = 2.66. Or la valeur critique pour une loi de Ficher de respectivement 1 et 2 degrés de liberté est de 18.51 On accepte l’hypothèse : + = 0 5. Pour x. = 5 et x. = 5 on peut calculer une prévision ponctuelle et une prévision par intervalle de confiance de 95% de chances. soit 0 = [1 5 5] La prévision ponctuelle est de 30 = 0 = 4 + 2.5 5 −1.5 5 = 9 La prévision par intervalle de confiance s’obtient en calculant 30 ± ∗7̂0 7̂0 = 9 3 :1 + 0 ! 0 =1.9748 comme la valeur critique est de 4.303 donc l’intervalle ;.<= = [0.502 ; 17.49] Résolution à l’aide du logiciel R Le programme en script library(car) library(lmtest) mabase=data.frame(y=c(3,1,8,3,5),x2=c(3,1,5,2,4),x3=c(5,4,6,4,6)) attach(mabase) mod=lm(y~x2+x3) summary(mod) resultat=summary(mod) #question 1: calcul de R2 r2=resultat$r.squared r2 #question 2 et 3: on calcule les t de student et le t critique resultat$coef[3,3]# le t de student pour H0 a3=0 resultat$coef[2,3]# le t de student pour H0 a2=0 qt(0.975,2)#le t critique à 5% et 2 ddl #question 4: H0 RA=r il faut donner r et R rhs <- c(0)# c'est r hm <- rbind(c(0,1,1))# c'est la matrice R linearHypothesis(mod,hm,rhs)# le test des contraintes linéaires #réponse de la question 4 predict(mod,data.frame(x2=c(5),x3=c(5)),interval="prediction")#question 5 l’application du programme > library("car") > library("lmtest") > mabase=data.frame(y=c(3,1,8,3,5),x2=c(3,1,5,2,4),x3=c(5,4,6,4,6)) > attach(mabase) The following objects are masked from mabase (pos = 3): x2, x3, y > mod=lm(y~x2+x3) > summary(mod) Call: lm(formula = y ~ x2 + x3) Residuals: 1 2 3 4 5 -1.000e+00 5.000e-01 5.000e-01 1.110e-16 3.331e-16 Coefficients: Estimate Std. Error t value Pr(>|t|) (Intercept) 4.000 4.475 0.894 0.466 x2 2.500 0.866 2.887 0.102 x3 -1.500 1.369 -1.095 0.388 Residual standard error: 0.866 on 2 degrees of freedom Multiple R-squared: 0.9464, Adjusted R-squared: 0.8929 F-statistic: 17.67 on 2 and 2 DF, p-value: 0.05357 > resultat=summary(mod) > #question 1: calcul de R2 > r2=resultat$r.squared > r2 [1] 0.9464286 > #question 2 et 3: on calcule les t de student et le t critique > resultat$coef[3,3]# le t de student pour H0 a3=0 [1] -1.095445 > resultat$coef[2,3]# le t de student pour H0 a2=0 [1] 2.886751 > qt(0.975,2)#le t critique à 5% et 2 ddl [1] 4.302653 > #question 4: H0 RA=r il faut donner r et R > rhs <- c(0)# c'est r > hm <- rbind(c(0,1,1))# c'est la matrice R > linearHypothesis(mod,hm,rhs)# le test des contraintes linéaires Linear hypothesis test Hypothesis: x2 + x3 = 0 Model 1: restricted model Model 2: y ~ x2 + x3 Res.Df RSS Df Sum of Sq F Pr(>F) 1 3 3.5 2 2 1.5 1 2 2.6667 0.2441 >predict(mod,data.frame(x2=c(5),x3=c(5)),interval="prediction") fit lwr upr 1 9 0.5029417 17.49706 uploads/Management/ sdv.pdf
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- Publié le Jui 01, 2022
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