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Gregory berhuy suites et series de fonctions lecture notes 2015

Suites et s ?eries de fonctions Gr ?egory Berhuy C CTable des mati eres Motivations Chapitre I Convergence uniforme d ? une suite de fonctions I Borne sup ?erieure I Convergence simple et uniforme des suites de fonctions Chapitre II Suites et s ?eries de fonctions II Suites de fonctions th ?eor emes g ?en ?eraux II Rappels sur les s ?eries num ?eriques II S ?eries de fonctions Chapitre III S ?eries enti eres III Rayon de convergence d ? une s ?erie enti ere III Propri ?et ?es des s ?eries enti eres applications Chapitre IV S ?eries de Fourier IV Fonctions Ci par morceaux IV S ?eries de Fourier et produit scalaire hermitien IV Les th ?eor emes de convergence C CMotivations Les s ?eries de fonctions trouvent leur utilit ?e dans la r ?esolution d ? ?equations di ? ?erentielles ou d ? ?equations aux d ?eriv ?ees partielles Bien souvent ces ?equations n ? ont pas de solution ?evidente exprimable a l ? aide de fonctions usuelles L ? id ?ee est donc de chercher des solutions sous forme de s ?eries Donnons un exemple On considere une barre d ? un mat ?eriau homogene de longueur ?nie L non nulle la temp ?erature initiale au temps t ?etant donn ?ee par une fonction L ? R x ? x On suppose que la temp ?erature est nulle aux extr ?emit ?es de la barre Si D est le coe ?cient de di ?usion l ? ?equation r ?egissant la temp ?erature T x t en chaque point a un instant t est donn ?ee par ? T ? t D ? T ? x Oublions d ? abord la condition T x x Autrement dit on cherche les solutions v ?eri ?ant seulement les conditions au bord T t T L t Cherchons d ? abord une solution non nulle de la forme T x t f x g t avec f et g v ?eri ?ant des hypoth eses convenables On a alors f x g ?? t Df ?? ?? x g t soit f ?? ?? x f x g ?? t Dg t Comme x et t sont deux variables ind ?ependantes cela implique qu ? il existe ?? R tel que f ?? ?? x f x g ?? t Dg t Ainsi on a f ?? ?? x ?? f x et g ?? t ?? D g t On a donc g t ?eD t pour ? ?? R et donc g t pour tout t ? car on cherche T non identiquement nulle La contrainte T t T L t entra ne alors f f L Si on a f ?? ?? x et donc f x ax b Les conditions f f L imposent alors facilement f x pour tout x ce qui est aexclure par hypothese sur T C MOTIVATIONS Si on pose ? Alors f est de la forme f x ach ?x