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Chapitre 12 : Polynômes PTSI B Lycée Eiﬀel 7 février 2014 Monsieur et Madame Ôm

Chapitre 12 : Polynômes PTSI B Lycée Eiﬀel 7 février 2014 Monsieur et Madame Ôme ont une ﬁlle, comment s’appelle-t-elle ? Il faut vraiment que je donne la réponse ? Il s’embrouillait dans les polynômes, se disculpa le professeur de mathématiques, et quand un élève s’embrouille dans les polynômes, que peut-on faire ? Antonio Lobo Antunes. Introduction Avant de s’attaquer vraiment à l’algèbre linéaire, ce chapître servira d’introduction par l’exemple aux concepts plus généraux développés ensuite dans toute leur généralité sur les espaces vectoriels. Les polynômes constituent en eﬀet un excellent exemple d’objet mathématique formel, mais avec lequel on peut faire des calculs, par le biais d’opérations simples comme la somme, le produit ou la composition. C’est ce genre de notions (opérations « utiles » sur un ensemble) que nous essaierons de généraliser ensuite. Ce chapître sera également l’occasion de croiser pour la première fois une formule d’importance capitale en analyse, et que nous retrouverons sous d’autres formes à plusieurs reprises ensuite : la formule de Taylor. Objectifs du chapitre : • savoir factoriser ou eﬀectuer une division euclidienne sur des polynômes à coeﬃcients réels ou complexes. • comprendre ce que signiﬁe la formule de Taylor d’un point de vue analytique. 1 L’ensemble K[X] Dans toute ce chapître, K désigne soit l’ensemble R des nombres réels ou l’ensemble C des nombres complexes. Pour les plus curieux, toute la construction eﬀectuée ici peut être généralisée à un corps K quelconque, c’est-à-dire à un ensemble munis de deux opérations de somme et de produit « sympathiques » (associatives, commutatives, distributibe l’une par rapport à l’autre, admettant chacune un élément neutre et telles que tout élément ait un opposé et un inverse, sauf 0 en ce qui concerne l’inverse). 1 Déﬁnition 1. Un polynôme à coeﬃcients dans K est un objet mathématique formel s’écrivant P = k=n X k=0 akXk, où (a0, a1, . . . , an) ∈Kn+1, et X est une indéterminée destinée à être remplacée par n’importe quel objet pour lequel le calcul de P peut avoir un sens (donc en gros des éléments qu’on sait élever à une certaine puissance et multiplier par des éléments de K, par exemple des matrices, des suites ou des fonctions). Déﬁnition 2. On note K[X] l’ensemble de tous les polynômes à coeﬃcients dans K. Déﬁnition 3. Soit P = k=n X k=0 akXk un polynôme, avec an ̸= 0. Les nombres ak sont appelés coef- ﬁcients du polynôme P, l’entier n degré de P (souvent noté d ˚ (P)), le coeﬃcient correspondant an est le coeﬃcient dominant de P. Si ce coeﬃcient est égal à 1, on dit que P est un polynôme unitaire. Remarque 1. Par convention, le polynôme nul a pour degré −∞. C’est relativement cohérent avec les propriétés énoncées ci-dessous. Déﬁnition 4. Soient P = n X k=0 akXk et Q = p X k=0 bpXp deux polynômes dans K[X], leur somme est le polynôme P + Q = max(n,p) X k=0 (ak + bk)Xk. Proposition 1. Cette somme de polynômes est associative ((P +Q)+R = P +(Q+R)), commutative (P + Q = Q + P), admet pour élément neutre le polynôme nul (noté 0) dont tous les coeﬃcients sont nuls, et tout polynôme P = n X k=0 akXk admet un opposé noté −P déﬁni par −P = n X k=0 (−ak)Xk, et vériﬁant P + (−P) = 0. Démonstration. L’associativité découle trivialement de celle de l’addition des réels (ou des complexes) en regardant ce qui se passe degré par degré. De même, la commutativité est évidente. À vrai dire, le reste aussi ! Déﬁnition 5. Soient P = n X k=0 akXk et Q = p X k=0 bpXp deux polynômes dans K[X], leur produit est le polynôme PQ = n+p X k=0 k X i=0 aibk−i ! Xk. Proposition 2. Ce produit de polynômes est associatif, commutatif, admet pour élément neutre le polynôme constant 1. De plus, le produit est distributif par rapport à la somme : P(Q + R) = PQ + PR. Démonstration. Ces résultats sont nettement moins évidents à prouver que pour la somme. La com- mutativité s’obtient assez facilement en eﬀectuant le changement d’indice j = k −i dans la somme intérieure de la déﬁnition du produit. La distributivité est également assez facile en découpant sim- plement la somme déﬁnissant P(Q + R) en deux morceaux. Le fait que 1 soit élément neutre est facile. Par contre, l’associativité est franchement pénible, puisqu’il faut des triples sommes pour dé- crire le produit P(QR). Contentons-nous d’écrire son coeﬃcient de degré k (en notant ai, bj et cp les coeﬃcients respectifs des polynômes P, Q et R) : il vaut p X i=0 ai k−i X j=0 bjck−i−j. On peut l’écrire plus simplement sous la forme X i+j+p=k aibjck. Cette formule est complètement symétrique par rapport 2 aux trois polynômes, on obtiendra exactement la même pour (PQ)R, ce qui prouve l’associativité du produit. Remarque 2. Les propriétés énoncées pour la somme de polynômes et pour le cas particulier du produit que sont les produits de polynômes par des constantes font de K[X] ce qu’on appelle un espace vectoriel sur K. Vous aurez bien sûr droit à une déﬁnition complète (et aﬀreuse) dans un chapître ultérieur, mais l’idée est là : un produit par des constantes et une addition qui vériﬁent quelques propriétés élémentaires naturelles. Proposition 3. Soient P et Q deux polynômes, alors d ˚ (P + Q) ⩽max(d ˚ (P), d ˚ (Q)), et d ˚ (PQ) = d ˚ (P) + d ˚ (Q). Démonstration. Cela découle immédiatement des déﬁnitions données des deux opérations. L’inagalité peut être stricte pour le degré de la somme, dans le cas où P et Q sont de même degré mais ont un coeﬃcient dominant opposé. Par contre, c’est toujours une égalité pour le produit, le coeﬃcient dominant du produit étant le produit des coeﬃcients dominants de P et Q. Remarque 3. Les seuls éléments inversibles de K[X] sont les polynômes constants (non nuls). Déﬁnition 6. Pour tout entier n ∈N, on note Kn[X] l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n. Remarque 4. Ces ensembles Kn[X] sont stables par somme (contrairement à l’ensemble des poly- nômes de degré exactement n), ce qui est une des conditions pour en faire des sous-espaces vectoriels de K[X]. Déﬁnition 7. Soit P = n X k=0 akXk et Q deux polynômes, le polynôme composé de P et Q est le polynôme P ◦Q = n X k=0 akQk. Exemple : Si P = X2 + 1 et Q = 2X + 3, alors P ◦Q = (2X + 3)2 + 1 = 4X2 + 12X + 10, alors que Q ◦P = 2(X2 + 1) + 3 = 2X2 + 5. Proposition 4. Si P et Q sont deux polynômes, d ˚ (P ◦Q) = d ˚ (P) × d ˚ (Q). Démonstration. En eﬀet, P ◦Q = n X k=0 ak( p X i=0 biXi)k, dont le terme dominant vaut (si on développe tout brutalement à coups de formules du binôme de Newton) anbn pXin. 2 Arithmétique dans K[X]. 2.1 Division euclidienne. Déﬁnition 8. Un polynôme P est divisible par un polynôme Q s’il existe un troisième polonôme A tel que P = AR. Remarque 5. Cette relation n’est pas une relation d’ordre sur K[X], elle est réﬂexive et transitive mais pas antisymétrique. Deux polynômes qui se divisent l’un l’autre sont simplement égaux à une constante multiplicative près. Dans ce cas, on dit que les deux polynômes sont associés. Théorème 1. Division euclidienne dans K[X]. Soient A, B ∈K[X]2, alors il existe un unique couple (Q, R) ∈K[X]2 tel que A = BQ + R et d ˚ (R) < d ˚ (B). Le polynôme Q est appelé quotient de la division de A par B, et le polynôme R reste de cette même division. 3 Démonstration. La preuve de l’existence de la division peut se faire par récurrence sur le degré de A, le polynôme B restant ﬁxé. L’existencce est triviale si d ˚ (A) < d ˚ (B) puisqu’on peut écrire A = 0B + A, ce qui sert d’initialisation. Supposons désormais l’existence de la division prouvée pour tout polynôme de degré n, et choisissons A un polynôme de degré n + 1. Notons anXn+1 son terme dominant, et bpXp celui de B, alors C = A −an bp Xn+1−pB est un polynôme de degré n (en eﬀet, on a soustrait à A un polynôme de même degré et de même coeﬃcient dominant. Par hypothèse de récurrence, il existe donc des polynômes Q et R tels que C = BQ + R, avec d ˚ (R) < d ˚ (B). Mais alors A = Q + an bp Xn+1−p B + R, et comme R n’a pas changé de degré, on vient d’écrire une division euclidienne de A par B. Pour l’unicité, on suppose évidemment qu’il y a deux couples possibles : BQ + R = BQ′ + R′, alors B(Q −Q′) = R −R′, uploads/Marketing/ polynomes-pdf.pdf