– DM N°1 – AUTOUR D’UN THÉORÈME DE TCHEBYCHEV PSI* 13-14 DM N°1 ( pour le 20/09
– DM N°1 – AUTOUR D’UN THÉORÈME DE TCHEBYCHEV PSI* 13-14 DM N°1 ( pour le 20/09/2013) Autour d’un théorème de Tchebychev concernant la répartition des nombres premiers. Introduction Étant donné un entier naturel n , on considère π(n) le nombre de nombres premiers compris entre 0 et n . Ce sujet s’intéresse au comportement de la suite (π(n))n∈N . Il est composé de deux grandes parties A et B. La partie A vise à établir l’encadrement suivant : (ln2) n lnn ⩽π(n) ⩽e n lnn valable pour tout n ⩾3. Elle est composée de deux sous-parties, A.I et A.II, consacrées respectivement à la minoration et à la majoration annoncées. Ce genre d’encadrement suggère l’existence d’un lien asymptotique fort entre les suites π(n) n et n lnn n . La partie B s’intéresse à cette question puisque son objectif principal est de montrer le résultat suivant : Théorème. (Tchebychev 1) S’il existe un réel c > 0 tel que π(n) ∼ n→+∞c n lnn alors nécessairement c = 1. Elle est composée de quatre sous-parties B.I, B.II, B.III et B.IV. C’est dans la partie B.III qu’on établit le théorème annoncé. La preuve qu’on en propose repose sur l’étude du comportement asymptotique de la suite X p premier ⩽n 1 p ! n . Cette étude est réalisée au début de la partie B.III. Les parties B.I et B.II sont consa- crées à l’établissement de formules importantes pour la suite. Dans la partie B.I on établit une formule due à Legendre 2 qui donne l’expression de la valuation p -adique de n!. Dans la partie B.II on démontre un théorème de Mertens 3 qui précise le comportement asymptotique de la suite X p premier ⩽n lnp p ! n . La par- tie B.IV est une application de la formule asymptotique trouvée dans la partie B.III. On y étudie la densité de l’ensemble des entiers possédant de grands facteurs premiers. À la fin du sujet, une note documentaire met en perspective, d’un point de vue historique, le théorème de Tchebychev démontré ici. Sa lecture n’est pas essentielle au bon traitement du sujet. Les parties de ce problème ne sont pas indépendantes entre elles. NOTATIONS ET RAPPELS : • On note P l’ensemble des nombres premiers. • Si E est un ensemble, on note #E le cardinal de cet ensemble, c’est-à-dire le nombre d’éléments de E. • Si x est un nombre réel, on note ⌊x⌋sa partie entière, c’est-à-dire le plus grand entier inférieur ou égal à x ; autrement dit, ⌊x⌋est l’unique élément de Z vérifiant : ⌊x⌋⩽x < ⌊x⌋+ 1 • On rappelle que, si a et b sont deux nombres entiers tels que 0 ⩽b ⩽a , le coefficient binomial a b est égal à a! (a −b )!b !· 1. Pafnouti Lvovitch Tchebychev, mathématicien russe, Okatovo 1821 – Saint-Pétersbourg 1894. 2. Adrien-Marie Legendre, mathématicien français, Paris 1752 – Auteuil 1833. 3. Franz Mertens, mathématicien autrichien, 1840 – 1927. Problèmes – © T.LEGAY – Lycée d’Arsonval 1/9page.9 28 septembre 2013 – DM N°1 – AUTOUR D’UN THÉORÈME DE TCHEBYCHEV PSI* 13-14 • Si (un)n et (vn)n désignent deux suites numériques, on notera un ∼ n→+∞vn ou plus simplement un ∼vn , pour dire que ces suites sont équivalentes. On notera un = o(vn) pour dire que la suite (un)n est négligeable devant la suite (vn)n et enfin on notera un = O(vn) pour dire que la suite (un)n est dominée par la suite (vn)n , c’est-à-dire qu’il existe un réel c et un entier n0 tels que, pour tout n ⩾n0 on ait |un| ⩽c |vn|. • Pour tout entier naturel n , on note π(n) le nombre de nombres premiers compris dans l’intervalle [[0,n]] ; ainsi, on a π(0) = π(1) = 0, π(3) = 2, π(4) = 2 etc. Pour tout entier n ⩾1, on note δ(n) = π(n)−π(n −1), de sorte que si l’on pose δ(0) = 0, on voit que δ est la fonction caractéristique de P dans N (c’est-à-dire δ(n) = 1 si n est premier et δ(n) = 0 sinon). • Dans tout le texte la lettre p désignera toujours et exclusivement un nombre premier , ceci y compris lorsque la lettre p sera utilisée comme symbole d’indice d’une somme ou d’un produit. Par exemple, la notation X p⩽x 1 p désigne la somme des inverses des nombres premiers inférieurs ou égaux au nombre réel x . • Étant donnés un entier n ⩾1 et un nombre premier p , on appelle valuation p -adique de n l’entier noté vp(n) et égal à l’exposant de p dans la décomposition en facteurs premiers de n . Par exemple, si l’on prend n = 350 = 2 · 52 · 7 on a v2(350) = 1, v3(350) = 0, v5(350) = 2, v7(350) = 1 et vp(350) = 0 pour tout nombre premier p ⩾11. On admettra les propriétés (élémentaires) suivantes : – vp(n) est l’unique entier k tel que p k divise n et p k+1 ne divise pas n . – Pour tout n ⩾1 fixé, la suite vp(n) p∈P est nulle à partir d’un certain rang, de sorte que l’on peut écrire n = Y p∈P p vp (n), ce produit pouvant être considéré comme un produit fini. Cette écriture est la décomposition de n en facteurs premiers. – Pour tous n,m entiers naturels non nuls et tout p ∈P , on a vp(mn) = vp(n) + vp(m). – Pour tous n,m entiers naturels non nuls et tout p ∈P , on a vp pgcd(m,n) = min vp(m),vp(n) et vp ppcm(m,n) = max vp(m),vp(n) . Aucune preuve de ces quatre résultats n’est demandée. PARTIE A : Une estimation à la Tchebychev I. Une minoration de la fonction π On considère, pour tout entier n ⩾1, l’entier ∆n = ppcm(1,2,...,n). Dans cette partie, nous allons établir une minoration de ∆n puis en déduire une minoration de π(n). On considère a,b ∈N vérifiant 1 ⩽b ⩽a et l’on pose : I(b,a) = Z 1 0 x b−1(1−x)a−b dx . A.I.1. A.I.1.a. Expliciter I(1,a) en fonction de a . A.I.1.b. Montrer que si b < a alors I(b + 1,a) = b a −b I(b,a). A.I.1.c. En déduire que I(b,a) = 1 b a b · Problèmes – © T.LEGAY – Lycée d’Arsonval 2/9page.9 28 septembre 2013 – DM N°1 – AUTOUR D’UN THÉORÈME DE TCHEBYCHEV PSI* 13-14 A.I.2. On se propose dans cette question de donner une autre méthode pour calculer I(b,a). On consi- dère un réel y ∈[0,1[. A.I.2.a. En utilisant la formule du binôme de Newton, montrer que : Z 1 0 (1−x + x y )a−1 dx = a X k=1 a −1 k −1 y k−1I(k,a). A.I.2.b. En déduire que I(b,a) = 1 b a b = 1 a a−1 b−1 · A.I.3. A.I.3.a. Montrer que I(b,a) = a−b X k=0 (−1)k a −b k 1 k + b · A.I.3.b. En déduire que l’entier b a b divise l’entier ∆a . A.I.4. Soit n ⩾1 un entier. A.I.4.a. Montrer que les entiers n 2n n et (2n + 1) 2n n divisent l’entier ∆2n+1 . (Indication : on remarquera que, pour tout k ⩾1, ∆k divise ∆k+1 ). A.I.4.b. En déduire que l’entier n(2n + 1) 2n n divise ∆2n+1. (Indication : on remarquera que les entiers n et 2n + 1 sont toujours premiers entre eux.) A.I.4.c. Montrer que pour tout k ∈[[0,2n]] on a l’inégalité : 2n k ⩽ 2n n . A.I.4.d. En déduire que (2n + 1) 2n n ⩾4n . (Indication : on développera l’égalité (1+ 1)2n = 4n .) A.I.4.e. En déduire que ∆2n+1 ⩾n4n . A.I.4.f. Montrer que si n ⩾9 alors ∆n ⩾2n et vérifier que cette inégalité est encore vraie pour n = 7 et n = 8. A.I.5. Soit n ⩾1 un entier. A.I.5.a. Soit p ∈P ; montrer que p vp (∆n) ⩽n . (Indication : on commencera par exprimer vp(∆n) en fonction de vp(1),...,vp(n).) A.I.5.b. Montrer que ∆n = Y p⩽n p vp (∆n) . A.I.5.c. En déduire que ∆n ⩽nπ(n) . A.I.6. A.I.6.a. Montrer que pour tout n ⩾7 on a π(n) ⩾(ln2) n lnn · A.I.6.b. Pour quels entiers n ∈{2,3,4,5,6} l’inégalité de la question précédente est-elle encore vraie ? II. Une majoration de la fonction π A.II.1. On cherche dans cette question à majorer simplement le produit Y p⩽n p en fonction de l’entier n ⩾1. Problèmes – © T.LEGAY – Lycée d’Arsonval 3/9page.9 28 septembre 2013 – DM N°1 – AUTOUR D’UN THÉORÈME DE TCHEBYCHEV PSI* 13-14 A.II.1.a. Soient a et b deux entiers tels que 0 < b 2 ⩽a < b . Montrer que le produit Y a<p⩽b p divise l’entier b a (le produit considéré est supposé être égal à 1 dans le cas où il n’y aurait pas de nombre premier dans l’intervalle ]a,b uploads/Marketing/ dm1-2013.pdf
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- Publié le Oct 04, 2022
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