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Arithmétique – Exercices – BTS SIO – G. AURIOL, Lycée Paul Sabatier Arithmétiqu

Arithmétique – Exercices – BTS SIO – G. AURIOL, Lycée Paul Sabatier Arithmétique – Exercices Division euclidienne 1 On considère l’algorithme suivant, où et sont deux entiers. Tant que Fin Tant que Retourner , 1. Compléter le tableau suivant pour suivre l’exécution de l’algorithme avec et . Que retourne l’algorithme ? 17 5 0 oui 2. Faire de même avec et , puis et . 3. Que représentent les valeurs retournées par l’algorithme pour et ? 2 Effectuer les divisions euclidiennes suivantes et écrire l’égalité obtenue. Donner le quotient et le reste. a. 185 par 13 ; b. 600 par 24 ; c. 12345 par 678. 3 Préciser si les égalités suivantes peuvent être des divi- sions euclidiennes. Préciser le dividende et le diviseur le cas échéant. a. ; b. ; c. . 4 On écrit les unes à la suite des autres les 26 lettres de l’alphabet. Arrivé à Z, on recommence à A et ainsi de suite. Quelle est la 10 000e lettre écrite ? Combien d’alphabets entiers ont été écrits ? 5 Un texte saisi avec un logiciel comporte 5070 lignes. L’éditeur étudie quelques possibilités de mise en page du texte : a. Si l’éditeur décide de mettre 64 lignes par page, com- bien de lignes comporte la dernière page sachant que toutes les autres sont complètes ? b. Si l’éditeur décide de mettre 81 pages, combien de lignes comporte chaque page sachant que la dernière en comporte 48 ? 6 Si divise , que peut-on dire : a. du reste de la division euclidienne de par ? b. du reste de la division euclidienne de par ? Multiples, diviseurs 7 Faire la liste des diviseurs de 18, 30, 221, 225 et 227. 8 Donner un nombre entre 20 et 30 ayant : a. exactement 2 diviseurs ; b. exactement 3 diviseurs ; c. exactement 4 diviseurs. 9 Rappeler la définition d’un nombre pair. Montrer que si est un nombre pair, il en de même de . 10 Rappeler la définition d’un nombre impair. Montrer que si est un nombre impair, il en de même de . 11 Montrer que la somme de trois nombres consécutifs est divisible par 3. La base décimale 12 On considère l’algorithme suivant. Tant que reste de par 10 Afficher Fin Tant Que Grâce au tableau suivant, l’exécuter avec . Que retourne l’algorithme ? oui 2547 13 Donner l'écriture décimale de : a. 5 × 103 ; b. 7 × 104 + 9 × 103 + 1 × 101 + 9 × 100 c. 10-2 ; d. 2 × 102 + 9 × 10-3 14 On considère le nombre 5,27391 écrit en décimal. Donner : a. son arrondi par défaut à 10-2 ; b. son arrondi par défaut à 10-3 ; c. son arrondi par excès à 10-4 ; d. son arrondi au plus près à 10-2 ; e. son arrondi au plus près à 10-3 ; Binaire et décimal 15 Écrire dans le système décimal les nombres suivants. a. 1102 b. 10012 c. 100112 d. 10100112 16 Écrire dans le système décimal les nombres suivants. a. 10,12 b. 11,012 c. 100,12 d. 1001,11012 17 Écrire dans le système binaire les nombres suivants. a. 21 b. 41 c. 29 d. 85 Arithmétique – Exercices – BTS SIO – G. AURIOL, Lycée Paul Sabatier 18 Écrire dans le système binaire les nombres suivants. a. 17,75 b. 54,625 c. 11,375 d. 26,3125 19 Écrire sous forme de pseudo-code d’algorithme de conversion d’un réel en binaire, avec chiffres après la virgule. Par exemple, avec et , l’algorithme renverra successivement 0, 1, 1, 0, 0 (exemple du cours). Le programmer en Python. 20 Écrire dans le système binaire le nombre 0,333 en arrondissant à 2-3 : a. par défaut ; b. par excès ; c. au plus près. 21 Écrire dans le système binaire le nombre 23,23 en arrondissant à 2-3 : a. par excès ; b. au plus près. 22 Écrire dans le système binaire le nombre 5,4321 en arrondissant à 2-4 : a. par défaut ; b. au plus près. Même question avec 33,81. Hexadécimal et décimal 23 Écrire dans le système décimal les nombres suivants. a. 1A16 b. 7E216 c. BAC16 d. C0C116 24 Écrire dans le système décimal les nombres suivants. a. 0,316 b. A,B16 c. E01,5F16 d. FFF,F16 25 Écrire dans le système hexadécimal les nombres sui- vants. a. 541 b. 1620 c. 2199 d. 104 26 Écrire dans le système hexadécimal les nombres sui- vants. a. 2199,4375 b. 141,34375 Hexadécimal et binaire 27 Écrire dans le système binaire les nombres suivants. a. 916 b. 1F16 c. BAC16 d. C0C116 28 Écrire dans le système hexadécimal les nombres sui- vants. a. 11102 b. 100112 c. 101011012 d. 11111111102 Nombres premiers 29 Appliquer l’algorithme du cours (avec la boucle « pour ») pour tester la primalité de 35. Construire le ta- bleau permettant de suivre les variables. 30 Les nombres suivants sont-ils premiers ? Sinon, don- ner un diviseur : 91 – 117 – 179 – 429 – 607 – 899. 31 Existe-t-il une suite de trois nombres premiers consé- cutifs ? 32 Donner 5 nombres entiers consécutifs dont aucun n’est premier. 33 Pour tout entier naturel , on pose . a. Les entiers , , , , , , sont-ils premiers ? b. Déterminer, à l’aide d’un algorithme, le plus petit entier naturel tel que ne soit pas premier. 34 Écrire la décomposition en facteurs premiers des en- tiers suivants et en déduire la liste de leurs diviseurs : 8 – 9 – 10 – 11 – 12 – 112 – 5423. 35 Écrire la décomposition en facteurs premiers des en- tiers suivants et en déduire la liste de leurs diviseurs à l’aide d’un arbre : 176 – 252 – 392. 36 Donner la décomposition en facteurs premiers des entiers suivants et donner pour chacun le nombre de divi- seurs : 240 – 4896 – 11600. 37 Écrire la décomposition en facteurs premiers de 350. Quel est le plus petit entier naturel par lequel il faut multi- plier 350 pour obtenir le carré d’un entier naturel ? 38 Modifier l’algorithme de recherche de diviseurs du cours en tenant compte des deux remarques d’amélioration. PGCD 39 Déterminer « naïvement » le PGCD de a. 21 et 24 ; b. 24 et 60 ; c. 15 et 77. 40 En utilisant la décomposition en produit de facteurs premiers, déterminer le PGCD de a. 48 et 216 ; b. 175 et 385 ; c. 385 et 1540. 41 Déterminer si les entiers suivants sont premiers entre eux. a. 1254 et 2018 ; b. 765 et 847 ; c. 444 et 1961 ; d. 27 et 1 111 111 111 117 (douze « 1 » et un « 7 »). 42 Décomposer en produit de facteurs premiers 45. Don- ner alors, sans calculatrice, tous les entiers compris entre 3250 et 3260 qui sont premiers avec 45. 43 On veut répartir la totalité de 760 dragées au chocolat et de 1045 dragées aux amandes dans des sachets ayant la même répartition de dragées de chaque sorte. a. Peut-on faire 76 sachets ? Justifier la réponse. b. Quel nombre maximal de sachets peut-on réaliser ? c. Combien de dragées de chaque sorte y a-t-il alors dans chaque sachet ? Arithmétique – Exercices – BTS SIO – G. AURIOL, Lycée Paul Sabatier 44 Un ouvrier dispose de plaques de métal de 110 cm de longueur et de 88 cm de largeur. Il doit découper des carrés tous identiques, les plus grands possibles, dont les lon- gueurs des côtés sont des nombres entiers de cm et de façon à ne pas avoir de perte. Déterminer les dimensions de ces carrés et le nombre que l’ouvrier pourra en faire avec une plaque. Congruences 45 À quels entiers 16 est-il congru modulo 5 parmi les suivants ? 1 – 24 – 151 – 2018. 46 À quels entiers 16 est-il congru modulo 7 parmi les suivants ? 8 – 51 – 359 – 700. 47 Compléter les égalités suivantes avec le plus petit entier possible : a. ... ; b. ... ; c. ... ; d. ... ; e. ... 48 Effectuer les divisions euclidiennes de 200 et 900 par 13 et traduire ces résultats par des congruences. En utilisant les propriétés des congruences, compléter les résultats suivants par l’entier naturel le plus petit possible. a. ... ; b. ... ; c. ... ; d. ... . 49 Démontrer que 50 Démontrer que est divisible par 7. 51 Démontrer que le reste de la division euclidienne de par 7 est 1. 52 Démontrer que est divisible par 11. 53 Pour , on pose . 1. Justifier que puis montrer que pour tout entier naturel on a et en déduire que 2. Montrer de même que pour tout . 3. En déduire que est divisible par 7 pour tout . 54 Pour tout entier naturel , on pose 1. Calculer pour quelques valeurs de . Par quel entier semble être divisibles toutes uploads/Management/ sio1-01-exos.pdf