CPA Marrakech 2020-2021 Devoir Libre : -Les espaces Lp- 1 Construction et compl
CPA Marrakech 2020-2021 Devoir Libre : -Les espaces Lp- 1 Construction et compl´ etude : Soit pX, µq un espace mesur´ e, et f : X Ñ C mesurable. Pour 1 ¤ p 8, on d´ efinit : }f}p : » X |f|pdµ 1 p , }f}8 : inftM ¡ 0; |f| ¤ Mp pu en convenant que p 8q 1 p 8 et inf H 8. On d´ efinit L ppµq : tf : X Ñ C mesurable ; }f}p 8u , L 8pµq : tf : X Ñ C mesurable ; }f}8 8u Exercice 1 Soit p P r1, 8s, pour quelles valeurs de a, b P R a-t-on fa,bpxq : 1 xa lnpxqb1re, 8rpxq P L ppRq? On traitera les diff´ erents cas qui se pr´ esentent, et on pourra utiliser pour certains d’entre eux d dt ln1β t 1 β 1 t lnβ t, d dtplnpln tqq 1 t ln t Remarque : Dans le cas d’une int´ egration sur s0, 1r, on se ram` ene au cas pr´ ec´ edent par inversion de la variable. Th´ eor` eme 1 : (In´ egalit´ e de H¨ older) Soient f, g : X Ñ R mesurables, et p, q ¥ 1 tels que 1 p 1 q 1. Alors : }fg}1 ¤ }f}p}g}q. Si ces quantit´ es sont finies, il y a ´ egalit´ e si et seulement si |f|p λ|g|q pour un certain λ P R . Exercice 2 In´ egalit´ e d’interpolation Soit 1 ¤ p q 8 et f P L ppµq X L qpµq 1. Montrer que, pour tout r Psp, qr f P L rpµq et }f}r ¤ }f}θ p}f}1θ q O` u θ Ps0, 1 r est d´ efini par 1 r θ p 1θ q . 2. Soit f : R Ñ R mesurable. Que peut-on dire de la nature g´ eom´ etrique et topologique de l’ensemble : tp P r1, 8 r; f P L ppRqu? Th´ eor` eme 2 : (In´ egalit´ e de Minkowski) Soit p P r1, 8 r, f, g P L ppµq. Alors 1. f g P L ppµq et }f g}p ¤ }f}p }g}p. 2. De plus : si p ¡ 1, il y a ´ egalit´ e si et seulement si g 0µp.p. ou f λg pour un certain λ P R si p 1, il y a ´ egalit´ e si et seulement si f¯ g ¥ 0 µ p.p. L’in´ egalit´ e de Minkowski prouve (entre autre !) que L ppµq est un espace vectoriel. Il faut travailler encore un peu plus pour obtenir la structure d’EVN : 1 CPA Marrakech 2020-2021 } }p n’est pas une norme sur L ppµq. On d´ efinit donc une relation d’´ equivalence sur L p : f g ð ñ f g µ p p Cette relation est compatible avec l’addition et la multiplication par un scalaire, on peut donc munir l’ensemble des classes d’´ equivalence : Lppµq : L ppµq{ d’une structure de C-espace vectoriel. Comme f g ñ }f}p }g}p, on peut d´ efinir } }p sur Lppµq, et cela en fait un espace vectoriel norm´ e. Th´ eor` eme 3 : (Riesz-Fisher) Soit 1 ¤ p ¤ 8. pLppµq, } }pq est un espace de Banach. Exercice 3 Le but de cet exercice est de d´ emontrer le th´ eor` eme de Riesz-Fischer. 1. Traiter le cas p 8. 2. Soit 1 ¤ p 8 et pfnqnPN une suite de Cauchy de Lppµq. (a) Justifier l’existence d’une sous-suite pfnkqkPN telle que pour tout k P N : fnk 1 fnk p ¤ 1 2k (b) On pose gkpxq : °k i1 fni 1pxq fnipxq . Montrer que pgkpxqqkPN converge presque surement vers une limite finie gpxq et montrer que la fonction g ainsi d´ efinie presque partout appartient ` a Lppµq. (c) En d´ eduire que pfnkpxqqk converge presque surement vers une limite fpxq, que celle-ci d´ efinit un ´ el´ ement de Lppµq, limite de pfnqn dans cet espace. Au cours de la preuve on a ´ etabli le th´ eor` eme suivant : Th´ eor` eme 4 : (R´ eciproque partielle du th´ eor` eme de convergence domin´ ee) Soit 1 ¤ p ¤ 8 et pfnqnPN une suite de Lppµq qui admet une limite f dans ce mˆ eme espace. Alors il existe g P Lppµq et une sous-suite pfnkqkPN telle que : fnk Ý Ñ kÑ8 f µ p.p. @k P N |fnk| ¤ |g| µ p.p. Exercice 4 La convergence presque partout n’est pas in topologisable 1. Construire une suite pfnqnPN de L1ps0, 1rq qui converge dans cet espace, mais pas presque partout. 2. En d´ eduire qu’il n’existe pas de topologie sur l’espace des fonctions telle que la convergence au sens de cette topologie coincide avec la convergence presque partout. 2 Quels liens entre les espaces Lp ? Exercice 5 Inclusions D´ emontrer que si µpXq 8 alors les espaces Lppµq s’injectent continument par ordre d´ ecroissant d’exposant. 2 CPA Marrakech 2020-2021 Pour p q P r1, 8s, d´ emontrer que LppRq LqpRq n’est jamais vrai. Que dire dans le cas des ℓppNq? Exercice 6 Topologie Constuire une suite de de L1pRq X L2pRq, convergente dans L1pRq et pas dans L2pRq, une autre convergente dans L2pRq et pas dans L1pRq. Remarque : De mani` ere plus g´ en´ erale, pour p q, les deux normes } }p et } }q ne d´ efinissent jamais la mˆ eme topologie sur LppRq X LqpRq. Exercice 7 Pourquoi la notation L8? Soit Ωun ouvert born´ e de Rn. 1. Soit f P L8pΩq X LppΩq, pour tout p ¥ 1. montrer que : }f}8 lim pÑ8 }f}p Remarque : Ce r´ esultat s’´ etend bien sur au cas d’une mesure finie quelconque. 2. Montrer que si il existe C tel que }f}p ¤ C pour tout p P r1, 8 r , alors f P L8. 3. En utilisant la fonction ln sur s0, 1r, montrer que le r´ esultat pr´ ec´ edent n’est plus vrai si l’on suppose simplement que f P LppΩq pour tout p P r1, 8r. 3 Sous-espaces denses dans les LppΩq : On rappelle le : Lemme 1 : Lemme fondamental d’approximation : Soit f : pX, A q Ñ R, R ou C, mesurable. Il existe une suite pfnqn¥1 de fonctions ´ etag´ ees, telle que, pour tout x P X, limnÑ 8 fnpxq fpxq. En outre, 1. Si f ¥ 0, on peut choisir la suite pfnqn¥1 croissante et positive. 2. Si f est born´ ee, on peut choisir la suite pfnqn¥1 de sorte qu’il y est convergence uniforme sur X. Remarque : L ’essentiel de la d´ emonstration repose sur l’approximation d’une fonction mesu- rable positive par les sommes : n2n1 ¸ k0 k 2n1t k 2n ¤fpxq k 1 2n upxq n1tfpxq¥nupxq Exercice 8 (Densit´ e des fonctions en escaliers et des fonctions continues) Soit p P r1, 8r . 1. V´ erifier que l’ensemble des fonctions ´ etag´ ees de LppRq est dense dans LppRq. 2. On souhaite prouver la densit´ e des fonctions en escaliers (combinaisons lin´ eaires finies d’indicatrices d’intervalles). (a) Prouver qu’il suffit d’approcher les indicatrices 1A, avec A mesurable de mesure finie. (b) Soit 1A une telle indicatrice, en utilisant la r´ egularit´ e ext´ erieure de la mesure de Lebesgue, approcher 1A par une suite p1OnqnPN d’indicatrices d’ouverts born´ es. Ap- procher ensuite celles-ci par des indicatrices d’intervalles (penser aux composantes connexes.) et conclure. 3. En d´ eduire que l’ensemble des fonctions continues ` a support compact est ´ egalement dense dans LppRq 3 CPA Marrakech 2020-2021 Remarque 1 : On peut obtenir les mˆ emes r´ esultats dans Rd. D’autre part, on peut d´ emontrer directement la densit´ e des fonctions Lipschiztiennes. Remarque 2 : En r´ ealit´ e il existe un r´ esultat de densit´ e beaucoup plus puissant : C 8 c pΩq, l’ensemble des fonctions infiniment d´ erivables et ` a support compact dans un ouvert Ω Rd, est non vide (ce qui n’est trivial a priori !) et dense dans tous les LppΩq, pour p 8. L’outil fondamental permettant d’aboutir ` a ces r´ esultats est la convolution. Exercice 9 Applications 1. Soit f P Lp fix´ ee. Montrer que }τyf f}p Ý Ñ yÑ0 0, o` u τyfpxq fpx yq. 2. Soit f P L1pRq, et ˆ f sa transform´ ee de Fourier. Montrer que : lim |ξ|Ñ8 ˆ fpξq 0 4 uploads/Marketing/ devoir-libre-integ.pdf
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- Publié le Aoû 02, 2021
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