Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

Yakdhane ABASSI http://yakdcours.webou.net 1 MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERI

Yakdhane ABASSI http://yakdcours.webou.net 1 MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR DIRECTION DES ETUDES TECHNOLOGIQUES INSTITUT SUPERIEUR DES ETUDES TECHNOLOGIQUES DE RADES DEPARTEMENT DES SCIENCES ECONOMIQUES ET DE GESTION NOTES DE COURS *** STATISTIQUE II *** (LE GUIDE DE L’ETUDIANT) Enseignants : Makram BEN JEDDOU & Yakdhane ABASSI Yakdhane ABASSI http://yakdcours.webou.net 2 SOMMAIRE Chapitre 1 : Notions de variables aléatoires et lois de probabilité Chapitre 2 : Les lois usuelles de probabilité Chapitre 3 : Les méthodes d’échantillonnage Chapitre 4 : Les distributions d’échantillonnage Chapitre 5 : L’estimation statistique Chapitre 6 : Les tests paramétriques Chapitre 7 : Les tests non paramétriques Les séries de travaux dirigés Yakdhane ABASSI http://yakdcours.webou.net 3 Chapitre 1 : Notions de variables aléatoires et lois de probabilité On appelle épreuve aléatoire, une épreuve dont le résultat dépend du hasard. Le résultat est donc incertain. On note Ω l’ensemble des résultats possible d’une épreuve aléatoire et Ƥ (Ω) l’ensemble des parties possibles de Ω. On appelle probabilité P sur (Ω, Ƥ (Ω)) toute application de Ƥ (Ω) dans [0 ,1] telle que P(Ω) = 1, et toute famille d’éléments deux à deux disjoints de Ƥ (Ω), on a (Ω, Ƥ (Ω) , P) forme alors un espace probabilisée. Pour tous éléments A et B   ) ( ) ( ) ( ) ( ), ( , B A P B P A P B A P P B A       ) ( ) ( ) / ( ), ( , B P B A P B A P P B A      Si A et B sont indépendants alors ) ( ) ( ) ( B xP A P B A P   Si tous les éléments de Ω sont équiprobables alors P(A) = CARD (A) / CARD (Ω) I- Notion de variable aléatoire : On appelle variable aléatoire (V.A) le résultat caractéristique d’une épreuve aléatoire. De façon conventionnelle, on notera toujours par une majuscule (exemple X) la variable aléatoire et par des minuscules (exemple xi) les valeurs qu’elle peut prendre. Exemple 1 : X la V.A : « Résultat d’un jet de dé » xi = 1,2,3,4,5, 6 Exemple 2 : X la V.A : « Taille d’une personne tirée dans un échantillon » xi : [1m ; 1,5m[ ; [1,5m, 2m[ ; [2m, 3m[ Dans le premier cas, la variable aléatoire est dite discrète car elle prend uniquement des valeurs isolées. Dans le second cas la variable aléatoire est dite continue du fait qu’elle prend n’importe quelle valeur réelle à l’intérieur d’un intervalle. II- Loi de probabilité : 1- Cas d’une VA discrète On appelle loi de probabilité d’une VA discrète la relation qui permet de déterminer la probabilité que cette variable prenne une valeur donnée. Exemple : Soit X la VA : « Résultat d’un jet de dé » La loi de probabilité de X peut être représentée par le tableau suivant sous réserve que le dé ne soit pas truqué : Yakdhane ABASSI http://yakdcours.webou.net 4 Xi 1 2 3 4 5 6 P(X= Xi) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 On peut associer à cette loi de probabilité le diagramme en bâtons suivant : 2- Cas d’une VA continue On appelle loi de probabilité d’une VA continue la fonction qui permet de déterminer la probabilité que cette variable appartienne à un intervalle. Cette loi de probabilité s’exprime par une fonction dite fonction de densité de probabilité et notée par f(x). Cette fonction peut être représentée graphiquement par une courbe : III- Fonction de répartition : La fonction de répartition ou fonction cumulative F d’une variable aléatoire X est la fonction qui associe à toute valeur x de X, la probabilité que X soit inférieure ou égale à x. F(x) = P(X < x) Propriétés: * 0 < F(x) < 1 (car F(x) est une probabilité) * P(x1 <X < x2) = F(x2) – F(x1) Remarque: Graphiquement la fonction de répartition d’une VA discrète sera un diagramme en escaliers alors qu’il s’agit d’une courbe continue et croissante dans le cas d’une VA continue. VI- Fonction de distribution ou de densité de probabilité : Si la fonction de répartition d’une VA continue X est dérivable, la fonction de distribution ou de densité de probabilité sera alors la fonction dérivée de F. f(x) = F’(x) On peut alors écrire   ) x X P(x ) F(x - ) F(x F(x) dx f(x) 2 1 1 2 x x 2 x 1 x 2 1       xi Pi x f(x) Yakdhane ABASSI http://yakdcours.webou.net 5 Conséquence : Dans le cas d’une VA continue, la probabilité que cette variable prenne une valeur particulière est nulle. Démonstration : V- Notion d’espérance et de variance 1- Cas d’une VA discrète : Dans le cas d’une VA discrète l’espérance et la variance sont données par : 2- Cas d’une VA continue Dans le cas d’une VA continue l’espérance est la variance sont données par : 3- Signification de l’espérance mathématique C’est le résultat moyen que l’on doit s’attendre à obtenir sur un grand nombre d’épreuves. Exemple : dans un jeu de pile ou face un individu A donne 4 dinars à B chaque fois que le côté pile apparaît et reçoit 2 dinars dans le cas ou c’est le côté face qui apparaît. Soit X la VA : « Gain de l’individu A » xi - 4 2 P(X=xi) 0.5 0.5 E(X)= 0.5 (-4) + 0.5(2) = -1 Donc on peut conclure que l’individu A doit s’attendre à perdre en moyenne 1 dinar en jouant à ce jeu, var l’espérance mathématique de son gain est négative –1. IV- Opérations sur les VA Soient deux variables aléatoires X et Y, on aura alors : E(X+Y) = E(X)+E(Y) E(X-Y) = E(X)-E(Y) E(aX) = a E(X) ; E(X+b) = E(X)+b ; E(aX+b) = a E(X) + b V(aX) = a2V(X) ; V(X+b) = V(X) ; V(aX+b) =a2V(X) ; V(aX+bY) = a2V(X) + b2 V(Y) + 2ab COV(X,Y) Si X et Y sont indépendants on aura alors: V(X+Y) = V(X) + V(Y) V(X-Y)= V(X) + V(Y) 0 F(y) F(y) y) X P(y y) P(X           N 1 i i ix p E(X) ) E(X) (x p V(X) 2 1 i i i     N      dx xf(x) E(X)       dx f(x) E(X))2 (x V(X) = Yakdhane ABASSI http://yakdcours.webou.net 6 Chapitre 2 : Les lois usuelles de probabilité I- La loi binomiale Soit une épreuve aléatoire dans laquelle il n’existe que deux résultats possibles, l’un étant qualifié de favorable et l’autre de défavorable (échec et succès). Soit p la proportion du cas favorable q=1-p celle du cas défavorable. On réalise n’épreuves identiques et indépendantes et on notera : X la VA : « Nombre de résultats favorables » La probabilité que cette variable prenne une valeur particulière x est : Cette relation définit la loi binomiale de probabilité. Elle dépend de deux paramètres n et p. Il existe différentes tables de probabilité qui indiquent la probabilité simple P(X=x) ou la probabilité cumulé P(X<x) 1- Conditions d’application de la loi - L’épreuve est dichotomique, elle ne comporte que deux résultats possibles. - Les répétitions de cette épreuve sont mutuellement indépendantes, ainsi la probabilité du cas favorable p est constante. 2- Caractéristiques de la loi Soit X une VA qui suit une loi binomiale de paramètres n et p. On notera alors : X B(n,p) Les paramètres de cette loi sont : E(X)= np V(X) = np (1-p)=npq Exemple: On jette dix fois une pièce de monnaie et on considère X la VA nombre de faces obtenues. On aura alors X B (10, 0,5) D’ou: E(X) = 10*0.5=5 V(X)= 10*0.5*=2.5 q P C P) (1 P C ) P(X x n x x n x n x x n x      Yakdhane ABASSI http://yakdcours.webou.net 7 II- La loi de poisson Lorsque le nombre des épreuves devient très grand (n), et que la probabilité du cas favorable devient très faible (p) on démontre que la loi binomiale tend vers la forme limite : Cette nouvelle loi ainsi définie est appelée loi de poisson qui est qualifiée de loi des événements rares du fait que p est très faible. On note souvent λ= np avec X P (λ) d’ou : 1- Conditions d’application de la loi - Les conditions d’application de la loi binomiale sont réunies (épreuve dichotomique) - La probabilité du cas favorable est faible (événement rare) - Le nombre des épreuves est très grand 2- Caractéristiques de la loi Soit X une VA tel que : X P P(λ) les paramètres de cette loi sont : E(X)= λ V(X)= λ Il existe différentes tables de probabilité de la loi de poisson qui indiquent la probabilité simple(X=x) ou la probabilité cumulé P(X<x) . Cette loi s’applique au cas d’un nombre rare d’évènement pendant une période de temps file d’attente. Si uploads/Management/ statistiques-inferentielles.pdf