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UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices,

UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 16 ou A.KADI LES OUTILS MATHEMATIQUES La modélisation de l’espace réel, considéré dans le cadre de la mécanique classique comme étant à trois dimensions, homogène et isotrope suppose l’introduction d’outils mathématiques tel que les vecteurs, et les notions sur les torseurs. Dans cette partie nous présenterons les rappels et l’ensemble des opérations mathématiques sur les vecteurs. Nous développerons aussi l’étude sur les torseurs qui sont des outils mathématiques très important en mécanique classique, notamment en mécanique des solides. L’utilisation des torseurs en mécanique permet de simplifier l’écriture des équations relatives aux grandeurs fondamentales de la mécanique. 1. Opérations sur les vecteurs Dans tout ce qui suit, on s’intéressera à l’ensemble E des vecteurs V de l’espace usuel. E est un espace Euclidien à trois dimensions. → 2. Définition Un vecteur est un segment de droite OA sur lequel on a choisi une origine O et une extrémité A ; il est défini par : - son origine ; O A - sa direction ; - son sens ; - son module. Par convention on adopte la notation suivante : vecteur : V → −− → OA 3. Classification des vecteurs Il existe plusieurs types de vecteurs : - Vecteur libre : la direction, le sens et le module sont donnés mais la droite support et le point d’application (origine du vecteur) ne sont pas connues ; - Vecteur glissant : le point d’application (origine du vecteur) n’est pas fixé ; - Vecteur lié : tous les éléments du vecteur sont déterminés ; - Vecteur unitaire : c’est un vecteur dont le module est égal à 1. UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 17 A.KADI 4. Composantes d’un vecteur Considérons une base de l’espace 3 R notée : . Cette base est orthonormée si : e ) , , , ( 3 2 1 0 → → → = e e e O R ⎩ ⎨ ⎧ ≠ = = → • → j i si 0 j i si 1 j i e → 1 e → 2 e → 3 e La base est dite directe si un observateur se plaçant à l’extrémité du vecteur e verra le vecteur tourner vers le vecteur e dans le sens contraire des aiguilles d’une montre. 0 R → 3 → 1 e → 2 Dans cette base un vecteur V de composantes ( s’écrirait : → 3 ) , , R z y x ∈ → → → → + + = 3 2 1 e z e y e x V Les quantités réelles x, y, z sont appelées composantes du vecteur V dans la base → 3 R . La notation adoptée est la suivante : V ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = → z y x R0 ∈ + = → → → 3 2 1 a a a 5. Loi de composition interne : Somme vectorielle La somme de deux vecteurs V et V est un vecteur W tel que : → 1 → 2 → 3 2 1 , R V V ∈ ∀ → → nous avons W 3 2 1 R V V Soit ( les composantes du vecteur V d’où : V et les composantes du vecteur V d’où : V ) , , → 1 → → → → + + = 3 3 2 2 1 1 1 e a e a e a ) , , ( 3 2 1 b b b → 2 → → → → + + = 3 3 2 2 1 1 2 e b e b e b Le vecteur somme est défini par la relation : → → → → → → + + + + + = + = 3 3 3 2 2 2 1 1 1 2 1 ) ( ) ( ) ( e b a e b a e b a V V W L’élément neutre ou vecteur nul, est noté : ) 0 , 0 , 0 ( 0 = → 5.1 Propriétés de la somme vectorielle - la somme vectorielle est commutative : V ; → → → → + = + 1 2 2 1 V V V UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 18 A.KADI - la somme vectorielle est associative : ; ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + + = + ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + → → → → → → 3 2 1 3 2 1 V V V V V V - l’élément neutre est défini par : ; → → → = + V V 0 - A tout vecteur correspond un vecteur opposé noté tel que : → V → −V → → → = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− + 0 V V 5.2 Multiplication par un scalaire Si λ est un nombre réel et un vecteur, leur produit est un vecteur. → V R ∈ ∀λ , ========> 3 R V ∈ ∀ → 3 R V W ∈ = → → λ Le vecteur est colinéaire au vecteur . → W → V Si le vecteur a pour composantes (a, b, c) tel que : ; le vecteur s’écrirait : → V → → → → + + = 3 3 2 2 1 1 e a e a e a V → W 3 3 2 2 1 1 → → → → + + = e a e a e a W λ λ λ La multiplication d’un vecteur par un scalaire vérifie les propriétés suivantes : a) Distribution par rapport à l’addition des scalaires : ; → → → + = + V V V 2 1 2 1 ) ( λ λ λ λ b) Distribution par rapport à la somme vectorielle : ; → → → → + = + 2 1 2 1 ) ( V V V V λ λ λ c) Associativité pour la multiplication par un scalaire : → → = V V 2 1 2 1 ) ( λ λ λ λ 6. Combinaison linéaire des vecteurs Soit les n vecteurs : de l’espace → → → → → n i V V V V V . .......... ....... ,......... , , 3 2 1 3 R et n λ λ λ λ ,........ , , 3 2 1 des nombres réels. Les vecteurs sont aussi des vecteurs de l’espace → → → → → n n i i V V V V V λ λ λ λ λ . .......... ....... ,......... , , 3 3 2 2 1 1 3 R ainsi que leur somme défini par : → W ∑ → → → → → → = + + + + = n i i i n n V V V V V W λ λ λ λ λ ... .......... 3 3 2 2 1 1 Le vecteur est appelé combinaison linéaire des vecteurs : → W → → → → n V V V V ... ,......... , , 3 2 1 6.1. Dépendance et indépendance linéaire entre les vecteurs 6.1.1. Définition On dit que les n vecteurs : de l’espace → → → → → n i V V V V V . .......... ....... ,......... , , 3 2 1 3 R sont linéairement UMBB Boumerdès, Faculté des sciences, Département de physique Cours exercices, Mécanique Rationnelle : TCT et LMD-ST sem :3 19 A.KADI indépendant si et seulement si, ils vérifient la relation suivante : entraîne que → → = ∑ 0 n i i i V λ tous les i λ sont nuls. → → → → → → = + + + + = ∑ 0 ... .......... 3 3 2 2 1 1 n n n i i i V V V V V λ λ λ λ λ ⇔ 0 1 = λ , 0 2 = λ , …….. 0 = n λ Si les i λ ne sont pas tous nuls on dit que les vecteurs sont linéairement dépendant entre eux. 6.1.2. Propriétés sur l’indépendance des vecteurs a) Un vecteur est à lui seul un vecteur linéairement indépendant ; → V b) Dans un système de vecteurs linéairement indépendants, aucun d’entre eux ne peut être un vecteur nul ; c) Dans un ensemble de vecteurs indépendants, tout sous ensemble prélevé sur ces vecteurs forme un système de vecteurs indépendants. 6.1.3. Propriétés sur la dépendance des vecteurs Si n vecteurs sont dépendants entre eux alors, au moins l’un d’entre eux est une combinaison linéaire des autres. Soit les n vecteurs : de l’espace → → → → → n i V V V V V . .......... ....... ,......... , , 3 2 1 3 R et n λ λ λ λ ,........ , , 3 2 uploads/Marketing/ outils-mathematique-pour-la-physique.pdf