19 ème Congrès Français de Mécanique Marseille, 24-28 août 2009 Application de

19 ème Congrès Français de Mécanique Marseille, 24-28 août 2009 Application de la séparation de variables pour décrire les écoulements turbulents A.DUMONa, C. ALLERYa, A. AMMARb a. LEPTIAB, Avenue Michel Crépeau, 17042 LA ROCHELLE, France b. Laboratoire de Rhéologie, INPG, UJF, CNRS(UMR 5520), 1301 rue de la Piscine, BP 53 Domaine Universitaire, F-38041 Grenoble Cedex 9, France Résumé : Actuellement, la résolution numérique d’écoulements turbulents nécéssite des maillages très fins et des temps de calculs très longs. Afin de réduire ces temps, on se propose d’utiliser la méthode de séparation de variables permettant de passer de la résolution d’un problème de très grande taille à la résolution de plusieurs systèmes de petites tailles. Cette méthode consiste à chercher la solution sous la forme d’une somme de produits de fonctions de chaque variable d’espace pour les composantes de vitesse ou de pression. Cette méthode sera testée sur les équations modèles de Poisson en 2D et 3D ainsi que sur les équations de Navier-Stokes 2D. Abstract : Nowadays, the turbulent flows numerically resolution requires a fine grid definition and a very long computing time. In order to reduce the CPU time, we propose the splitting variable method which allows us to pass from a big problem resolution to a sum of smalls. This method consists in finding the solution in the form of a sum of products of functions for each space variable. This method will be verified against the Poisson’s 2D and 3D equations, as well as against Navier-Stokes 2D equations. Mots clefs : Séparation de variables, Equations de transferts, Navier-Stokes 1 Introduction L’objectif à long terme de ce travail est l’étude de la qualité de l’air à l’intérieur des ambiances habitables et plus particulièrement, l’étude de la dispersion de particules par approche Lagrangienne. Cette approche nécéssite de connaître le champ de vitesse du fluide en chaque point où se situent les particules. Ce champ de vitesse est habituellement obtenu par DNS ou LES, ce qui est très coûteux car nous sommes en présence de grands domaines, nécéssitant des maillages très fins, et de longues durées de simulation. Dans cette communication, afin de diminuer le temps de calcul, on se propose de résoudre les équations de Navier-Stokes par la méthode de séparation de variables. Cette approche consiste à chercher la solution sous la forme d’une somme de produits de fonctions de chaque variable d’espace. Ainsi dans un cas à N dimensions, au lieu de résoudre un problème de taille QN i=1(ni) (où ni est le nombre de noeuds dans la direction i) on se ramène à la résolution de problèmes de taille PN i=1(ni). Donc pour des maillages avec beaucoup de noeuds, cette méthode peut être plus rapide que les méthodes traditionnelles. La méthode de séparation de variables à déjà été utilisée avec succès dans d’autres domaines.Elle a été intro- duite le première fois pour la résolution des équations de Fokker-Planck[1][2] afin de modéliser le comporte- ment d’une chaîne de polymère dans un espace configurationnel multidimensionnel. La méthode à également été utilisée pour traiter des problèmes d’homogénéisation [3]. Nouy[4] quant à lui utilise une variante de la méthode présentée ici, pour résoudre des équations stochastiques non-linéaires pour traiter la séparation espace-temps. Dans cette communication, après avoir décrit rapidement la méthode, nous l’appliquerons aux équations de Poissons 2D et 3D. Les résultats obtenus, seront comparés, en terme de précision et de temps de calcul, aux résultats obtenus par la méthode du gradient conjugué et du bigradient conjugué. Enfin les premiers résultats concernant les équations de Navier-Stokes pour une cavité entrainée 2D seront présentés. 2 Présentation de la méthode Afin de simplifier la présentation, la méthode sera présentée uniquement pour le cas 2D. On considère donc le problème suivant : 1 19 ème Congrès Français de Mécanique Marseille, 24-28 août 2009 Trouver T(x,y) tel que    L(T) = G dans Ω= [−L, L] × [−L, L] +Conditions limites (1) où L est l’opérateur de notre équation de transfert, et G son second membre La méthode de séparation de variables, qui est une méthode itérative, consiste à chercher l’inconnue sous la forme : T(x, y) = N X i=1 αiF i(x)Gi(y) (2) où à chaque itérartion on ajoute à notre inconnue un terme supplémentaire αN+1F N+1(x)GN+1(y). Ce terme est obtenu par résolution d’un problème non linéaire de taille restreinte (Nx + Ny inconnues), où Nx est le nombre de noeuds dans la direction ⃗ x et Ny le nombre de noeuds dans la direction ⃗ y. Après discrétisation par différences finies, éléments finis ou volumes finis, et après avoir injecté (2) dans (1), le problème peut se mettre sous la forme suivante : nbo X k=1 N X i=1 αi [Ak] {F i} ⊗[Bk] {Gi}
= Gh (3) L’opérateur L est donc discrétisé comme un produit tensoriel d’opérateur [Ak] et [Bk] dans la direction ⃗ x et ⃗ y. Ces opérateurs sont appliqués chacun respectivement à F i (vecteur de taille Nx) et a Gi (vecteur de taille Ny) qui sont la décomposition de notre solution dans la direction ⃗ x et dans la direction ⃗ y. L’opérateur discrétisé [Ak] dans la direction ⃗ x est donc de taille (Nx, Nx) et l’opérateur discrétisé [Bk] dans la direction ⃗ y est de taille (Ny, Ny). L’indice nbo représente le nombre de couples d’opérateurs nécéssaires pour la reconstruction de l’opérateur général L de l’équation (1). Le second membre G quant à lui est de taille (Nx, Ny) il représente exactement la valeur du second membre en chaque point du maillage (Il peut être également exprimé sous la forme d’un produit tensoriel de vecteurs de taille (Nx, 1) ⊗(Ny, 1)). L’algorithme de résolution se décompose en trois étapes. 1. Si l’on suppose que l’on est à l’itération N+1, la première étape consiste à calculer les nouvelles fonctions F N+1 et GN+1, c’est l’étape d’enrichissement. 2. Une fois ces fonctions calculées, nous calculons les N+1 coefficients αi pondérant ces fonctions. 3. Enfin il nous reste à estimer l’erreur afin de savoir si l’on a convergé. Si ce n’est pas le cas, il faut repasser par les étapes un et deux, et ce, jusqu’à convergence. Ces trois étapes vont être détaillées dans les paragraphes qui suivent. 2.1 Enrichissement Supposons que nous soyons à l’étape N+1. Les N premières fonctions F i et Gi sont connues et on cherche R et S tels que : T(x, y) = N X i=1 αiF i(x)Gi(y) + R(x)S(y) (4) En injectant cette nouvelle forme de la solution dans le problème (3), on obtient le système d’équation suivant : nbo X k=1 ([Ak] {R} ⊗[Bk] {S}) = Gh − nbo X k=1 " N X i=1 αi [Ak] {F i} ⊗[Bk] {Gi}
# (5) Ce système non linéaire est résolu à l’aide d’une méthode de point fixe. Ainsi pour calculer R on se fixe un S et on projette (5) sur un champ test de la forme R∗⊗S. Cela nous donne un système linéaire de taille (Nx, Nx) à résoudre. Il en est de même lors de la recherche de S, le champ test devient R ⊗S∗et le systeme sera de taille (Ny, Ny). Ces deux calculs alternés s’arrêtent lorsque les normes des différences entre le nouveau R et l’ancien et le nouveau S et l’ancien sont inférieures à un un paramètre donné par l’utilisateur. Les dernieres fonctions R et S obtenues seront normées et mises égales à F N+1 et GN+1. 2 19 ème Congrès Français de Mécanique Marseille, 24-28 août 2009 2.2 Calcul des coefficients alphas Connaissant les fonctions F i et Gi il faut ensuite calculer les αi (1 ≤i ≤N + 1). Pour calculer ces coeffi- cients, on considere l’équation (5) avec un champ test Ψ∗= P α∗FG . Cela nous donne un système de taille (N+1,N+1). 2.3 Critère de convergence Pour estimer la convergence de l’algorithme, on calcule le résidu du modèle (3) défini par : res = nbo X k=1 "N+1 X i=1 αi [Ak] {F i} ⊗[Bk] {Gi}
−Gh #2 (6) Lorsque la norme euclidienne de ce résidu est inférieure à un ǫ donné par l’utilisateur, l’algorithme a convergé, et la solution du problème est : T(x, y) = N+1 X i=1 αiF i(x)Gi(y) (7) Si ce n’est pas le cas, il faut enrichir notre solution en rajoutant un produit de fonction de x et de y. 3 Résultats Dans cette partie les résultats obtenus avec la méthode de séparation de variable pour la résolution de l’équation de poisson 2D et 3D seront comparés aux résultats obtenus avec la méthode du gradient conjugué et la méthode du bigradient conjugué. Dans un second temps les premiers résultats concernant l’écoulement dans une cavité entrainé 2D seront présentés. 3.1 Equation de Poisson 2D Nous nous intéressons au problème suivant : Chercher T(x,y) tel que ∆T(x, y) = x2 −y2 dans Ω=] −1, 1[×] −1, 1[ T|∂Ω= Tcl (8) Les résulats seront comparés avec la solution analytique triviale1 : T(x, y) = (x4−y4) 12 Sur la figure (1) sont représentés les temps de calcul et uploads/Management/application-de-la-separation-de-variables-pour-decrire-les-ecoulements-turbulents.pdf

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• Publié le Jan 06, 2023
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