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Université de Bourgogne Feuille de TD n◦4 Licence 1 de Psychologie Statistiques

Université de Bourgogne Feuille de TD n◦4 Licence 1 de Psychologie Statistiques 2013/2014 ECHANTILLONNAGE ET ESTIMATION D’UNE PROPORTION Cours et TD en ligne , visitez : http://jebrane.perso.math.cnrs.fr/ps1/ Tutorat de Statistique : lundi 12-17h: salle 217 bât. Droit/Lettres - mardi et mercredi :12h - 14h préfabriqué Z5 Exercice 1 1) Vous jouez à "pile"’ ou "face" avec une pièce de monnaie équilibrée. Avec quelle probabilité la fréquence de "pile" est comprise entre 0.48 et 0.52 si vous lancez la pièce: i) 100 fois. ii) 1000 fois. iii) 2000 fois. iv) 10000 fois. 2) Vous avez lancé une deuxième pièce 1200 fois et vous avez obtenu 650 fois pile. Vous vous êtes doutés que la pièce soit équilibrée. Avec une conﬁance de 95% donner une estimation de la probabilité p d’obtenir pile à chaque lancer. Que doit-on conclure? Exercice 2 Un fabriquant de médicaments aﬃrme qu’en 10 jours , 40% des malades qui ont sont traités par l’un de ses produits voient leur douleur atténuée. Supposons que l’aﬃrmation du fabriquant soit exacte. On choisit au hasard n = 500 malades ayant absorbé le médicament, et on désigne par Pn la proportion aléatoire des personnes parmi les 500 dont la douleur est atténuée. 1) La loi de Pn est proche d’une loi normale. Laquelle? 2) Calculer la probabilité d’observer une proportion Pn comprise entre 0.38 et 0.42. 3) Calculer la probabilité d’observer une proportion Pn inférieure à 0.35 4) Nous avons observé un échantillons de 500 malades ayant suivi le traitement et constaté 346 guérisons. a) Que peut-on conclure par rapport à l’aﬃrmation du fabriquant? b) Donner une estimation de la vraie proportion p de guérisons avec une conﬁance de 95%. c) Si on veut réduire la marge de l’estimation à 1% avec une conﬁance de 98% Quelle doit être la taille minimale de l’échantillon à considérer? Exercice 3 Aﬁn de répondre au mieux au désir de sa clientèle une entreprise réalise un sondage pour connaître l’avis sur un produit fabriquée par elle. Sur 1040 personnes interrogées, 612 se sont déclarées satisfaites. L’entreprise essaye alors d’améliorer la qualité et un an après, réalise un deuxième sondage: Sur 970 personnes, on a 620 de satisfaites. 1) On désigne par p1 et p2 les proportions de satisfaits pour l’ensemble des clients avant et après l’amélioration apportée. Donner une estimation de p1 et p2 par intervalle de conﬁance en prenant comme conﬁances α = 0.95 et α = 0.98. Peut-on dire que la proportion de satisfaits pour l’ensemble de la clientèle a augmenté ? 2) Lors du deuxième sondage, quelle aurait du être la taille de l’échantillon pour avoir une estimation de p2 à 1% près avec une conﬁance de 0.99 ? Echantillonnage et Estimation d’une moyenne Exercice 1 Sur une population de jeunes diplômés on considère la variable statistique représentant le temps de chômage avant de trouver un premier emploi permanent. Pour la population globale on sait que ce temps X varie suivant une loi normale de moyenne µX = 9 mois. On se demande si les jeunes diplômés qui ont développé une stratégie de mobilisation pour la recherche d’un premier emploi attendent moins longtemps. Pour un échantillon de 70 jeunes mobilisés, le temps Y d’attente est distribué selon le tableau suivant. classes 0 −2 2 −4 4 −6 6 −8 8 −10 10 −12 Σ effectifs 4 6 15 24 16 5 1) Calculer la moyenne expérimentale me(Y ) et l’écart-type expérimental se(Y ) de l’échantillon . 2) Donner une estimation par intervalle de conﬁance de la moyenne µ(Y ) de l’ensemble des diplômés développant une stratégie mobilisatrice avec une conﬁance α = 0.98. 3) Peut-on dire avec un risque d’erreur de 2% qu’en moyenne, les jeunes diplômés adoptant une stratégie mobilisatrice trouvent plus facilement leur premier emploi. Justiﬁez votre réponse. 4) Quelle devrait être la taille minimale de l’échantillon à prélever (avec remise) pour estimer la moyenne m(Y ) à 0.5 point près avec une conﬁance de 0.99? Estimation d’une moyenne: Cas des petits échantillons, Estmation d’une variance Exercice 1 (Suite Exercice 1 TD Précédent) Pour un échantillon de 28 diplômés développant une stratégie utopique, le temps d’attente moyen et l’écart type expérimentaux obtenus sont me = 11.7 et s2 = 4.5 1) Donner une estimation du temps moyen d’attente des diplômés développant une stratégie utopique en se basant sur cet échantillon avec une conﬁance de 0.95. 2) Comparer la situation de la population globale des diplômés (voir exercice 3 précédent) à celle des diplômés développant une stratégie utopique. 3) Donner une estimation de l’écart-type de cette dernière population avec un risque d’erreur de 5%. Exercice 2 Un expérimentateur qui étudie la prise de décisions a demandé à 30 enfants de résoudre le plus grand nombre possible de problèmes en 30 minutes. Il a expliqué à un groupe de 16 enfants qu’il voulait tester leur aptitude innée à résoudre des problèmes, et à un autre groupe (14 enfants) qu’il ne s’agissait que d’une tâche destinée à les occuper. Les résultats obtenus sont les suivants: Aptitude innée 33 18 27 21 27 22 26 25 33 19 29 30 14 20 32 27 Occupation 12 15 24 9 21 12 17 14 24 9 20 15 18 16 On suppose que les résultats varient normalement. 1) 2) Calculer les moyennes et écarts types des deux échantillons. 3) Donner une estimation par intervalle de conﬁance des moyennes et des écarts types associés aux deux conditions d’expérience. 4) Que peut-on conclure au vu de ces résultats? vskip2mm Exercice 3 On suppose que les taux de cholestérol chez les hommes et les femmes de plus de 50 ans se répartissent selon des lois normales. Dans un échantillon de 18 hommes de plus de 50 ans on a mesuré un taux moyen de 192,4 cg avec un écart type de 45,2 cg. Dans un échantillon de 22 femmes de plus de 50 ans on a mesuré un taux moyen de 185,7 cg avec un écart type de 36,4 cg. 1) Donner des estimations des écarts types des deux populations. 2) En utilisant les estimations par intervalle de conﬁance à 95 % peut-on conclure que les femmes de plus de 50 ans ont moins de cholestérol que les hommes de plus de 50 ans ? Exercice 4 Le tableau suivant représente les résultats obtenus par un échantillon de 15 enfants de CE2 dans deux épreuves de dictée préparée: une liste de 20 mots (épreuve E1) et un texte (épreuve E2). élève A B C D E F G H I J K L M N O Σ épreuve 1: x 19 17.5 18 15 15.5 17.5 16.5 16 17 12 14.5 18.5 15 13 14 épreuve 2: y 14 13 13.5 11.5 12 13 12.5 12 13 9 11 14 11.5 10 11 Question 1 Avec un risque d’erreur de 5%, dire si les résultats de l’épreuve E1 sont signiﬁcativement diﬀérents de E2. Question 2 Donner des estimations des écarts types. uploads/Management/ td-estimation.pdf