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ALGEBRE ET PROBABILITE CHAPITRE 1 I- GENERALITES SUR LES MATRICES 1) Définition

ALGEBRE ET PROBABILITE CHAPITRE 1 I- GENERALITES SUR LES MATRICES 1) Définitions Un tableau rectangulaire ayant n lignes et p colonnes de la forme ci-dessous est appelé : matrice. L’élément ou coefficient de la matrice se trouve à l’intersection de la ième ligne et la jème colonne. La matrice s’écrit également sous la forme : Une matrice ayant n lignes et p colonnes est appelée matrice de dimension L’ensemble des matrices de dimension est notée : Remarque :  Si alors la matrice est dite matrice carrée d’ordre n. Dans ce cas les éléments aii forment la diagonale principale de la matrice carrée  Si alors la matrice est dite matrice rectangulaire d’ordre  Si alors la matrice est dite matrice ligne  Si alors la matrice est dite matrice colonne Exemple : matrice carrée d’ordre 3 ; matrice rectangulaire d’ordre ; matrice ligne; matrice colonne. Page 1 CALCULS MATRICIELS ALGEBRE ET PROBABILITE 2) Matrices particulières : a) Matrice nulle Une matrice nulle est une matrice dont tous les éléments sont nuls. Elle est notée : b) Matrice diagonale Une matrice carrée est dite diagonale si tous ses éléments non diagonaux sont nuls. Exemple : ; sont des matrices diagonales c) identité ou matrice unité Une matrice carrée d’ordre n ne comportant que des 1 sur la diagonale principale et des 0 partout ailleurs, est notée et est appelée : matrice unité ou matrice identité. Exemple : : matrice identité d’ordre 2 , : matrice identité d’ordre 3. d) Matrice triangulaire Une matrice triangulaire est une matrice carrée dont les éléments au-dessous (respectivement au- dessus) de la diagonale principale sont tous nuls. Exemple : : matrice triangulaire supérieure ; : matrice triangulaire inférieure e) Matrice symétrique Une matrice symétrique est une matrice carrée dont les éléments symétriques par rapport à la diagonale principale sont égaux. Page 2 ALGEBRE ET PROBABILITE Exemple : est une matrice symétrique d’ordre 3. f) Matrice transposée Définition On appelle matrice transposée de la matrice A, notée : , toute matrice obtenue en échangeant les lignes et les colonnes du même ordre entre elles. Exemple : , ; , Propriété 1: Une matrice carrée A est symétrique si et seulement si Exemple : : la matrice A est symétrique Propriété 2 : Soient , , trois matrices et . II-Opérations sur les matrices : 1. Égalité de deux matrices Soient et deux matrices toutes deux de même dimension . et sont égales si et seulement si Page 3 ALGEBRE ET PROBABILITE 2) Addition de deux matrices Définition Soient deux matrices et , toutes deux de dimension . On additionne terme à terme pour obtenir : de dimension . Exemple : et calculer Propriétés : Soient , et trois matrices de dimension et O la matrice nulle de dimension . (Associativité) (Élément neutre) (Opposé) (Commutativité) Remarque : 3) Multiplication d’une matrice par un scalaire Définition Soient une matrice de dimension et .On définit la matrice comme la matrice dont tous les coefficients sont multipliés par : Exemple : et calculer Remarque : Propriétés : Soient et deux matrices de dimension et , deux réels.. Page 4 ALGEBRE ET PROBABILITE et (ne pas confondre le réel et la matrice nulle) 4) Produit de matrices Définition Soient une matrice et une matrice . Le produit de par est la matrice de dimension et s’écrit : , pour et . Remarque :  Le produit n’est possible que si le nombre de la matrice est égal au nombre de colonne de la matrice .  L’expression s’obtient à partir de la ligne de et de la colonne de la matrice : on dit que l’on fait le produit « ligne par colonne » Page 5                       kp ki k k b b b b ... ... 2 1 q lignes kième ligne P colonnes                     ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2 1 pj ij j j a a a a           n colonnes p lignes jième colonne                 .... ... kj c n colonnes q lignes ALGEBRE ET PROBABILITE Exemple : et calculer Propriétés : Soient , , , et . Remarques :  En général, le produit de deux matrices n’est pas commutatif : - Si existe, alors n’existe pas forcément. - Si existe, alors généralement .  APPLICATION : On considère les matrices suivantes : et Déterminer la matrice : III-DETREMINANT D’UNE MATRICE CARREE 1) Définition On appelle déterminant d’une matrice carrée d’ordre , le nombre réel noté tel que 2)Calcul du déterminant d’une matrice carrée  Cas d’une matrice carrée 2 : Page 6 ALGEBRE ET PROBABILITE Soit une matrice carrée d’ordre 2. Alors Exemple : Soit la matrice . Calculer .  Cas d’une matrice carrée d’ordre 3 : Règle de SARRUS Soit la matrice carrée d’ordre 3. Alors On recopie à la suite du déterminant de la matrice A, les deux premières colonnes(ou les deux premières lignes) puis, on effectue le calcul : les éléments dont le produit doit être affecté du signe (+) sont ceux situés sur les « parallèles à la diagonale principale» tandis que ceux affecté du signe (-) sur les « parallèles à la diagonale non principale» Disposition pratique : Exemple : Soit la matrice . Calculer .  Déterminant d’une matrice triangulaire et diagonale : Le déterminant d’une matrice triangulaire et diagonale est égal au produit des éléments diagonaux : Exemple : Soient les matrices et Calculer et  Cas général : MÉTHODE DES COFACTEURS L’astuce consiste à se ramener à des déterminants d’ordre inférieur jusqu’à obtenir des déterminants d’ordre 2. Pour cela, on développe le déterminant suivant une ligne ou une colonne. Page 7 ALGEBRE ET PROBABILITE Soit : un déterminant d’ordre n. On a : développement suivant la ligne. développement suivant la colonne. Où : est le cofacteur de l’élément : et est le mineur de l’élément c’est-à-dire le déterminant d’ordre extrait de la matrice après suppression de la ligne et de la colonne. Exemple : Soient les matrices : et .calculer et par la méthode des cofacteurs. 3) Manipulation de lignes et de colonnes  Pour que le déterminant d’une matrice soit nul, il faut et il suffit que la famille des colonnes de cette matrice soit liée. En particulier, si un déterminant a une colonne, ou deux colonnes, ce déterminant est nul.Résultat analogue sur les lignes.  On ne change pas la valeur d’un déterminant si on ajoute à l’une des colonnes une combinaison linéaire des autres colonnes. Résultat analogue sur les lignes. Exemple : Soient les matrices : et .calculer et par la manipulation de lignes et de colonnes. 4) Propriétés : Soient A, B deux matrices carrées d’ordre n, In une matrice unité d’ordre n et α un nombre réel.  dét(In)=1.  dét (αA)=αndét(A). Page 8 ALGEBRE ET PROBABILITE  dét (AB)=dét(A) dét(B).  IV )INVERSION DE MATRICE CARREE : AMatrice adjointe : Définition : Considérons une matrice carrée d’ordre n, la matrice des cofacteurs des éléments de la matrice notée : est appelée matrice adjointe de ou comatrice de notée : 2 )Matrice inversible : Définition : Une matrice carrée d’ordre n est inversible s’il existe une matrice carrée unique d’ordre n telle que : . La matrice est appelée inverse de la matrice et on la note : Propriété 1: Soit une matrice carrée d’ordre n. Alors est une matrice inversible si et seulement si Propriété 2 : Soit une matrice carrée d’ordre n. Si alors est inversible et son inverse est donnée par : Propriété 3 : Soient A et B deux matrices carrées d’ordre n inversibles. Page 9 ALGEBRE ET PROBABILITE APPLICATION :  Calculer l’inverse de la matrice carrée d’ordre 2 :  On considère les matrices suivantes : et 1) Justifier que : la matrice est inversible. 2) Déterminer son inverse 3) A l’aide de la relation : , déduire que la matrice est inversible, puis donner son inverse IV.APPLICATION A LA RESOLUTION DES SYSTEMES D’EQUATIONS LINEAIRES 1) Système d’équations linéaires : On appelle système d’équations linéaires de n équations à n inconnues, tout système de la forme : Où les coefficients et sont donnés ; sont les inconnues. Résoudre le système , c’est déterminer l’ensemble de ses solutions,c’est-à-dire l’ensemble des valeurs de tels que les n équations soient simultanément vérifiées. 2) Écriture matricielle associée à un système linéaire : A tout système linéaire de n équations à p inconnues est associé une écriture dite : Page 10 ALGEBRE ET PROBABILITE Écriture matricielle En posant : matrice associée au système, matrice des inconnues, matrice du second membre On a : écriture matricielle associée au système uploads/Marketing/ m-gohi.pdf