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Chapitre 2. Rappels sur les suites arithmétiques et les suites géométriques Nou

Chapitre 2. Rappels sur les suites arithmétiques et les suites géométriques Nous allons ici rappeler les diﬀérents résultats sur les suites de nombres réels qui sont des suites arithmétiques ou des suites géométriques. Le chapitre 9 du cours de terminale S est consacré à l’étude des nombres complexes. Toutes les formules données dans ce chapitre 2 pour des suites réelles seront valables plus généralement pour des suites de nombres complexes. I. Suites arithmétiques 1) Déﬁnition des suites arithmétiques Déﬁnition 1. Soit (un)n∈N une suite de nombre réels. La suite (un)n∈N est arithmétique si et seulement si il existe un réel r tel que pour tout entier naturel n, un+1 = un + r. Le nombre r s’appelle alors la raison de la suite arithmétique (un)n∈N. Remarque. Le nombre r qui apparaît dans la déﬁnition précédente ne dépend pas de n ou encore r est constant quand n varie. On peut donner une déﬁnition équivalente : Déﬁnition 2. Soit (un)n∈N une suite de nombre réels. La suite (un)n∈N est arithmétique si et seulement si la suite (un+1 −un)n∈N est constante. Commentaire. La valeur de cette constante est alors la raison de la suite arithmétique (un)n∈N. C’est la déﬁnition 2 qui le plus souvent est utilisée dans la pratique pour montrer qu’une suite est arithmétique ou n’est pas arithmétique. On note à ce sujet que : la suite (un)n∈N est n’est pas arithmétique si et seulement si la suite (un+1 −un)n∈N n’est pas constante. Exercice 1. Soit (un)n∈N la suite déﬁnie par : pour tout entier naturel n, un = −2n + 7. Montrer que la suite (un)n∈N est arithmétique. Préciser sa raison et son premier terme. Solution. Soit n un entier naturel naturel. un+1 −un = (−2(n + 1) + 7) −(−2n + 7) = (−2n −2 + 7) −(−2n + 7) = −2n + 5 + 2n −7 = −2. Ainsi, pour tout entier naturel n, un+1 −un = −2. On en déduit que la suite (un)n∈N est une suite arithmétique de raison −2. Son premier terme est u0 = 7. Commentaire. Pour montrer que la suite (un+1 −un)n∈N est constante, on peut montrer que un+1 −un ne dépend pas de n. C’est ce que nous avons fait. Mais suivant le type d’exercice, on peut aussi chercher à montrer que pour tout entier naturel n, un+2 −un+1 = un+1 −un. Exercice 2. Soit (un)n∈N la suite déﬁnie par : pour tout entier naturel n, un = 2n2 −n + 1. Montrer que la suite (un)n∈N n’est pas arithmétique. Solution. u0 = 1, u1 = 2 et u2 = 7 puis u1 −u0 = 2 −1 = 1 et u2 −u1 = 7 −2 = 5. En particulier, u2 −u1 ≠u1 −u0. Ainsi, la suite (un+1 −un)n∈N n’est pas constante et donc la suite (un)n∈N n’est pas arithmétique. Commentaire. La suite (un+1 −un)n∈N est constante si et seulement si pour tout entier naturel n, un+2 −un+1 = un+1 −un. Donc, la suite (un+1 −un)n∈N n’est pas constante si et seulement si il existe au moins un entier naturel n tel que un+2 −un+1 ≠un+1 −un. Dans l’exercice précédent, pour montrer que la suite (un+1 −un)n∈N n’est pas constante, nous avons fourni explicitement un rang n tel que un+2 −un+1 ≠un+1 −un, à savoir n = 0. © Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés. 1 http ://www.maths-france.fr 2) Calcul de un en fonction n Une suite arithmétique est déﬁnie par une relation de récurrence : pour tout entier naturel n, un+1 = un + r. Ainsi, pour calculer u17, on doit connaître u16 et pour connaître u16, on doit connaître u15 . . . Un problème reste donc non résolu : exprimer directement un en fonction de n. Ce problème est résolu par le théorème suivant. Théorème 1. Soit (un)n∈N une suite arithmétique de raion r. 1) Pour tout entier naturel n, un = u0 + nr. 2) Pour tous entiers naturels n et p, un = up + (n −p)r. Démonstration. Soit (un)n∈N une suite arithmétique de raion r. 1) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, un = u0 + nr. • u0 + 0 × r = u0 et donc la formule est vraie quand n = 0. • Soit n ⩾0. Supposons que un = u0 + nr et montrons que un+1 = u0 + (n + 1)r. un+1 = un + r (par déﬁnition d’une suite arithmétique de raison r) = u0 + nr + r (par hypothèse de récurrence) = u0 + (n + 1)r. On a montré par récurrence que pour tout entier naturel n, un = u0 + nr. 2) Soient n et p deux entiers naturels. un = u0 + nr et up = u0 + pr. Donc un −up = (u0 + nr) −(u0 + pr) = nr −pr = (n −p)r, puis un = up + (n −p)r Remarque. Dans le théorème précédent, l’ordre dans lequel sont les entiers n et p n’est pas précisé et on a tout à fait le droit d’appliquer la formule du 2) quand p > n. Par exemple, on a u9 = u6 + (9 −6)r = u6 + 3r mais on a aussi u7 = u11 + (7 −11)r = u11 −4r. Théorème 2. Soit (un)n∈N une suite de nombres réels. La suite (un)n∈N est arithmétique si et seulement si il existe deux réels a et b tels que pour tout entier naturel n, un = an + b. Démonstration. Si la suite (un)n∈N est arithmétique, d’après le théorème 1, pour tout entier naturel n, un = nr + u0. Par suite, si on pose a = r et b = u0, alors pour tout entier naturel n, un = an + b. Réciproquement, soient a et b deux nombres réels puis (un)n∈N la suite déﬁnie par : pour tout entier naturel n, un = an + b. Montrons que la suite (un)n∈N est arithmétique. Soit n un entier naturel. un+1 −un = (a(n + 1) + b) −(an + b) = an + a + b −an −b = a. Ainsi, la suite (un+1 −un)n∈N est constante et donc la suite (un)n∈N est arithmétique. Remarque. La suite des entiers naturels (pour tout n ∈N, un = n) est une suite arithmétique. C’est la suite arithmétique de premier terme 0 et de raison 1. C’est « la plus simple » de toutes les suites arithmétiques. La suite des entiers pairs (pour tout n ∈N, un = 2n) ou la suite des entiers impairs (pour tout n ∈N, un = 2n + 1) sont aussi des suites arithmétiques (de raison 2). Exercice 3. Soit (un)n∈N une suite arithmétique On sait que u5 = −2 et u9 = −14. Déterminer un en fonction de n. Solution. Notons r la raison de la suite arithmétique (un)n∈N. On sait que u9 = u5 + (9 −5)r = u5 + 4r et donc −14 = −2 + 4r puis 4r = −14 + 2 ou encore 4r = −12 ou enﬁn r = −3. On sait alors que pour tout entier naturel n, © Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés. 2 http ://www.maths-france.fr un = u5 + (n −5)r = −2 −3(n −5) = −2 −3n + 15 = −3n + 13. Pour tout entier naturel n, un = −3n + 13. Exercice 4. Soit (un)n∈N la suite déﬁnie par : u0 = 1 et pour tout entier naturel n, un+1 = 4 4 −un . 1) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, un existe et 1 ⩽un < 2. 2) Pour tout entier naturel n, on pose vn = 1 un −2. a) Montrer que la suite (vn))n∈N est arithmétique. Préciser son premier terme et sa raison. b) Déterminer vn en fonction de n. c) En déduire un en fonction de n. Solution. 1) Montrons par récurrence que pour tout entier naturel n, un existe et 1 ⩽un < 2. • Puisque u0 = 1, la propriété est vraie quand n = 0. • Soit n ⩾0. Supposons que un existe et 1 ⩽un < 2 et montrons que un+1 existe et 1 ⩽un+1 < 2. Tout d’abord, par hypothèse de récurrence, un < 2 et en particulier un ≠4. On en déduit que un+1 existe. Ensuite, 1 ⩽un < 2 ⇒−3 ⩽un −4 < −2 ⇒2 < 4 −un ⩽3 ⇒1 3 ⩽ 1 4 −un < 1 2 (car la fonction x ↦1 x est strictement décroissante sur ]0,+∞[) ⇒4 3 ⩽ 4 4 −un < 4 2 ⇒4 3 ⩽un+1 < 2 ⇒1 ⩽un+1 < 2 (car 4 3 ⩾1). On a montré par récurrence que pour tout entier naturel n, un existe et 1 ⩽un < 2. 2) a) D’après la question 1), pour tout entier naturel n, 1 ⩽un < 2 et en particulier, pour tout entier naturel n, un ≠2. On en déduit que la suite (vn)n∈N est bien déﬁnie. Soit n un entier naturel. vn+1 = 1 un+1 −2 = 1 4 4 −un −2 = uploads/Marketing/ 02-suites-arithmetiques-geometriques.pdf