Sommes, produits, récurrence ECE3 Lycée Carnot 18 septembre 2010 Pour ce deuxiè
Sommes, produits, récurrence ECE3 Lycée Carnot 18 septembre 2010 Pour ce deuxième chapitre, un peu de théorie, puisque celui-ci va nous permettre de dé nir quelques notations et méthodes supplémentaires qui nous seront bien utiles par la suite (ou peut- être devrais-je dire plutôt pour les suites, puisqu'il s'agit du premier thème faisant intervenir de façon assez intensive le symbole somme et les récurrences). 1 Symbole Σ et propriétés La somme est l'opération la plus élémentaire qui soit en mathématiques, vous l'utilisez d'aileurs fréquemment depuis une bonne dizaine d'années maintenant. Mais autant sommer deux ou trois nombres est chose aisée, autant l'aaire se complique quand on a besoin de faire la somme d'un grand nombre de termes (voire même d'une in nité, comme on le verra un peu plus tard). Plutôt que de recourir à des petits points à la fois peu rigoureux et ine caces, on utilise une notation un peu plus complexe au premier abord, mais qui simpli e grandement les calculs une fois maîtrisée. Dé nition 1. Le symbole X signi e somme . Plus précisément, la notation i=7 X i=2 ai se lit par exemple somme pour i variant de 2 à 7 des ai et peut se détailler de la façon suivante : i=7 X i=2 ai = a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7. Exemples : On notera i=5 X i=1 i2 = 12 + 22 + 32 + 42 + 52 = 55. Dans l'autre sens, 2 + 4 + 6 + · · · + 30 = i=15 X i=1 2i. Remarque 1. • Les bornes choisies, 2 et 7, ne sont que des exemples, on peut prendre n'importe quoi, y compris des bornes variables, par exemple i=n2 X i=n ai = an + an+1 + an+2 + · · · + an2−1 + an2. Par contre, la borne de départ doit toujours être plus petite que la borne d'arrivée (sinon la somme est nulle). • La lettre i est une variable muette, autrement dit on peut la changer par n'importe quelle autre lettre sans changer la valeur de la somme. On choisit traditionnellement les lettres i, j, k, etc. pour les indices de sommes. • Dans une somme, la variable muette prend toujours toutes les valeurs entières comprises entre la valeur initiale et la valeur nale. 1 Exemple : i=n X i=2 a = (n −1)a (faites bien attention au nombre de termes que contient la somme...). Proposition 1. Règles de calcul sur les sommes. On a le droit d'eectuer les opérations suivantes : • factoriser par une constante : i=n X i=0 axi = a i=n X i=0 xi • séparer ou regrouper des sommes de mêmes indices : i=n X i=0 ai + bi = i=n X i=0 ai + i=n X i=0 bi • séparer les indices en deux (relation de Chasles) : i=n X i=0 ai = i=p X i=0 ai + i=n X i=p+1 ai • faire un changement d'indice : i=n X i=1 ai = j=n−1 X j=0 aj+1 (on a posé j = i −1) Remarque 2. Tenter de simpli er d'une façon ou d'une autre i=n X i=0 aibi est par contre une très bonne manière de s'attacher la rancoeur tenace de votre professeur ; les sommes et produits ne font pas bon ménage. 2 Démonstration par récurrence La démonstration par récurrence est un schéma de démonstration que nous utiliserons extrême- ment souvent cette année, et qu'il est donc essentiel de maîtriser parfaitement. Réaliser une bonne récurrence n'est pas très compliqué si on se force à bien en respecter la structure, la rigueur est donc de mise pour ne pas dire de bêtise ! Proposition 2. Principe de récurrence : On cherche à prouver simultanément un ensemble de propriétés Pn dépendant d'un entier naturel n. On procède de la manière suivante, qui devront être apparentes dans la rédaction de notre récurrence : • Énoncé clair et précis des propriétés Pn et du fait qu'on va réaliser une récurrence. • Initialisation : on véri e que P0 est vraie (habituellement un calcul très simple). • Hérédité : on suppose Pn vraie pour un entier n quelconque (c'est l'hypothèse de récurrence) et on prouve Pn+1 à l'aide de cette hypothèse (si on n'utilise pas l'hypothèse de récurrence, c'est qu'on n'avait pas besoin de faire une récurrence !). • Conclusion : En invoquant le principe de récurrence, on peut a rmer avoir démontré Pn pour tout entier n. Proposition 3. • ∀n ∈N, i=n X i=0 i = n(n + 1) 2 • ∀n ∈N, i=n X i=0 i2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 • ∀n ∈N, i=n X i=0 i3 = n2(n + 1)2 4 = i=n X i=1 i !2 • ∀q ̸= 1, ∀n ∈N, k=n X k=0 qk = 1 −qn+1 1 −q Exemple 1 : Calcul de la somme des entiers. • Nous allons démontrer par récurrence que la propriété Pn : i=n X i=0 i = n(n + 1) 2 est vraie pour tout entier n. 2 • Pour n = 0, nous avons i=n X i=0 i = 0 et 0(0 + 1) 2 = 0, donc P0 est vraie. • Supposons Pn vraie pour un entier n quelconque, c'est-à-dire que i=n X i=0 i = n(n + 1) 2 . On peut alors eectuer le calcul suivant : n+1 X i=0 i = i=n X i=0 i+n+1 = n(n + 1) 2 +n+1 = n(n + 1) + 2(n + 1) 2 = (n + 1)(n + 2) 2 , ce qui prouve Pn+1. • D'après le principe de récurrence, nous pouvons donc a rmer que, ∀n ∈N, i=n X i=0 i = n(n + 1) 2 . Exemple 2 : Calcul de la somme des carrés des entiers. Nous allons prouver par récurrence la propriété Pn : i=n X i=0 i2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 . Pour n = 0, nous avons i=n X i=0 i2 = 02 = 0, et 0(0 + 1)(2 × 0 + 1) 6 = 0, donc P0 est véri ée. Supposons désor- mais Pn vraie pour un entier n quelconque, on peut alors écrire i=n+1 X i=0 i2 = i=n X i=0 i2 + (n + 1)2 = n(n + 1)(2n + 1) 6 + (n + 1)2 = n(n + 1)(2n + 1) + 6(n + 1)2 6 = (n + 1)(n(2n + 1) + 6n + 6) 6 = (n + 1)(2n2 + 7n + 6) 6 = (n + 1)(n + 2)(2n + 3) 6 = (n + 1)((n + 1) + 1)(2(n + 1) + 1) 6 , donc Pn+1 est véri ée. D'après le principe de récurrence, on peut conclure que Pn est vraie pour tout entier naturel n. Exemple 3 : Calcul de la somme des cubes des entiers. Nous allons prouver par récurrence la propriété Pn : i=n X i=0 i3 = n2(n + 1)2 4 . Pour n = 0, nous avons i=n X i=0 i3 = 03 = 0, et 02(0 + 1)2 4 = 0, donc P0 est véri ée. Supposons désormais Pn vraie pour un entier n quelconque, on peut alors écrire i=n+1 X i=0 i3 = i=n X i=0 i3 + (n + 1)3 = n2(n + 1)2 4 + (n + 1)3 = n2(n + 1)2 + 4(n + 1)3 4 = (n + 1)2(n2 + 4n + 4) 4 = (n + 1)2(n + 2)2 4 , donc Pn+1 est véri ée. D'après le principe de récurrence, on peut conclure que Pn est vraie pour tout entier naturel n. Exemple 4 : Calcul de sommes géométriques. Nous allons prouver par récurrence la propriété Pn : k=n X k=0 qk = 1 −qn+1 1 −q . Pour n = 0, nous avons k=n X k=0 qk = q0 = 1, et 1 −q1 1 −q = 1, donc P0 est véri ée. Supposons désormais Pn vraie pour une entier n quelconque, on peut alors écrire k=n+1 X k=0 qk = k=n X k=0 qk+qn+1 = 1 −qn+1 1 −q +qn+1 = 1 −qn+1 + qn+1 −qn+2 1 −q = 1 −qn+2 1 −q , donc Pn+1 est véri ée. D'après le principe de récurrence, on peut conclure que Pn est vraie pour tout entier naturel n. 3 Remarque 3. Variations du principe de récurrence : Le monde mathématique n'étant pas parfait, une récurrence classique n'est hélas pas toujours su sante pour montrer certaines propriétés. Il faut donc être capable de modi er légèrement la structure dans certains cas : • si on ne cherche à montrer Pn que lorsque n ⩾n0 (n0 étant un entier xe dépendant du contexte), on peut toujours procéder par récurrence, mais en initialisant à n0. • il est parfois nécessaire que l'hypothèse de récurrence porte non pas sur une valeur de n, mais sur deux valeurs consécutives. On peut alors eectuer une récurrence double : on véri e P0 et P1 uploads/Marketing/ recurrence.pdf
Documents similaires
-
33
-
0
-
0
Licence et utilisation
Gratuit pour un usage personnel Attribution requise- Détails
- Publié le Jui 17, 2022
- Catégorie Marketing
- Langue French
- Taille du fichier 0.1201MB