Chapitre 23 : Variables aléatoires Dans tout ce chapitre, (Ω, p) désigne un esp

Chapitre 23 : Variables aléatoires Dans tout ce chapitre, (Ω, p) désigne un espace probabilisé fini. I. Généralités A) Définitions Une variable aléatoire est une application définie sur Ωà valeurs dans un ensemble E. Lorsque E ⊂R, on parle de variable aléatoire réelle. Définition 1 Remarque 1. On parle de variable aléatoire alors qu’il s’agit d’une fonction. Notation : On note généralement X une telle application : X : Ω → E w 7→ X(w) X(Ω) = {X(w) | w ∈Ω} est l’ensemble des valeurs prises par X. X(Ω) est appelé support de X, ou encore univers image. Définition 2 Remarque 2. Ωétant fini, X(Ω) est un ensemble fini. Ainsi : X(Ω) = {xj | j ∈J} où J est un ensemble de cardinal fini (plus précisément, card(J) ⩽card(Ω)). Exemple : Un sac contient 5 jetons indiscernables au toucher. Deux d’entre eux portent le chiffre 1, deux également le chiffre 2 et 1 portent le chiffre 3. On tire simultanément 2 jetons du sac. La somme des chiffres indiqués par les jetons tirés est une variable aléatoire X. Quelles valeurs peut-elle prendre ? Pour dénombrer tous les couplages possibles, on doit distinguer les jetons portant le même numéro. On les notera 1 et ¯ 1. On obtient alors : Ω= {1, ¯ 1}; {1, 2}; {1, 3}; {¯ 1, 2}; {¯ 1, 3}; {1, ¯ 2}; {¯ 1, ¯ 2}; {2, ¯ 2}; {2, 3}; {¯ 2, 3} . On en déduit que : X(Ω) = {2; 3; 4; 5} 1 B) Événements associés à une variable aléatoire Soit A une partie de E. Alors X−1(A) = {w ∈Ω| X(w) ∈A} est un événement de Ωque l’on note abusivement (X ∈A) ou {X ∈A}. Définition 3 Remarque 3. 1. Si A = {x}, alors X−1({x}) = {w ∈Ω| X(w) = x} noté aussi (X = x). 2. Si X est une variable aléatoire réelle, alors X−1(]a; +∞[) = {w ∈Ω| X(w) > a} noté plus simplement (X > a) 3. Soient a et b réels tels que a < b. Alors X−1([a; b[) = {w ∈Ω| a ⩽X(w) < b} noté plus simple- ment (a ⩽X < b). Exemple : On reprend l’exemple précédent avec Ω= {1, ¯ 1}; {1, 2}; {1, 3}; {¯ 1, 2}; {¯ 1, 3}; {1, ¯ 2}; {¯ 1, ¯ 2}; {2, ¯ 2}; {2, 3}; {¯ 2, 3} et que X(Ω) = {2; 3; 4; 5}. Alors, par exemple : — (X = 2) = X−1({2}) = {1, ¯ 1} — (X = 4) = {2, ¯ 2}; {1, 3}; {¯ 1, 3} — (X ⩾4) = (X = 4) ∪(X = 5) = {2, ¯ 2}; {1, 3}; {¯ 1, 3}; {2, 3}; {¯ 2, 3} Remarque 4. Très souvent, on ne précisera pas Ω. On se contentera de donner les valeurs que X peut prendre, c’est-à-dire, le support de X. Propriété 1. Les valeurs du support forment un SCE Soit X une variable aléatoire définie sur Ω. On note X(Ω) = {xj | j ∈J}. Alors : {(X = xj) | j ∈J} est un système complet d’événements Démonstration (Propriété 1) Remarque 5. Cette propriété très importante est souvent utilisée dans les exercices. Par exemple, si on a trouvé que X(Ω) = {x1, · · · , xn}, alors pour tout événement A, la formule des probabilités totale impliquera que : p(A) = n X k=1 p(X = xk)p(X=xk)(A) 2 C) Lois de probabilité de X Soit X une variable aléatoire. On appelle loi de probabilité de X ou distribution de probabilité de X l’application : pX : X(Ω) → [0; 1] x 7→ p(X = x) Définition 4 Remarque 6. On notera très souvent pi = p(X = xi). Donner la loi de X c’est donner X(Ω) et donner le tableau avec sur la première ligne les xi (xi étant les valeurs dans X(Ω)) et sur la deuxième ligne les pi . Exemple : On lance un dé deux fois et on étudie la somme des valeurs. Soit X la variable aléatoire désignant la somme obtenue. Déterminer la loi de X. Bien que ce ne soit pas demandé dans l’énoncé, il est clair que Ωest l’ensemble des 36 couples obtenus par les dés. Donc X(Ω) = {2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12}. La loi de X est donnée par le tableau suivant : xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 pi 1 36 2 36 3 36 4 36 5 36 6 36 5 36 4 36 3 36 2 36 1 36 Un sac contient 5 jetons indiscernables au toucher. Deux d’entre eux portent le chiffre 1, deux également le chiffre 2 et 1 portent le chiffre 3. On tire simultanément 2 jetons du sac. La somme des chiffres indiqués par les jetons tirés est une variable aléatoire X. Pour chaque valeur de X faire correspondre sa probabilité (on le fera dans un tableau). Exercice 1 Propriété 2. Soit X une variable aléatoire définie sur Ω. Alors : X x∈X(Ω) p(X = x) = 1 Démonstration (Propriété 2) Remarque 7. Cette propriété est très importante ! ! il faut toujours vérifier (sans l’écrire sur votre copie ...) que la somme des pi dans votre tableau fait bien 1. Exemple : On reprend l’exemple précédent. On avait pour X le tableau suivant : xi 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 pi 1 36 2 36 3 36 4 36 5 36 6 36 5 36 4 36 3 36 2 36 1 36 On a bien 1 36 + 2 36 + 3 36 + 4 36 + 5 36 + 6 36 + 5 36 + 4 36 + 3 36 + 2 36 + 1 36 = 1 Remarque 8. Assez souvent dans les exercices, on va utiliser le fait que p(X = xk) = p(X ⩽ xk) −p(X < xk) ou p(X = xk) = p(X ⩾xk) −p(X > xk), notamment lorsqu’on n’arrivera pas à trouver la valeur de p(X = xk) directement. 3 On considère une variable aléatoire X telle que X(Ω) = {0; 1; 2}. On suppose que p(X = 0) = 1 6 et p(X ⩽1) = 1 2. Déterminer la loi de X. Exercice 2 Lorsque deux variables aléatoires X et Y ont même distribution de probabilité, on note X ∼Y . X ∼Y ⇐ ⇒ X(Ω) = Y (Ω) et pX = pY Définition 5 Remarque 9. La relation ∼est une relation d’équivalence Soit X une variable aléatoire définie sur Ωet f une fonction définie sur X(Ω). Alors f ◦X est une variable aléatoire définie sur Ωque l’on notera f(X) ou f ◦X appelée image de X par f. Définition 6 Remarque 10. Soit X(Ω) = {x1, · · · , xn} ➤(f ◦X)(Ω) = {f(x1) · · · , f(xn)} = {f1, . . . , fp} où les fi sont distincts. ➤De plus, p(f ◦X = fi) = P k|f(xk)=fi p(X = xk). ➤Enfin, X ∼Y = ⇒ f(X) ∼f(Y ) Exemple : On lance un dé équilibré à 6 faces numérotées −3, −2, −1, 0, 1 et 2. On considère la variable aléatoire X égale au numéro de la face tirée. 1. Quelle est la loi de probabilité de X ? On récence toutes les issues : X(Ω) = {−3, −2, −1, 0, 1, 2} et par équiprobabilité : xi −3 −2 −1 0 1 2 pi 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 1 6 2. Soit Y la variable aléatoire définie par Y = X2. Déterminer la loi de probabilité de Y . De même, Y (Ω) = {0, 1, 4, 9} et yi 0 1 4 9 pi 1 6 2 6 2 6 1 6 En effet, par exemple p(Y = 4) = p(X = −2) + p(X = 2). 4 II. Moments d’une variable aléatoire A) Espérance mathématique Soit X une variable aléatoire scalaire (à valeurs dans R ou C) définie sur Ω. On appelle espérance de X le scalaire défini par : E(X) = X w∈Ω X(w)p({w}) L’espérance de X est également appelée moment d’ordre 1 de X. Définition 7 Propriété 3. Autres écritures de l’espérance Soit X une variable aléatoire scalaire définie sur Ω= {x1, · · · , xn}. Alors : E(X) = X x∈X(Ω) x p(X = x) = n X i=1 xi p(X = xi) = n X i=1 pi xi Démonstration (Propriété 3) Remarque 11. ➤L’espérance est un indicateur de position. ➤La notion d’espérance mathématique correspond à la notion intuitive de moyenne des xi pon- dérée par la probabilité d’apparition des xi, c’est-à-dire pi. ➤L’espérance d’une variable aléatoire scalaire constante vaut cette constante (E(X) = X). Exemple : On lance un dé équilibré à 6 faces numérotées −3, −2, −1, 0, 1 et 2. On considère la variable aléatoire X égale au numéro de la face tirée. Déterminer l’espérance de X. On rappelle que X(Ω) = {−3, −2, −1, 0, 1, uploads/Marketing/ chap23-variables-ame-atoires.pdf

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• Publié le Oct 17, 2021
• Catégorie Marketing
• Langue French
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