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GROUPES FINIS. EXEMPLES ET APPLICATIONS. I. Généralités et outils des group

GROUPES FINIS. EXEMPLES ET APPLICATIONS. I. Généralités et outils des groupes finis [Per, Ch, p–] I. A. Vocabulaire des groupes finis D. [, -, , ] • (G, ◊) est un groupe si G est un ensemble muni d’une loi de composition interne ◊ associative,admettantunélémentneutre1ettellequetoutélémentadmetunélément inversible. G est dit commutatif ou abélien si xy = yx pour x, y œ G. G est dit fini s’il est de cardinal fini. • H µ G est un sous-groupe de G s’il est stable pour la loi de G et que c’est un groupe pour la loi induite. • „ : G ≠ æ GÕ est un morphisme de groupes si G, GÕ sont des groupes et si „(g1g2) = „(g1)„(g2) pour tout g1, g2 œ G. • Pour g œ G, on appelle ordre d’un élément g œ G le plus petit entier n non nul tel que gn = 1. On le note o(g) et on a |ÈgÍ| = o(g). E. Z/nZ, Sn sont des groupes finis. L’ordre de 1 est n, l’ordre de (a1 a1 . . . a¸) est ¸. Soit (G, .) un groupe fini d’ordre n œ Nú. D. [] Pour H < G, on définit G/H = {gH | g œ G} l’ensemble des classes à gauche modulo H. On note [G : H] = |G/H|. T. [L] L’ordre de tout sous-groupe de G divise n. En particulier, l’ordre d’un élément de G divise n. E. Pour g œ G, on a o(g) | n. D. [, , ] H < G est dit distingué si pour tout g œ G, gH = Hg. Dans ce cas, on note alors H C G et on remarque que G/H est muni naturellement d’une structure de groupe. E. Si [G : H] = 2, H est distingué dans G. D. [] G est dit cyclique si G = ÈgÍ pour un g œ G (on rappelle que G est fini). R. Un groupe cyclique est abélien. E. Le groupe Un des racines n-ièmes de l’unité est cyclique d’ordre n. D. [’] On note e(G) le PPCM des ordres des éléments de G. E. Si G est abélien, il existe g œ G tel que o(g) = e(G). I. B. Actions de groupes D. [’, ] On dit que G opère à gauche sur X si on a une application G ◊X ≠ æ X, (g, x) ‘≠ æ g.x telle que ’g, h œ G, ’x œ X, g.(h.x) = (gh).x et ’x œ X, 1.x = x. Pour x œ X, on appelle orbite de x et on note O(x) l’ensemble G.x = {g.x | x œ X}. On note O l’ensemble des orbites de X. C’est une partition de X. On appelle stabilisateur de x œ X le groupe Stab(x) = {g œ G | g.x = x}. Pour g œ G, on note Fix(g) = {x œ X | g.x = x}. E. G opère sur lui-même par conjugaison : g.h = ghg≠1. On note Int(G) = {Int(g), g œ G} l’ensemble des automorphismes intérieurs de G, où Int(g) : h ‘≠ æ ghg≠1. On remarque alors que G agit sur tout sous-groupe distingué H de G par cette opération. Dans la suite de cette partie on suppose X fini. C. [] Si |G| < +Œ, choisissons pour chaque orbite O un représentant xO. Alors on a : |X| = ÿ OœO |O| = ÿ OœO |G| |Stab(xO)| A. Notons XG = {x œ X | ’g œ G, g.x = x} = {x œ X | Fix(x) = G}. Alors si G est un groupe d’ordre pk où p est premier et k > 1, on a - -XG- - © X mod p. E. [] Si G agit par conjugaison sur lui-même, notons Zh(G) = ) g œ G | ghg≠1 = h * . Alors |G| = |Z(G)| + ÿ OœO | |O|Ø2 |G| |ZxO(G)|. A. Le centre d’un groupe d’ordre pk où p est premier et k Ø 1 est non trivial. ÉNS Paris-Saclay – / Antoine B– https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page sur Agrégation – Leçons – Groupes finis. Exemples et applications. I. C. Sous-groupes de S Soit p un nombre premier diviseur de n œ Nú. On notera n = pam où p - m. D. [p-, p--S] Si n est une puissance de p (m = 1), on dit que G est un p-groupe. Plus généralement, on appelle p-sous-groupe de S(ou p-S) un sous-groupe de G de cardinal pa. T. [S] Il existe au moins un p-Sdans G. C. Il existe au moins un sous-groupe de G d’ordre pi pour tout i œ J1, aK. T. [S] (i) Si H < G est un p-groupe, alors il existe un p-SS tel que H < S, (ii) Les p-Sde G sont tous conjugués, (iii) Notons Σ le nombre de p-Sde G. Alors Σ | m et Σ © 1 mod p. A. Un groupe d’ordre 40 a 4 éléments d’ordre 5. C. Soit S un p-Sde G. Alors S C G ≈ ∆S est l’unique p-Sde G. A. Tout groupe d’ordre 63 ou 255 n’est pas simple. II. Exemples fondamentaux Soit n œ Nú et p un entier premier. II. A. Le groupe Z/nZ [Rom, §., p–] D. [Z/nZ] En remarquant que nZ est distingué dans Z, on définit le groupe quotient Z/nZ. P. Z/nZ est cyclique, de générateurs les d tels que d · n = 1. P. Tout groupe cyclique d’ordre n est isomorphe à Z/nZ. E. Un groupe de cardinal p est isomorphe à Z/pZ. P. [Per, §., p] On a Aut(Z/nZ) ƒ (Z/nZ)◊. En particulier, Aut(Z/nZ) est abélien de cardinal Ï(n). De plus, Aut(Z/pZ) ƒ (Z/pZ)◊ƒ (Z/(p ≠1)Z). II. B. Le groupe Sn [Rom, Ch, p] D. [Sn] On note Sn le groupe des permutations de J1, nK. T. [C] Si G est d’ordre n, il est isomorphe à un sous-groupe de Sn. P. Les familles suivantes engendrent Sn : • les transpositions ((i j))1Æi<jÆn, • les transpositions ((1 i))2ÆiÆn, • les transpositions ((i i + 1))1ÆiÆn≠1, • la transposition (1 2) et le cycle (1 2 . . . n). P. Toute permutation ‡ de Sn se décompose en un produit de cycles à supports disjoints. Ce produit est unique à l’ordre des cycles près. En particulier, la suite (¸1, ¸2, . . . , ¸m) des longueurs des cycles est unique si on impose ¸1 Ø ¸2 Ø · · · Ø ¸m. On appelle cette suite le type de ‡. P. [Sn] Deux permutations de Sn sont conjuguées si et seulement si elles ont même type. P. Il existe deux morphismes de Sn dans Cú : l’identité et le morphisme E qui envoie toute transposition sur ≠1. D. On appelle E l’application signature. On définit le groupe alterné An comme étant le noyau de E. P. Pour n Ø 5, An est simple. C. Pour n Ø 5, les seuls sous-groupes distingués de Sn sont {Id}, An et Sn. ÉNS Paris-Saclay – / Antoine B– https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page sur Agrégation – Leçons – Groupes finis. Exemples et applications. III. Applications III. A. Constructions de groupes finis [Per, §., p] Idée : à partir des groupes que nous connaissons, créer des groupes finis « plus complexes ». D. [] • Soit G un groupe et N, H < G tels que N, H commutent, N ﬂH = {1} et G = NH. Alors on dit que G est le produit direct de N par H. • Soit N et H des groupes. Le produit direct de N et H est le produit cartésien G = N ◊H, muni de la loi (n, h).(nÕ, hÕ) = (nnÕ, hhÕ). L. [] Z/mnZ ƒ Z/mZ ◊Z/nZ si et seulement si m · n = 1. D. [-] • Soit G un groupe, N C G et H < G tel que N ﬂH = {1} et G = NH. Alors on dit que G est le produit semi-direct de N par H. • Soit N et H des groupes et „ : H ≠ æ Aut(N). On définit le produit (n, h).(nÕ, hÕ) = (n„(h)(nÕ), hhÕ) sur G = N ◊H. (G, .) estalors unegroupeappelé produitsemi-direct de N par H. On note G = N o„ H. E. Sn = An o Z/2Z et le produit n’est pas direct. E. Contre-exemple : Z/8Z et le groupe des quaternions H8 ne peuvent être écrits comme un produit semi-direct non trivial. III. B. Le groupe diédral [Aud, Ch/, p] [Rom, §../., p/] E. Isométries du plan conservant un segment [A, B] de centre O : Id l’identité, ﬂla rotation d’angle ﬁet de centre O, s la symétrie d’axe (AB), sﬂla symétrie d’axe la droite orthogonale à (AB) passant par O. On vérifie que ces isométries forment un groupe isomorphe au groupe de K(Z/2Z)2. D. [, ] Un déplacement (resp. antidéplacement) est un isomorphisme dont la partie linéaire est de déterminant (resp. -). Soit G groupe fini d’isométries. On uploads/Marketing/ abarrier-l104.pdf