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© Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot NOMBRES COMPLEXES 1 Corps C des

© Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot NOMBRES COMPLEXES 1 Corps C des nombres complexes 1.1 Construction de C On munit R2 de deux lois internes + et × de la manière suivante. Pour (a, b, c, d) ∈R4, on pose (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) × (c, d) = (ac −bd, ad + bc) On vériﬁe que R2 muni de ces deux lois est un corps. On peut alors identiﬁer le sous-corps R × {0} de R2 au corps R puisque pour tout (a, b) ∈R2 (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0) (a, 0) × (b, 0) = (ab, 0) On convient de noter C le corps R2 et on appelle nombres complexes ses éléments. On convient également de noter un couple (a, b) ∈R2 sous la forme a + ib. En particulier, i = (0, 1) et i2 = (0, 1)2 = (−1, 0) = −1 Construction de C Remarque. L’écriture d’un complexe z sous la forme a + ib s’appelle la forme cartésienne ou algébrique de z. La construction de C montre que la forme cartésienne est unique. Autrement dit, pour (a, b, c, d) ∈R4 a + ib = c + id ⇐ ⇒ a = c b = d De la construction de C, on déduit les règles de calcul suivantes. (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d) (a + ib) × (c + id) = (ac −bd) + i(ad + bc) Règles de calcul Déﬁnition 1.1 Parties réelle et imaginaire Soit z = a + ib ∈C. Les réels a et b sont appelés respectivement partie réelle et partie imaginaire de z. On note : a = Re(z) et b = Im(z) Remarque. Un nombre complexe de partie imaginaire nulle est un réel et un nombre complexe de partie réelle nulle est un imaginaire pur. http://laurentb.garcin.free.fr 1 © Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot Proposition 1.1 Soient z1, z2 ∈C. Alors Re(z1 + z2) = Re(z1) + Re(z2) et Im(z1 + z2) = Im(z1) + Im(z2) Soient λ ∈R et z ∈C. Alors Re(λz) = λ Re(z) et Im(λz) = λ Im z Remarque. On peut résumer ce qui précède de la manière suivante : ∀(z1, z2) ∈C2, ∀(λ, µ) ∈R2, Re(λz1 + µz2) = λ Re(z1) + µ Re(z2) Im(λz1 + µz2) = λ Im(z1) + µ Im(z2) On dira plus tard que les applications Re : C − → R z 7− → Re(z) et Im : C − → R z 7− → Im(z) sont des formes R-linéaires. Attention ! Soient z1, z2 ∈C. En général, Re(z1z2) ̸= Re(z1) Re(z2) et Im(z1z2) ̸= Im(z1) Im(z2) Autrement dit, la partie réelle (resp. imaginaire) d’une somme est bien la somme des parties réelles (resp. imaginaires) mais la partie réelle (resp. imaginaire) d’un produit n’est pas en général le produit des parties réelles (resp. imaginaires). Déﬁnition 1.2 Soit z ∈C. On pose z0 = 1 et ∀n ∈N∗, zn = z × z × · · · × z | {z } n fois Si z ̸= 0, on pose ∀n ∈N, z−n = 1 zn Attention ! On ne peut parler que de puissances entières d’un nombre complexe. Si z ∈C, des notations telles que z 1 3 ou z−3 2 n’ont AUCUN SENS. 1.2 Le plan complexe Déﬁnition 1.3 Image d’un complexe et aﬃxe d’un point ou d’un vecteur On munit le plan euclidien E d’un repère orthonormé R = (O,⃗ i,⃗ j). M(x + iy) x y O ⃗ u On appelle image du complexe z le point M de coordonnées (Re(z), Im(z)) dans le repère orthonormé R. On appelle aﬃxe du point M de coordonnées (x, y) dans le repère orthonormé R le complexe z = x + iy. On appelle aﬃxe du vecteur ⃗ u = a ⃗ ı + b ⃗ le complexe z = a + ib. http://laurentb.garcin.free.fr 2 © Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot Remarque. On parle de plan complexe plutôt que de plan euclidien quand on idientiﬁe les points par leur aﬃxe plutôt que par leurs coordonnées. Exercice 1.1 Géométriquement, à quoi correspond l’ensemble des points M d’aﬃxe z tels que Re(z) = a ou Im(z) = b où a et b sont des réels ? Proposition 1.2 Soient A et B deux points d’aﬃxes respectifs a et b. Alors le vecteur − → AB a pour aﬃxe b −a. 1.3 Conjugué d’un nombre complexe Déﬁnition 1.4 Conjugué d’un nombre complexe Soit z = a + ib ∈C. On appelle conjugué de z le nombre complexe z déﬁni par : z = a −ib On a par conséquent Re(z) = Re(z) et Im(z) = −Im(z) Proposition 1.3 Propriétés de la conjugaison Soit z ∈C. On a les propriétés suivantes. Re(z) = Re(z) et Im(z) = −Im(z). Re(z) = z + z 2 et Im(z) = z −z 2i . z = z. Méthode Caractérisation des réels et des imaginaires purs Pour caractériser les réels et les imaginaires purs, on utilise souvent les propriétés suivantes. z est réel si et seulement si z = z. z est imaginaire pur si et seulement si z = −z. Proposition 1.4 Conjugaison et opérations Soient z1, z2 ∈C. Alors z1 + z2 = z1 + z2 z1 −z2 = z1 −z2 z1z2 = z1 z2 z1 z2 = z1 z2 si z2 ̸= 0 Remarque. Ces propriétés signiﬁent que la conjugaison est un morphisme de corps (c’est même un isomor- phisme). http://laurentb.garcin.free.fr 3 © Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot O b M(z) b M(z) Si z est l’aﬃxe d’un point M, alors z est l’aﬃxe du symétrique M de M par rapport à l’axe des abscisses. Interprétation géométrique du conjugué 1.4 Module d’un nombre complexe Déﬁnition 1.5 Module d’un nombre complexe Soit z ∈C. Alors zz est un réel positif. On appelle module de z le réel positif déﬁni par : |z| = √ zz Proposition 1.5 Propriétés du module Soit z ∈C. On a les propriétés suivantes. |z| = p Re(z)2 + Im(z)2. z = 0 si et seulement si |z| = 0. |z| = |z|. Si z ̸= 0, 1 z = z |z|2 . | Re(z)| ⩽|z| et | Im(z)| ⩽|z|. Proposition 1.6 Module et opérations Soient z1, z2 ∈C. Inégalités triangulaires |z1 + z2| ⩽|z1| + |z2| |z1 −z2| ⩾||z1| −|z2|| De plus, |z1 + z2| = |z1| + |z2| si et seulement si il existe λ ∈R+ tel que z1 = λz2 ou z2 = λz1. Module d’un produit et d’un quotient |z1z2| = |z1| |z2| z1 z2 = |z1| |z2| si z2 ̸= 0 Par récurrence, on prouve également que pour z ∈C et n ∈N, |zn| = |z|n. Remarque. A l’inverse de la partie réelle et de la partie imaginaire, le module se comporte bien avec le produit mais pas avec la somme. Attention ! On a bien |z1 + z2| = |z1| + |z2| ⇐ ⇒∃λ ∈R+ (z1 = λz2 ou z2 = λz1). En eﬀet, si z1 = 1 et z2 = 0, on a bien |z1 + z2| = |z1| + |z2| et z2 = λz1 avec λ = 0 mais il n’existe évidemment http://laurentb.garcin.free.fr 4 © Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot pas de réel positif λ tel que z1 = λz2. Néanmoins, si z1 et z2 sont tous deux non nuls, on peut se contenter d’une des deux conditions z2 = λz1 ou z1 = λz2. Méthode Pour mettre une fraction de deux complexes sous forme cartésienne, on multiplie le dénominateur par son conjugué et on utilise le fait que pour z ∈C, zz = |z|2. Exercice 1.2 Mettre sous forme cartésienne les fractions suivantes. 2 −i √ 3 √ 3 −2i , (2 + i)(3 + 2i) 2 −i , 3 + 4i (2 + 3i)(4 + i) O M(z) ⃗ u Si z est un nombre complexe d’image le point M, alors |z| = OM. Si ⃗ u est un vecteur d’aﬃxe z, |z| = ∥⃗ u∥. Interprétation géométrique du module Proposition 1.7 Si A et B sont deux points d’aﬃxes respectifs a et b, alors AB = |b −a|. Soient A un point d’aﬃxe a et r ∈R+. ▶L’ensemble des points d’aﬃxes z vérifant |z −a| = r est le cercle de centre A et de rayon r. ▶L’ensemble des points d’aﬃxes z vérifant |z −a| ⩽r est le disque fermé (circonférence incluse) de centre A et de rayon r. ▶L’ensemble des points d’aﬃxes z vérifant |z −a| < r est le disque ouvert (circonférence exclue) de centre A et de rayon r. Cercles et disques en complexe Exercice 1.3 * Modules Déterminer les nombres complexes z tels que z, 1/z et 1 + z soient de même module. http://laurentb.garcin.free.fr 5 © Laurent Garcin MPSI Lycée Jean-Baptiste Corot O b A(z1) b uploads/Marketing/ complexes.pdf