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Chapitre 1 : Rappels et compléments sur les variables aléatoires I. Les variabl

Chapitre 1 : Rappels et compléments sur les variables aléatoires I. Les variables aléatoires discrètes 1) La loi binomiale a) Définition : Considérons n épreuves de Bernoulli (une épreuve de Bernoulli étant une épreuve à deux éventualités : succès de probabilité p et échec de probabilité 1-p) identiques et indépendantes. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de succès obtenus sur les n épreuves. X suit une loi binomiale de paramètres n et p. Notation : X ↪B (n; p ). b) Loi de probabilité Soit X ↪B (n; p ). Alors la loi de probabilité de X est donnée par : P (X=k )=Cn k p k (1−p ) n−k;0≤k ≤n. c) Caractéristiques SoitX ↪B (n; p ). Alors on montre que : E (X )=npet V (X )=npq;σ=√npq. d) Opérations Si X ↪B (n1; p )et Y ↪B(n2; p) avec X et Y indépendantes alors X+Y ↪B (n1+n2; p) 2) La loi de Poisson a) Définition : Une variable discrète X suit une loi de Poisson de paramètre λ>0 si sa loi de probabilité est définie par : P( X=k)= λke−λ k! , k ∈N . Notation :X ↪P (λ) b) Caractéristiques Soit X ↪P (λ)alors : E (X )=λ;V (X )=λ etσ=√λ c) Opération Si X ↪P (λ1)et Y ↪P (λ2) avec X et Y indépendantes alors X+Y ↪P (λ1+ λ2) Remarque : Une distribution statistique fait penser à une loi de Poisson si sa moyenne est très proche de sa variance. II. Les variables aléatoires continues 1) La loi exponentielle a) Définition : Une variable aléatoire continue X suit une loi exponentielle de paramètre α (α>0) si sa fonction densité de probabilité est définie par : f (x )={ α e −αx six≥0 0sinon Notation : b) Caractéristiques Si suit une loi exponentielle de paramètre α alors : E (X )= 1 α ;V (X )= 1 α 2 ;et σ= 1 α Remarque : Une distribution statistique continue fait penser à une loi exponentielle si sa moyenne est très proche de son écart-type. 2) La loi uniforme a) Définition Une variable aléatoire continue X suit une loi uniforme sur un intervalle [a,b ] si sa fonction densité de probabilité est définie par f (x )={ 1 b−a sia≤x≤b 0sinon Notation : b) Caractéristiques Soit X une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur un intervalle [a,b ]. Alors E (X )=b+a 2 et V (X )=(b−a) 2 12 3) La loi normale a) Définition Une variable aléatoire X suit une loi normale de paramètres m et σ si sa fonction densité est définie par : f (x )= 1 σ √2π e −1 2 ( x−m σ ) 2 ; x∈R On note X ↪N (m; σ ). b) Caractéristiques Soit X ↪N (m; σ ) alors E (X )=m;V (X )=σ 2 c) loi normale centrée réduite Définition : Une variable aléatoire X suit une loi normale centrée réduite si m=0 et σ =1. Ainsi sa fonction densité de probabilité est donnée par f (x )= 1 √2 π e −1 2 x2 Lecture de la table Notons F la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. Par définition, F (x )=P (X ≤x ), x∈R  Lecture directe On connaît x et on veut F (x ) Si x≥0 on lit directement sur la table ou on procède par interpolation linéaire Si x<0 on a F (x )=1−F(−x)  lecture inverse On connaît F (x )et on veut x Posonsp=F (x)alors on note x=F −1( p) Si p≥1/2 on lit directement sur la table ou on procède par interpolation linéaire. Si p<1/2 on a x=−F −1(1−p) Remarque : Soit X ↪N (m; σ ). En posant T= x−m σ , on a T ↪N (0;1). Opérations Soient X ↪N (m1; σ1) et Y ↪N (m2;σ 2). Soient a et b deux nombres réels, alors 1) aX+b↪N (am1+b;¿ a∨σ 1) 2) X+Y ↪N (m1+m2;√σ1 2+σ2 2) 3) Soient X1, X2,…, Xn, n variables aléatoires mutuellement indépendantes avec Xi ,↪N (mi;σ i) alors : X1+ X2+…+Xn↪N (m1+m2+…+mn;√σ1 2+σ2 2+…+σn 2) 4) La loi du khi deux Définition1 : Soit X une variable aléatoire qui suit une loi normale centrée réduite alors la variable aléatoire Y=X 2 suit une loi du Khi deux à 1 degré de liberté. On noteX ↪χ❑ 2 Caractéristiques : On montre que E (X )=1;V (X )=2 Définition2 : Soient X1, X2,…, Xn, n variables aléatoires indépendantes avec Xi ↪N (0;1) alors la variable aléatoire X définie par : X=X1 2+X2 2+…+ Xn 2 suit une loi du Khi-deux à n degré. Sa fonction densité de probabilité est donnée par f (x )= 2 −n 2 Γ( n 2 ) e −x 2 x n 2−1 ,x>0 On noteX ↪χ ν 2 Dans cette formule, Γ est la fonction Gamma d'Euler définie par : Γ (x )=∫ 0 ∞ e −uu x−1du Caractéristiques Si X suit une loi du khi deux à n degrés de liberté alors E (X )=n;V ( X )=2n Remarque Nous allons utiliser cette loi dans le cadre de l’ajustement d’une distribution observée par une loi connue. 5) La loi de Paréto III. Approximation des lois Les différentes approximations sont résumées dans le tableau suivant : NB : Faire attention à la correction de continuité Loi initiale Conditions Loi d’approximation d’approximation B (n; p ) sin≥30, p≤0,1et np≤15 P (λ), λ=np B (n; p ) Sinp>15et nq>15 Ou sinpq>10 N(m ,σ) avec m=npet σ=√npq On effectue la correction de continuité P (λ) si λ>15 N(m ,σ) avec m=λ et σ=√λ On effectue la correction de continuité Tableau de correction de continuité Loi discrète Loi continue P(X=k) P(k−1 2 ≤X ≤k+ 1 2) P(X ≤k) P(X ≤k+ 1 2) P(X ≥k) P(X ≥k−1 2 ) P(X<k) P(X<k−1 2) P(X>k) P(X>k+ 1 2) Exemple1 Pour chaque naissance unique, la probabilité d’obtenir une fille à la naissance est d’environ 0,48. Un hôpital étudie les 90 naissances uniques d’un mois donné. On note X la variable aléatoire étudiant le nombre de filles nées. Calculer : P (X=45);P ( X>50); P (40≤X<55 ). Exemple2 Un standard téléphonique reçoit en moyenne 2,4 appels par minutes. Calculer la probabilité que le nombre d’appels pour une heure quelconque soit égal à 125, supérieur ou égal à 130, inférieur ou égal à 125. Exemple3 La demande d’un produit A suit une loi normale. Il y a une chance sur trois qu’elle soit inférieure à 80 unités et une chance sur quatre qu’elle soit supérieure à 160 unités. 1) Déterminer les paramètres de la loi normale. 2) Calculer : a) La probabilité que la demande soit inférieure à 100 unités. b) La demande qui a 75% de chance d’être dépassée. uploads/Marketing/ miage3-chap1.pdf