Exposé : modélisation des systèmes non linéaires 1 Table des matières INTRODUCT
Exposé : modélisation des systèmes non linéaires 1 Table des matières INTRODUCTION ............................................................................................................................2 I- SYSTEMES LINEAIRES ................................................................................................2 II- LES SYSTEMES NON LINEAIRES ............................................................................ 3 II.1- Les non linéarités usuelles ..............................................................................................3 II .2- Caractérisation des systèmes non linéaires ...................................................................3 II.2.1- Les points d’équilibres ......................................................................................................4 II.2.2- Cycle limite ...........................................................................................................................4 II.2.3- Le chaos ..................................................................................................................................4 III- METHODES D’ANALYSE DES SYSTEMES NON LINEAIRES .......................4 III.1- Les méthodes temporelles ...................................................................................................4 III.2- La méthode du premier harmonique ......................................................................................7 IV- TECHNIQUE DE LINEARISATION DES SYSTEMES NON LINEAIRES ..........10 V- APPLICATION Modélisation et simulation d’une MCC en régime non linéaire 11 Exposé : modélisation des systèmes non linéaires 2 INTRODUCTION En automatique, en mécanique, en électrotechnique ou en électronique, les problèmes d’analyse et de synthèse ont d’abord été posés en se plaçant dans l’hypothèse de linéarité. . Des théories et des méthodes ont ainsi été développées qui ont permis de faire des progrès notables dans les domaines des asservissements et des régulations. Néanmoins, très rapidement, l’ingénieur s’est rendu compte que cette approche ne permettait pas d’étudier le comportement de bon nombre de systèmes réels. On a donc assisté, à partir des années cinquante, à de nombreuses études et recherches dans le domaine des systèmes non linéaires Les systèmes non linéaires sont des systèmes ne disposant pas d’une théorie générale d’analyse, dû au fait de leur grande complexité ; mais alors on dénombre de certaines méthodes d’étude pour quelques cas de non linéarité. Pour mieux faire comprendre ce que c’est qu’un système non linéaire, nous avons dans un premier temps, rappeler quelques caractéristiques des systèmes linéaires, nous énumérons quelques types de non linéarités, nous avons ensuite défini les différents comportements des systèmes non linéaires ; par la suite, nous avons investigué quelques méthodes de modélisation et d’analyse des systèmes non linéaires et en fin nous avons montré comment linéarisé ces systèmes. I- SYSTEMES LINEAIRES Un système est dit linéaire s’il est régit par une équation différentielle linéaires a coefficients constants. Au sens mathématique on définira comme système linéaire tout système qui conserve au niveau de sa sortie la combinaison linéaire d’entrée, chaque si(t) étant la sortie correspondant à l’entrée ei(t). 1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n e t e t e t e t s t s t s t s t Et son équation différentielle peut se mettre sous la forme : Tout système ne vérifiant pas les conditions ci-dessus est dit non linéaire. En pratique, aucun système n’est linéaire, un système non linéaire peut être considéré comme linéaire dans une certaine plage souhaité. + + ⋯+ + () = + + ⋯+ + + () Exposé : modélisation des systèmes non linéaires 3 Les systèmes continus un système prenant en compte des signaux continus. Ils ont les mêmes propriétés qu'une fonction continue . Un système discret est un système qui traite des informations qu’a des moments précis. En général ces instants sont espacés d'une durée constante appelée période d'échantillonnage. II-LES SYSTEMES NON LINEAIRES II.1- Les non linéarités usuelles Les systèmes présentent fréquemment des distorsions dues aux non-linéarités du système. Ces non linéarités qui sont parfois simples et d’autres complexes. Certains phénomènes ont été généralement observé et on été classé comme non linéarité de base ;bien évidemment qu’il y en d’autres un peu plus complexes qui sont des composites des non linéarité de base. II .2- Caractérisation des systèmes non linéaires L’analyse des systèmes non linéaires passe par une modélisation de ceux-ci pour un asservissement via des lois decommande.et pour cela nous devons parvenir à souligner quelques-unes de leurs propriétés. Figure 1 : les non linéarités de base Exposé : modélisation des systèmes non linéaires 4 II.2.1- Les points d’équilibres Les systèmes non linéaires peuvent posséder plusieurs points d’équilibre. Si nous supposons qu’un système possède deux points d’équilibre, les deux points d’équilibre seront de nature différente. Le point d’équilibré 1 sera dit <<stable>> s’il a tendance à ramener le système à sa position d’équilibre stable. Tandis que le second sera dit <<instable>> puis qu’il éloignera le système de sa position d’équilibre. Pour élucider ces mots nous prendront référence sur le critère de LOEB : << L’oscillation d’amplitude Xc et de pulsation Wc est stable si l’intersection de la transmittance L(j(w)) et le lieu critique (1/L(j(w)) est telle que en parcourant le lieu de Nyquist dans le sens des fréquences croissantes,on laisse à gauche la direction des x croissants. II.2.2- Cycle limite Les cycles limites ou auto-oscillations, sont les oscillations propres dont sontsouvent le siège les systèmes non linéaires. Ces oscillations propres sont caractérisées par une amplitude et une fréquence indépendantes des conditions initiales et sans excitation extérieure. II.2.3- Le chaos Un système non linéaire peut avoir un comportement en régime permanent plus complexe que ceux habituellement répertoriés tels que l’équilibre, les oscillations périodiques. Dans ce cas, la sortie du système est extrêmement sensible aux conditions initiales, d’où la non prévisibilité de la sortie. Certains comportements chaotiques font ainsi apparaitre un aspect aléatoire malgré leur nature déterministe intrinsèque. Il est souvent présent dans les phénomènes de turbulences en mécanique des fluides ou dans les phénomènes issus des dynamiques atmosphériques. III- METHODES D’ANALYSE DES SYSTEMES NON LINEAIRES Il existe deux classes de méthodes pouvant être appliquées à l’analyse des systèmes non linéaires. III.1- Les méthodes temporelles Exposé : modélisation des systèmes non linéaires 5 Les méthodes directes : Nous avons entre autre s les intégrations numériques, la résolution des équations non linéaires, permettant d’approchées les résultats des systèmes étudiés via des calculateurs numériques) La méthode du plan de phase On peut étudier les régimes libres des systèmes non linéaires par des équations différentielles du second ordre utilisant le plan de phase ou plan d’extension en phase. On sait en effet que le comportement d’un grand nombre de système peut être décrit avec une certaine approximation par une transmittance du second ordre. Principe : la variable (t) est éliminée ; et remplacée par la variable (x) ou par dx, elle ne s’applique qu’aux équations différentielle d’ordre deux. Nous avons pour exemple : le cas d’une équation différentielle du second ordre de la forme : + () + () = () Il est facile de montrer que cette équation se met sous la forme canonique. En effet, posons = /, ainsi l’équation ci- dessus devient : = () + () = () L’équation est donc équivalente à un système canonique : Dans ce cas, le plan de phase est le plan de coordonnées(, )avec = / La méthode LJAPUNOV (pour les systèmes discrets) Elle permet d’étudier la stabilité des systèmes non linéaires. De manière générale, un système physique est stable s’il revient vers un état d’équilibre lorsque l’excitation est terminée ou lorsqu’elle persiste. Supposons un système mécanique tel que la chute d’une bille, l’énergie mécanique de la bille = = −() −() + () Exposé : modélisation des systèmes non linéaires 6 est la somme des énergies cinétique et potentielle. Le point d’énergie mécanique nulle est le point d’équilibre. La première méthode de Lyapunov peut être assez simplement interprétée en mécanique au sens où son énergie totale est complètement dissipée. Ainsi, le mouvement d’une bille atteint un état stable si la variation d’énergie mécanique m E V x décroit (x représente la position de la bille), c'est-à- dire si ̇ () < 0 V définit des équipotentielles de Lyapunov, V x cte qui définissent des domaines connexes autour de l’origine. ̇ () est la dérivée de V x le long de la trajectoire de.̇ = (, ) Le principe est le suivant : Dans le cas d’un système non linéaire, l’étude de la stabilité s’effectue par la recherche d’un gradient du système autour d’un point de repos pour lequel l’étude du système revient à trouver les minimas locaux de la fonction être résumée grâce à l’équation suivante : , avec , f x A x A x u x Cette méthode présente les avantages suivants : -Etude de la stabilité par l’examen totale de la fonction d’énergie -Ne nécessite ni la solution de l’équation d’état, ni la connaissance des pôles du système. La méthode de LYAPUNOV (systèmes continus) a) Stabilité au point d’équilibre La théorie de Lyapunov consiste à trouver une fonction scalaire (fonction de potentiel) G définie positive qui est décroissante le long des trajectoires du système ; ce qui permet de définir la stabilité dans un domaine autour du point d’équilibre. 0 dG dx dx dt Alors le système est stable avec , dx f x t dt Le système est asymptotiquement stable si 0 dG dx dx dt . Il s’agit uploads/Management/ systemes-non-lineaires-a-temps-discrets-et-continus.pdf
Documents similaires
-
37
-
0
-
0
Licence et utilisation
Gratuit pour un usage personnel Attribution requise- Détails
- Publié le Jui 23, 2021
- Catégorie Management
- Langue French
- Taille du fichier 0.3009MB