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Chapitre 15 Polynômes Objectifs – Déﬁnir la notion de polynômes, étudier la str

Chapitre 15 Polynômes Objectifs – Déﬁnir la notion de polynômes, étudier la structure de K[X]. – Déﬁnir la notion de degré d’un polynôme et étudier l’algorithme de la division euclidienne. – Déﬁnir la notion de substitution dans un polynôme. Aborder la notion de racine, de polynômes scindés et le théorème de D’Alembert. – Établir la formule de TAYLOR. Sommaire I) Déﬁnition d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1) Déﬁnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2) Opérations sur les polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3) Écriture déﬁnitive des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 II) Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1) Degré d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2) Algorithme de la division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 3) Divisibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 III) Fonctions polynomiales, racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1) Substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2) Fonctions polynomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3) Racines d’un polynôme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4) Corps algébriquement clos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 5) Relations racines coefﬁcients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 IV) Formule de Taylor des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1) Dérivation des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2) Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 V) Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Dans tout ce chapitre, K désigne un sous-corps de C. I) Déﬁnition d’un polynôme 1) Déﬁnition . . . DÉFINITION 15.1 On appelle polynôme à coefﬁcients dans K toute suite d’éléments de K nulle à partir d’un certain rang. Les termes d’une telle suite sont appelés : coefﬁcients du polynôme, et la suite nulle est appelée polynôme nul. Si tous les termes sont nuls sauf un, le polynôme est appelé monôme. Si tous les termes sont nuls à partir de l’indice 1, on dit que le polynôme est constant. L’ensemble des polynômes à coefﬁcients dans K est noté K[X]. MPSI LYCÉE GUEZ DE BALZAC http://pagesperso-orange.fr/Fradin.Patrick/ 1 Déﬁnition d’un polynôme Chapitre 15 : Polynômes On a donc : K[X] = {(un) ∈F(N,K) / ∃N ∈N,n ⩾N = ⇒un = 0}. . Deux polynômes sont égaux ssi ils ont les mêmes coefﬁcients (égalité de deux suites). Polynômes particuliers : a) Pour k ∈N, on note δk le polynôme déﬁni par δk = (δk,n) où δk,n =    1 si n = k 0 sinon (symbole de Krö- necker1). Par exemple, on a : δ0 = (1,0,...),δ1 = (0,1,0,...). b) On pose X = δ1, ce polynôme est appelé indéterminée de K[X], il peut être nommé par une autre lettre : Y,Z,T,U,..., mais il s’agit toujours du polynôme δ1. 2) Opérations sur les polynômes . . . DÉFINITION 15.2 (Somme et produit par un scalaire) On pose : P + Q = (an + bn) (somme des deux suites), et pour λ ∈K, on pose λ.P = (λan). On déﬁnit ainsi une addition interne dans K[X] et un produit par les scalaires. Propriétés : On a en fait repris l’addition de F(N,K) et le produit par un scalaire, on sait que pour ces opérations F(N,K) est un K-e.v., or K[X] ⊂F(N,K), et la suite nulle est un polynôme, on en déduit que : (K[X],+,.) est un K-e.v.. . . . DÉFINITION 15.3 (Produit de deux polynômes) On pose P×Q = (cn) où la suite (cn) est déﬁnie par : cn = n P k=0 akbn−k. On déﬁnit ainsi une multiplication interne dans K[X]. Remarques : a) Nous n’avons pas repris la multiplication des suites habituelle, nous verrons plus loin que l’intérêt de cette multiplication réside essentiellement dans le fait que le polynôme δk est égal à Xk (où X = δ1). b) Il y a d’autres expressions pour cn : cn = n P k=0 an−kbk = P p+q=n apbq. Propriétés : on vériﬁe que cette multiplication : – est commutative, – est associative, – possède un élément neutre qui est le polynôme δ0, – est distributive sur l’addition. Par conséquent : (K[X],+,×) est un anneau. On a également : ∀P ,Q ∈K[X],∀λ ∈K, λ.(P ×Q) = (λ.P)×Q = P ×(λ.Q). 3) Écriture déﬁnitive des polynômes Soit P = (an) un polynôme, il existe un entier N tel que n > N = ⇒an = 0, on peut donc écrire P = (a0,a1,...,aN,0,...), ou encore, compte tenu de la déﬁnition de l’addition, P = (a0,0,...)+(0,a1,0,...)+···+ (0,...,0,aN,0,...), mais compte tenu de la déﬁnition du produit par un scalaire, on a encore P = a0δ0+a1δ1+ ···+ aNδN, c’est à dire : P = N P k=0 akδk. Proposition : Pour k ∈N, on a δk = Xk où Xk =    δ0 si k = 0 X ×Xk−1 si k ⩾1 . 1KRÖNECKER LEOPOLD (1823 – 1891) : mathématicien polonais qui a travaillé (entre autre) sur les équations algébriques. MPSI LYCÉE GUEZ DE BALZAC http://pagesperso-orange.fr/Fradin.Patrick/ 2 Division euclidienne Chapitre 15 : Polynômes En reprenant les notations précédentes, on a ainsi l’écriture déﬁnitive des polynômes : P = N P k=0 akXk. Ce que l’on écrit parfois plus simplement : P = P k∈N akXk, étant entendu qu’il s’agit là d’une somme ﬁnie puisque les coefﬁcients sont nuls à partir d’un certain rang. Plongement de K dans K[X] : L’application φ : K →K[X] déﬁnie par φ(λ) = λ.δ0 = (λ,0,...), est une applica- tion injective qui vériﬁe pour λ,µ ∈K : – φ(λ+µ) uploads/Marketing/ chap-15.pdf