Remerciez-le!

Remerciez @Admin pour avoir partagé cet document gratuitement, de la manière la plus simple, en partageant sur les réseaux sociaux.

A. P. M. E. P. Brevet de technicien supérieur session 13 mai 2019 - groupement

A. P. M. E. P. Brevet de technicien supérieur session 13 mai 2019 - groupement A Spécialités : — Électrotechnique — Systèmes phoniques — Techniques physiques pour l’industrie et le laboratoire Exercice 1 12 points Les parties A et B sont indépendantes Partie A On étudie, dans cette partie, le débit d’une pompe à trois pis- tons alimentant un bac de stockage; On note f la fonction périodique de période 2π déﬁnie par : f (t) = ½ sin(t) si 0 ⩽t < π 0 si π ⩽t < 2π 1. Les débits q1, q2, q3 de chacun des trois pistons (exprimés en litre par seconde) sont donnés, à l’instant t (exprimé en seconde), par : q1(t) = f (t); q2(t) = f µ t + 2π 3 ¶ ; q3(t) = f µ t + 4π 3 ¶ . Voici les représentations graphiques sur l’intervalle [−2π ; 2π] des fonctions q1, q2 et q3 dans le désordre. 1 Courbe A −2π−5π/3 −4π/3 −π −2π −2π π/3 2π/3 π 4π/3 5π/3 2π 1 Courbe B −2π−5π/3 −4π/3 −π −2π −2π π/3 2π/3 π 4π/3 5π/3 2π 1 Courbe C −2π −5π/3 −4π/3 −π −2π −2π π/3 2π/3 π 4π/3 5π/3 2π Associer chaque courbe à la fonction, q1, q2 ou q3 qu’elle représente. Justiﬁer brièvement. 2. Le débit en litre par seconde, de la pompe à trois pistons est donné par : Q(t) = q1(t)+ q2(t)+ q3(t). Brevet de technicien supérieur A. P. M. E. P. a. Calculer Q(0) et Q ¡ π 3 ¢ . Écrire le détail des calculs. On donne pour la suite : Q ¡ π 6 ¢ = 1, Q ¡ π 2 ¢ = 1 et Q ¡ 2π 3 ¢ = p 3 2 . b. Montrer que Q ¡ t + 2π 3 ¢ = Q(t) pour tout réel t. En déduire une période de Q. c. On admet que Q est dérivable sur ¤ 0 ; π 3 £ ∪ ¤ π 3 ; 2π 3 £ . On donne ci-dessous la représentation graphique de la fonction dérivée de Q sur cet en- semble. 0 −0,5 0,5 1,0 0 π 6 π 3 π 2 2π 3 5π 6 π Recopier et compléter, à l’aide du graphique ci-dessus. le tableau de variations de la fonction Q sur l’intervalle £ 0 ; 2π 3 ¤ . On y reportera les valeurs calculées, ou données au a. t 0 π 3 2π 3 Signe de Q′(t) Variations de Q 3. On appelle taux d’irrégularité du débit de la pompe le nombre : θ = QM −Qm Qmoy , où QM est le débit maximum de la pompe sur une période, Qm est le débit minimum de la pompe sur une période et Qmoy est le débit moyen de la pompe. On admet que : Qmoy = 3 2π Z2π 0 f (t)dt. a. Montrer que Qmoy = 3 π. b. Calculer le taux d’irrégularité du débit de la pompe. Arrondir le résultat au centième. Partie B 1. L’entreprise qui gère les bacs de stockage fait contrôler les pompes sur différents sites. 20 % des pompes sont sous garantie. Le technicien constate que : • 1 % des pompes sous garantie sont en panne; • 10 % des pompes qui ne sont plus sous garantie sont en panne. On tire au hasard, dans le ﬁchier de l’entreprise, la ﬁche d’une pompe dont l’entreprise assure le contrôle. On considère les évènements suivants : G : « la pompe est sous garantie » et D : « la pompe est en panne ». On note G et D les évènements contraires. Groupement A 2 13 mai 2019 Brevet de technicien supérieur A. P. M. E. P. a. Construire un arbre pondéré qui modélise la situation. b. Démontrer que : P(D) = 0,082. c. Le technicien afﬁrme que moins de 2 % des pompes en panne sont sous garantie. Le technicien a t-il raison? 2. On tire au hasard 50 ﬁches de pompes dans le ﬁchier de l’entreprise. On assimile ce prélève- ment à un tirage avec remise. On note X la variable aléatoire qui, à tout prélèvement de 50 ﬁches, associe le nombre de ﬁches de pompes en panne. On rappelle que la probabilité qu’une pompe soit en panne est 0,082. a. Justiﬁer que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. b. Calculer la probabilité que, parmi les 50 ﬁches tirées, il y ait exactement deux ﬁches de pompes en panne. Arrondir au millième. c. Calculer la probabilité que parmi les 50 ﬁches tirées, il y ait plus de deux ﬁches de pompes en panne. Arrondir au millième. d. Calculer l’espérance de la variable alêatoire X et interpréter ce résultat. EXERCICE 2 8 points On considère le bac de stockage cylindrique représenté ci-dessous. À l’instant t, en seconde (s), on note h(t) la hauteur d’eau, en mètre (m), dans le bac, Qe(t) le débit d’entrée, en m3s−1, et Qv(t) le débit de vidange, en m3s−1. À l’instant t = 0, le bac est vide, donc : h(0) = 0. La conservation de la matière permet d’écrire, pour tout t ⩾0 : Qe(t) = Sh′(t)+Qv(t) où S est l’aire de la base du bac, exprimée en m2, et h′ la fonction dérivée de h. Dans l’exercice, on a S = 8 m2. De plus on suppose, en faisant une approximation, que : Qv(t) = 2h(t). Qe(t) Qv(t) h(t) On a donc : 8h′(t)+2h(t) = Qe(t). On veut que la hauteur d’eau h(t) atteigne 10 cm, soit 0,1 m. Pour cela, on agit sur le débit d’entrée Qe(t). Partie A Dans cette partie. on suppose que pour t ⩾0 : Qe(t) = 0,2. La fonction h est donc solution sur l’intervalle [0 ; +∞[ de l’équation différentielle : 8y′ +2y = 0,2 (E) On rappelle le résultat suivant Groupement A 3 13 mai 2019 Brevet de technicien supérieur A. P. M. E. P. Équation différentielle Solutions ay′(t)+by(t) = 0 avec a et b des constantes réelles, a ̸= 0 y : t 7− →K e−b a t, avec K ∈R 1. a. Donner les solutions sur l’intervalle [0 ; +∞[ de l’équation différentielle : 8y′+2y = 0 (E0). b. Déterminer une solution particulière constante y0 : t 7→c, avec c constante réelle. de l’équation différentielle (E). c. Donner les solutions sur l’intervalle [0 ; +∞[ de l’équation différentielle (E). 2. L’une des quatre expressions ci-dessous est celle de h(t), pour tout réel t ⩾0. Laquelle? Justiﬁer la réponse. A h(t) = −0,1e−0,25t +0,2 C h(t) = −0,1e−4t +0,1 B h(t) = −0,1e−0,25t +0,1 D h(t) = −0,2e−0,25t +0,1 3. a. Quelle est la limite de h(t) quand t tend vers +∞? Justiﬁer brièvement. b. Estimer au bout de combien de temps h(t) atteint 95 % de 0,1 m. Indiquer la démarche suivie. Partie B On souhaite obtenir plus rapidement la hauteur de 10 cm d’eau dans le bac. Pour cela, on modiﬁe le débit d’entrée. On prend désormais pour tout réel t ⩾0 : Qe(t) = U (t)−0,8U (t −0,9) où U désigne la fonction échelon unité : U (t) = ½ 0 si t < 0 1 si t ⩾0 h vériﬁe donc, pour tout réel t ⩾0 : 8h′(t)+2h(t) = U (t)−0,8U (t −0,9) (E). De plus, on rappelle que h(0) = 0. 1. Représenter sur la copie Qe(t) en fonction de t, pour t ⩾0. (On tracera un repère orthonormé. Sur chacun des axes, 10 cm représenteront une unité.) 2. On note H : p 7− →H(p) la transformée de Laplace de h : t 7− →h(t). On rappelle les résultats suivants concernant la transformation de Laplace, où g est une fonc- tion ayant une transformée de Laplace G : Fonction Transformée de Laplace t 7− →U (t) p 7− →1 p t 7− →e−atU (t), a ∈R p 7− → 1 p + a t 7− →U (t −a), a ∈R p 7− →1 p e−ap t 7− →g(t −a)U (t −a), a ∈R p 7− →G(p)e−ap t 7− →g ′(t)U (t) p 7− →pG(p)−g ¡ 0+¢ a. Écrire l’égalité obtenue en appliquant la transformation de Laplace aux deux membres de l’égalité (E). b. Montrer que H(p) = 1−0,8e−0,9p (2+8p)p . Groupement A 4 13 mai 2019 Brevet de technicien supérieur A. P. M. E. P. 3. On note : A(p) = 1 (2+8p)p . a. Vériﬁer que : A(p) = 0,5 p − 4 2+8p . b. Comme 4 2+8p = 0,5 p +0,25 on a aussi : A(p) = 0,5 p − 0,5 p +0,25. En déduire l’original a(t) de A(p). c. On remarque que : H(P) = A(p)× ¡ 1−0,8e−0,9p¢ = A(p)−0,8A(p)e−0,9p. Déterminer une expression de h(t) pour tout réel t ⩾0. 4. La courbe représentative de la fonction h est tracée ci-dessous : 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0 5,5 0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 h en m t Estimer graphiquement le gain de temps réalisé pour atteindre uploads/Management/ bts-gra-13-mai-2019-3 1 .pdf