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c ⃝Laurent Garcin MPSI Lycée Saint-Exupéry POLYNÔMES Dans tout ce chapitre, K d

c ⃝Laurent Garcin MPSI Lycée Saint-Exupéry POLYNÔMES Dans tout ce chapitre, K désigne les corps R ou C. 1 Polynômes à une indéterminée à coeﬃcients dans K 1.1 Déﬁnition Déﬁnition 1.1 (Polynôme) On appelle polynôme à une indéterminée à coeﬃcients dans K toute suite presque nulle (i.e. nulle à partir d’un certain rang) d’éléments de K. Si on choisit de noter X l’indéterminée, une telle suite (an) nulle à partir du rang p + 1 se note alors a0 + a1X + · · · + apXp ou encore +∞ X n=0 anXn, cette somme étant en fait ﬁnie. L’ensemble des polynômes à une indéterminée à coeﬃcients dans K se note alors K[X]. Attention ! L’indéterminée X n’est pas un élément de K. Attention ! Contrairement à ce qui se passait auparavant, on ne confondra pas polynômes et fonctions polynomiales. Remarque. L’ensemble des suites presque nulles de KN se note K(N). On peut donc identiﬁer K[X] et K(N). Déﬁnition 1.2 ◮On appelle monôme tout polynôme du type λXk avec λ ∈K. ◮On appelle polynôme constant tout polynôme du type λX0 = λ avec λ ∈K. ◮On appelle polynôme nul le polynôme correspondant à la suite nulle. ◮On appelle coeﬃcient dominant d’un polynôme le coeﬃcient de son monôme de plus haut degré. ◮On appelle polynôme unitaire un polynôme dont le coeﬃcient dominant est égal à 1. Remarque. Si P est un polynôme non nul de coﬃcient dominant λ, alors P λ est un polynôme unitaire : on dit que c’est le polynôme normalisé de P. Proposition 1.3 Deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coeﬃcients sont égaux. Déﬁnition 1.4 (Opérations sur les polynômes) Soient P = +∞ X n=0 anXn et Q = +∞ X n=0 bnXn deux polynômes de K[X] et λ ∈K. Addition On déﬁnit le polynôme P + Q par +∞ X n=0 (an + bn)Xn. http://laurentb.garcin.free.fr 1 c ⃝Laurent Garcin MPSI Lycée Saint-Exupéry Multplication On déﬁnit le polynôme P × Q par +∞ X n=0 cnXn avec cn = X k+l=n akbl. Multiplication par un scalaire On déﬁnit le polynôme λ.P par +∞ X n=0 λanXn. Composition de polynômes On déﬁnit le polynôme P ◦Q = P(Q) par +∞ X n=0 anQn. Remarque. Dans la déﬁnition du produit, on vériﬁe que la suite (cn) est presque nulle. De plus, cette déﬁnition du produit est telle que Xn × Xp = Xn+p pour tous n, p ∈N. Remarque. Dans le cas particulier où Q = X, le polynôme P ◦Q vaut P(X). Le polynôme P peut donc aussi bien être noté P ou P(X). Exemple 1. La composition consiste simplement à remplacer l’indéterminée X par un polynôme. Par exemple, si P = X2 + X + 1, alors P(X −1) = (X −1)2 + (X −1) + 1, P(X2) = X4 + X2 + 1 ou encore P(X3 −1) = (X3 −1)2 + (X3 −1) + 1. Si P, Q ∈K[X] vériﬁent (X2 + 1)P = XQ, alors (X4 + 1)P(X2) = X2Q(X2), en substituant X2 à X. Déﬁnition 1.5 ◮Un polynôme P est dit pair si P(−X) = P(X). ◮Un polynôme P est dit impair si P(−X) = −P(X). EXERCICE 1. Soit P = +∞ X n=0 anXn ∈K[X]. 1. Montrer que P est pair si et seulement si a2n+1 = 0 pour tout n ∈N. 2. Montrer que P est impair si et seulement si a2n = 0 pour tout n ∈N. Proposition 1.6 (Structures de K[X]) ◮(K[X], +, ×) est un anneau commutatif. ◮(K[X], +, .) est un K-espace vectoriel. Remarque. (K[X], +, ., ×) est en fait une K-algèbre commutative. Remarque. Le fait que K[X] soit une K-algèbre commutative, combiné au fait que Xn × Xp = Xn+p pour tout (n, p) ∈N2, nous dit qu’on peut calculer avec les polynômes comme on en avait l’habitude. Proposition 1.7 Soient P, Q, R ∈K[X] et λ, µ ∈K. Alors (λP + µQ) ◦R = λP ◦R + µQ ◦R (PQ) ◦R = (P ◦R)(Q ◦R) http://laurentb.garcin.free.fr 2 c ⃝Laurent Garcin MPSI Lycée Saint-Exupéry Attention ! En général, R ◦(λP + µQ) ̸= λR ◦P + µR ◦Q et R ◦(PQ) ̸= (R ◦P)(R ◦Q). 1.2 Degré d’un polynôme Déﬁnition 1.8 (Degré d’un polynôme) Soit P = +∞ X n=0 anXn ∈K[X]. Le degré de P, noté deg P, est déﬁni par : deg P = max{n ∈N | an ̸= 0} si P ̸= 0 −∞si P = 0 Proposition 1.9 (Degré et opérations) Soit (P, Q) ∈K[X]2. (i) deg(P + Q) ⩽max(deg P, deg Q) avec égalité si et seulement si deg P ̸= deg Q ou deg P = deg Q et la somme des coeﬃcients dominants de P et Q est non nulle. (ii) deg(PQ) = deg P + deg Q. (iii) deg P ◦Q = deg P × deg Q si Q ̸= 0. Remarque. On adopte la convention n + (−∞) = (−∞) + n = −∞pour tout n ∈N ∪{−∞}. Corollaire 1.10 (Intégrité de K[X]) L’anneau K[X] est intègre. Corollaire 1.11 (Eléments inversibles de K[X]) Les éléments inversibles de K[X] sont les polynômes de degré 0. Déﬁnition 1.12 (Polynômes de degré inférieur ou égal à n) Soit n ∈N. On note Kn[X] l’ensemble des polynômes de degré inférieur ou égal à n. Proposition 1.13 (Structure de Kn[X]) Soit n ∈N. Kn[X] est un sous-espace vectoriel de K[X]. La famille (Xk)0⩽k⩽n est une base de Kn[X] appelée la base canonique de Kn[X]. http://laurentb.garcin.free.fr 3 c ⃝Laurent Garcin MPSI Lycée Saint-Exupéry Attention ! Kn[X] n’est pas un sous-anneau de K[X]. Déﬁnition 1.14 (Famille de polynômes à degrés échelonnés) Soit (P0, P1, . . . , Pn) une famille de polynômes de K[X]. On dit que la famille (P0, P1, . . . , Pn) est à degrés échelonnés si : ∀i ∈J0, n −1K, deg Pi < deg Pi+1 Proposition 1.15 Une famille de polynômes à degrés échelonnés est libre si et seulement si elle ne contient pas le polynôme nul. Remarque. Une famille (P0, . . . , Pn) de K[X] telle que deg Pi = i pour tout i ∈J0, nK est une base de Kn[X]. EXERCICE 2. Valuation d’un polynôme Soit P = +∞ X n=0 anXn ∈K[X]. La valuation de P, noté val P, est déﬁnie par : val P = min{n ∈N | an ̸= 0} si P ̸= 0 +∞si P = 0 1. Montrer que val(P + Q) ⩾min(val P, val Q). 2. Montrer que val(PQ) = val P + val Q. 1.3 Fonctions polynomiales et racines Déﬁnition 1.16 (Fonction polynomiale) Soit P = +∞ X n=0 anXn. Pour x ∈K, on note P(x) = +∞ X n=0 anxn. L’application ˜ P : K − →K x 7− →P(x) est appelée la fonction polynomiale associée au polynôme P. Attention ! On ne dira jamais que l’on prend X = x dans P(X). En eﬀet, x et X ne sont pas des objets du même type, la relation X = x n’a aucun sens. On dira plutôt que l’on substitue x à X dans P(X), ou que l’on remplace X par x dans P(X), ou bien encore que l’on évalue P en x. Remarque. L’application K[X] − →KK P 7− →˜ P est un morphisme de K-algèbres pour les lois (+, ., ×) et (+, ., ◦). Remarque. On verra plus tard qu’on peut justiﬁer d’un point de vue théorique l’identiﬁcation entre polynôme et fonction polynomiale que vous acceptiez sans broncher jusqu’à maintenant. EXERCICE 3. Soit a ∈K. Montrer que K[X] − →K P 7− →P(a) est une forme linéaire sur K[X]. http://laurentb.garcin.free.fr 4 c ⃝Laurent Garcin MPSI Lycée Saint-Exupéry Déﬁnition 1.17 (Racine) Soient P ∈K[X] et a ∈K. On dit que a est une racine de P (dans K) si P(a) = 0. Attention ! La précision « dans K » peut avoir de l’importance : le polynôme X2 + 1 admet des racines dans C mais pas dans R. Proposition 1.18 Soient P ∈K[X] pair ou impair et a ∈K. Alors a est une racine de P si et seulement si −a est également une racine de P. 1.4 Conjugaison Déﬁnition 1.19 (Conjugué d’un polynôme) Soit P = +∞ X n=0 anXn ∈C[X]. On appelle polynôme conjugué de P le polynôme P = +∞ X n=0 anXn. Remarque. En particulier, P ∈R[X] si et seulement si P = P. Proposition 1.20 Soient P ∈C[X] et a ∈C. Alors a est une racine de P si et seulement si a est une racine de P. En particulier, si P ∈R[X], les racines complexes non réelles de P sont conjuguées deux à deux. Proposition 1.21 Soient P, Q ∈C[X] et λ, µ ∈C2. Alors λP + µQ = λ P + µ Q PQ = P Q En particulier, si λ, µ ∈R, λP + µQ = λP + µQ. 1.5 Dérivation Déﬁnition 1.22 (Polynôme dérivé) Soit P = +∞ X k=0 akXk. Le polynôme P ′ = +∞ X k=0 kakXk−1 est appelé le polynôme dérivé de P. On déﬁnit uploads/Marketing/ polynomes.pdf